微专题6 平面向量中的综合问题讲义-2026届高三数学一轮复习

微专题6　 平面向量中的综合问题 微点一　平面向量在几何中的应用 例1（1） (多选题)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,边BC,AC的中点分别为M,N,若AM与BN相交于点P,则下列结论正确的是 (　 ) A.AM= B.BN= C.∠MPN的余弦值为 D.++=0 （2）在矩形ABCD中,=(1,2),=(x,0),则矩形ABCD的面积为 (　 ) A.5　　 B.10 C.20 D.25 微点二　与向量有关的最值(范围)问题 例2 如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠BAC=120°,E,F分别是AB,AC边上的点,且=x,=y,且2x+y=1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则的最小值为 (　 ) A.　　B.　　C.　　D. 例3 (1)如图,已知A(-1,0),B(1,0),C(0,2),D,E两点分别满足=λ,=μ,其中λ>0,μ>-,且·=-4,则λ+2μ的最小值为 (　 ) A.-2 B.1 C.2 D.2 (2)已知||=1,||=2,·=||2,则·的最大值为 (　 ) A.2 B.2 C.3 D.4 例4 (1)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是边DC上的动点,则|+3|的最小值为 (　 ) A. B. C.4 D.5 (2)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=,a·b=0,若|a-c|=|b-c|,则|c|的最小值为 (　 ) A.1 B. C. D. 微点三　等和线定理 例5（1）如图所示,点P在由线段AB,AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界),则下列说法中正确的是　　　　.(填写所有正确说法的序号)  ①存在点P,使得=+2; ②存在点P,使得=-AB+2; ③存在点P,使得=-2; ④存在点P,使得=+. （2）在△ABC中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 (　 ) A. B. C.[0,1] D.[1,2] 微点四　平面向量与三角形“四心” 例6已知G为△ABC的重心,则 (　 ) A.=- B.=-+ C.=-+ D.=- 例7 已知O为△ABC所在平面内一点,且满足(+)·=(+)·=(+)·,则O是△ABC的 (　 ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 例8 设△ABC的内心为I,且满足3+5+6=0,则cos∠ABC的值是 (　 ) A. B. C. D. 例9（1） 设H是△ABC的垂心,且3+4+5=0,则cos∠AHB的值为 (　 ) A.- B.- C.- D.- (2)已知O为△ABC的内心,cos∠ABC=,且满足=x+y,则x+y的最大值为　　　　.  (3)若P为△ABC的垂心,·=2,则·=　　　　.  限时训练 (时间:35分钟) 1. 在△ABC中,||=|+|,则△ABC为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 2. 已知正方形ABCD的边长为6,=,=,则·的值为 (　 ) A.6 B.3 C.-6 D.-3 3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=AB=2DC=2,E为BC的中点,F为DC上的动点(含端点),则·的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 4.已知a,b均为单位向量,且满足a⊥b,c为a,b所在平面内的向量,|c|=2,则|a+b-c|的最大值为 (　 ) A.4 B.2- C.2+ D.2 5.已知Rt△ABO的面积为4,∠AOB=90°,设向量a=,向量b=,向量=a+2b,则·的最大值为 (　 ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 6.已知点G为△ABC的重心,D,E分别在射线AB,AC上,D,G,E三点共线,F为BC的中点,若=λ+μ,则+的最小值为 (　 ) A. B.7 C. D.6 7.(多选题)已知M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　 ) A.若=+,则M是边BC的中点 B.若MA=MB=MC,则M是△ABC的垂心 C.若=--,则M是△ABC的重心 D.若=λ(λ>0),则动点M的轨迹过△ABC的内心 8.设D为△ABC内一点,且=+,则△ACD与△BCD的面积之比为　　　　.  9.(多选题)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图①是一个正八边形窗花,图②是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为,O为正八边形ABCDEFGH的中心,P是正八边形ABCDEFGH边上的任意一点,则下列结论正确的是 (　 ) A.=(+1) B.在上的投影向量为 C.若·=(1+)·,则P为ED的中点 D.若P在线段BC上,且=x+y,则x+y的取值范围为[1,2+] 10.在△ABC中,tan∠BAC=2,若点O为△ABC的内心,且满足=x+y,则x+y的最大值为　　　　.  参考答案 1.D　[解析] 由||=|+|,得|-|=|+|,则-2·+=+2·+,则·=0,则⊥,则△ABC为直角三角形.故选D. 2.C　[解析] 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),M(6,1),N(4,6),所以=(-2,6),=(6,1),所以·=-2×6+6×1=-6.故选C. 3.D　[解析] 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),E,F(x,2)(0≤x≤1),所以=,=(x,2),所以·=x+2,因为x的取值范围是[0,1],所以·的取值范围是.故选D. 4.C　[解析] 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(1,1).设c=(x,y),则a+b-c=(1-x,1-y),令c=(O为坐标原点),因为|c|=2,所以点C的轨迹是以O(0,0)为圆心,r=2为半径的圆,则|a+b-c|=表示点M(1,1)到点C的距离.因为M(1,1)到原点的距离为||==,所以|a+b-c|max=|OM|+r=+2.故选C. 5.B　[解析] 以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示. 设A(m,0),B(0,n),且m>0,n>0,则mn=8,由题得a==(1,0),b==(0,1),=a+2b=(1,2),所以P(1,2),则=(m-1,-2),=(-1,n-2),所以·=5-(m+2n)≤5-2=-3,当且仅当m=2n,即n=2,m=4时取等号,所以·的最大值为-3.故选B. 6.D　[解析] 因为点G为△ABC的重心,所以AG=AF,则=.因为D,G,E三点共线,==+,所以+=1,即λ+μ=,λ,μ∈(0,+∞),所以+=(λ+μ)·=≥×(5+4)=6,当且仅当=,即μ=1,λ=时,等号成立,所以+的最小值为6.故选D. 7.ACD　[解析] 对于A,因为=+,所以-+-=0,即+=0,所以M是边BC的中点,故A正确;对于B,因为MA=MB=MC,所以M是△ABC的外心,故B错误;对于C,因为=--,所以++=0,即++=0,所以M是△ABC的重心,故C正确;对于D,因为=λ,所以点M在∠BAC的平分线上,所以动点M的轨迹过△ABC的内心,故D正确.故选ACD. 8.1∶2　[解析] 由题得5=2+,所以2-2=-3=--2=-2,所以2=-2,即=-2(+), 如图所示,以DA,DC为邻边作平行四边形ADCE,连接DE交AC于点O,则+==2,所以=-2(+)=-4=4,所以E,O,D,B四点共线,OD∶BD=1∶4,所以S△ACD∶S△BCD=S△ECD∶S△BCD=2S△COD∶S△BCD=2OD∶BD=2∶4=1∶2. 9.ABD　[解析] 如图,以O为坐标原点,AE所在直线为y轴,GC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系, 设OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a(a>0),则2=a2+a2-2a2cos,可得a2=2+.由题意得A(0,-a),B,C(a,0),D,E(0,a),F,G(-a,0),H,设P(x0,y0).对于A,因为=,=,所以=(+1),故A正确.对于B,因为=,=,所以===+1,所以在上的投影向量为,故B正确.对于C,·=(0,-a)·=a2,·=(-x0,-a-y0)·=-ax0-(a+y0),由·=(1+)·,得-ax0-(a+y0)=,整理得y0=(1+)x0,坐标满足此等式的点可能是ED的中点,也可能是AH的中点,故C错误.对于D,=(x0,y0+a),=,=,由=x+y,得(x0,y0+a)=x+y,则x+y=,y0∈,所以x+y∈[1,2+],故D正确.故选ABD. 10.　[解析] 延长AO交BC于点D,设BC与圆O相切于点E,AC与圆O相切于点F,如图所示, 则OE=OF,OE≤OD.设=μ=μx+μy,则=,因为B,C,D三点共线,所以μx+μy=1,所以x+y===≤===,因为tan∠BAC=2,0<∠BAC<π,所以cos∠BAC=,所以sin=,所以x+y≤=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$