第28讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义-2026届高三数学一轮复习

第28讲　平面向量基本定理及坐标表示 【知识梳理】　 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对于这一平面内的　　　　向量a,　　　　　　　　实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.  (2)基底 若e1,e2　　　　　,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内　　　　向量的一个基底.  2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标运算 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　　　　　,a-b=　　　　　　　　,λa=　　　　　　.  (2)向量的坐标求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　　,||=　　　　　　　.  3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔　　　　　　　.  常用结论 1.线段定比分点的定义 如图所示,设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足=λ,即=λ,λ叫作点P分有向线段所成的比,点P叫作有向线段的以λ为定比的定比分点. 2.定比分点的坐标表示 设点P(x,y)是P1P2上不同于P1,P2的一点,P1(x1,y1),P2(x2,y2),则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即 当λ≠-1时,则点P的坐标为. 特别地,①当λ=1时,点P的坐标为,这就是线段P1P2的中点坐标公式; ②若λ<0,则点P在P1P2的延长线上或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点P的坐标为. 3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. 考点01　平面向量基本定理及其应用 例1 (1)设{e1,e2}为平面的一个基底,则下面四组向量中不可以作为一个基底的是 (　 ) A.e1+e2和e1 B.4e1+2e2和e2 C.2e1-e2和e1-2e2 D.e1-2e2和4e2-2e1 (2)如图,在△ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,则= (　 ) A.-+　　　B.- C.+ D.+ (3)在△ABC中,D为BC中点,=λ,=+,若=+,则λ= (　 ) A. B. C. D. 考点02　平面向量的坐标运算 例2 (1)若=(2,5),=(-1,1),则= (　 ) A.(3,4) B.(-4,-3) C.(-4,3) D.(4,-3) (2) 如图,分别取与x轴、y轴的正方向相同的两个单位向量{i,j}作为一个基底.若|a|=,θ=,则向量a的坐标为 (　 ) A. B. C. D. 考点03　平面向量共线的坐标表示 例3 (1)设x∈R,向量a=(x,1),b=(4,x),则“x=2”是“a∥b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量为 (　 ) A. B.(3,-4) C. D.(-3,4) 限时训练 (时间:45分钟) 1.已知{e1,e2}是平面的一个基底,则下面四组向量中,不能作为一个基底的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.e1与e1-e2 B.e1+e2与e1-3e2 C.e1-2e2与-3e1+6e2 D.2e1+3e2与e1-2e2 2. 已知向量a=(-1,3),b=(2,4),则2a-b的坐标为 (　 ) A.(6,8) B.(-4,2) C.(-6,12) D.(4,18) 3.已知向量a=(3,-4),则与a方向相反的单位向量的坐标为(　 ) A. B. C. D. 4.已知向量a=(4,2),b=(1,x),且(a-2b)∥b,则x= (　 ) A.2 B.-2 C. D.- 5.设=a,=b,任意一点P关于点A的对称点为M,关于点B的对称点为N,则等于　 (　 ) A.-a+b B.a+b C.2a-2b D.-2a+2b 6.已知O是△ABC所在平面内一点,且2=+,若=λ+μ,则λ+μ= (　 ) A. B. C. D. 7.如图,在△ABC中,已知=,P为AD上一点,且满足=m+,则实数m的值为 (　 ) A. B. C. D. 8. 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,那么向量c= (　 ) A.5a+2b B.5a-2b C.2a+5b D.2a-5b 9.如图,在菱形ABCD中,=λ,=μ,若=+,则λ+μ= (　 ) A. B.1 C. D.2 10.(多选题)下列各组向量中,可以用来表示向量a=(-1,2)的是(　 ) A.e1=(1,1),e2=(1,2) B.e1=(-1,1),e2=(-2,2) C.e1=(-1,2),e2=(3,-6) D.e1=(1,2),e2=(-3,-4) 11.(多选题)如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=4,点P满足=λ,其中λ∈,则|+|的值可以是(　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 12.在△ABC中,=,过点O的直线与射线AB,AC分别交于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,则4m+n=　　　　.  13.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点P是△ABC内一点(含边界),若=+λ,则||的最大值为　　　　.  14. 已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,3),点B(1+,3-2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,若点O为坐标原点,则||=　　　　.  参考答案 1.C　[解析] 由已知得,e1与e1-e2不共线,可以作为一个基底;e1+e2与e1-3e2不共线,可以作为一个基底;-3e1+6e2=-3(e1-2e2),则e1-2e2与-3e1+6e2共线,不可以作为一个基底;2e1+3e2与e1-2e2不共线,可以作为一个基底.故选C. 2.B　[解析] 2a-b=(-2,6)-(2,4)=(-4,2).故选B. 3.A　[解析] 因为a=(3,-4),所以|a|==5,所以与a方向相反的单位向量为-=-a=.故选A. 4.C　[解析] 因为a-2b=(2,2-2x),(a-2b)∥b,所以2-2x=2x,解得x=,故选C. 5.D　[解析] 由题意可知,A,B分别为PM,PN的中点,则MN∥AB,且MN=2AB,所以=2=2(-)=-2a+2b.故选D. 6.C　[解析] 因为2=+,所以2-2=-+-,即4=+,即=+,又=λ+μ,,不共线,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.故选C. 7.A　[解析] 因为A,D,P三点共线,所以=λ+μ,且λ+μ=1.因为=,所以=,则=λ+μ,又=m+,所以解得故选A. 8.A　[解析] 如图建立平面直角坐标系,则a==(1,0),b==(2,1)-(3,0)=(-1,1),c==(3,3)-(0,1)=(3,2).因为a,b不共线,所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,所以(3,2)=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),所以解得所以c=5a+2b.故选A. 9.B　[解析] 因为=λ,=μ,且=,=,所以=(1-λ),=(1-μ),所以=+=+(1-λ)=+(1-λ),=+=+(1-μ)=+(1-μ),所以=+=[+(1-λ)]+[+(1-μ)]=+,又因为=+=+,所以解得所以λ+μ=1.故选B. 10.ACD　[解析] 对于A,因为1×2≠1×1,所以e1,e2不共线,可以表示向量a,故A正确;对于B,因为-1×2=1×(-2),所以e1,e2共线,又向量a与e1不共线,故B错误;对于C,因为a=e1+0×e2,所以用e1,e2可以表示向量a,故C正确;对于D,因为1×(-4)≠2×(-3),所以e1,e2不共线,可以表示向量a,故D正确.故选ACD. 11.ABC　[解析] 如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4).设P(s,t),因为=λ,所以(s,t-4)=λ(6,0),即s=6λ,t=4,所以P(6λ,4),λ∈,则+=(-6λ,-4)+(6-6λ,-4)=(6-12λ,-8),所以|+|=, 因为λ∈,所以|+|=∈[8,10].故选ABC. 12.5　[解析] 由题意知=+=+=+(-)=+=+,因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以4m+n=5. 13.　[解析] 以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 由AB=3,AC=2,∠BAC=60°,得A(0,0),B(3,0),C(1,).设P(x,y)(0≤x≤3,0≤y≤),因为=+λ,所以(x,y)=(2+λ,λ),即所以y=(x-2).易知直线BC的方程为y=-(x-3),由解得易知当点P坐标为时||最大,所以||max==. 14.2　[解析] 由点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,得点P绕点A沿逆时针方向旋转后得到点B,设=(x,y),则=,由A(1,3),B(1+,3-2),得=(,-2),所以-x-y=,且x-y=-2,解得x=-3,y=1,所以=(-3,1),又=(1,3),所以=+=(-2,4),所以||==2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$