第27讲 平面向量的概念及其线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习

第五单元　平面向量、复数 第27讲　平面向量的概念及其线性运算 【知识梳理】　 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量  用a,b,c,…或,,…表示 向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模)  　　　　或　　　　  零向量 　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的  记作　　　  单位向量 长度等于　　　　的向量,叫作单位向量  用e表示,|e|=　　　  相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量  向量a和b相等,记作　　　  平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量  两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　  2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法  　　　　法则  　　　　法则  (1)加法交律:a+b=　　　.  (2)加法结律:(a+b)+c=　　  减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　  　　　　法则  a-b=　　　  数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘  (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　.  (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　  λ(μa)=　　　　,  (λ+μ)a=　　　　,  λ(a+b)=　　　  3.向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.  常用结论 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. 2.在△ABC中,三角形三边上的中线交于点G,G为△ABC的重心,D为BC的中点,则有如下结论: (1)++=0;(2)=(+);(3)=(+)=(+). 3.在△ABC中,三角形三边上的角平分线交于点O,O为△ABC的内心,则有如下结论: (1)点O是△ABC内心的充要条件是:a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c; (2)若=+,则点P的轨迹一定过△ABC的内心. 4.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,点O不在直线BC上,则λ+μ=1. 5.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 6.若平行四边形ABCD满足|+|=|-|,则该平行四边形为矩形. 考点01　平面向量的基本概念 例1（1） 下列说法中正确的是 (　 ) A.若|a|=1,则a=±1 B.若a=b,则a∥b C.若|a|=|b|且a∥b,则a=b D.若a∥0,则|a|=0 （2）下列结论中正确的是 (　 ) A.零向量的大小为0,没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量,终点必相同 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 考点02　平面向量的线性运算 例2 (1) 如图所示,D,E为△ABC的边BC上的三等分点,且||=||,则下列各式中正确的是 (　 ) A.= B.= C.+=+ D.+=+ (2)(多选题)对于菱形ABCD,下列结论正确的是 (　 ) A.= B.||=|| C.|+|=|+| D.|+|=|-| 例3 (1)在△ABC中,点D在边AB上,=2,记=m,=n,则= (　 ) A.3m-2n　　　　　　B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)在△ABC中,=2,=,则= (　 ) A.- B.- C.- D.- 例4 (1)如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC延长线上一点, 且BE=2BC,若=λ+μ,则λ+μ的值为 (　 ) A.-　　　B.　　　C.1　　　D.2 (2)如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ-μ,则λ= (　 ) A.-1 B.1 C. D. 考点03　平面向量的共线定理 例5 (1)已知平面向量a,b不共线,=2a+3b,=-a+2b,=5a+4b,则 (　 ) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)(多选题)已知向量a,b不共线,若=λ1a+b,=a+λ2b,且A,B,C三点共线,则实数λ1,λ2的值可以是(　 ) A.2, B.-3,- C.2,- D.-3, .  限时训练 (时间:45分钟) 1.以下说法中正确说法的个数是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 ①两个相等向量的模相等; ②若a和b都是单位向量,则a=b; ③相等的两个向量一定是共线向量; ④零向量是唯一没有方向的向量. A.1 B.2 C.3 D.4 2.在△ABC中,||=|-|=|+|,则△ABC是 (　 ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+2e2,若a与b是共线向量,则实数k的值为 (　 ) A.1 B.-1 C.4 D.-4 4.在△ABC中,=2,=2,则= (　 ) A.- B.+ C.- D.- 5.对于任意两个向量a,b,下列说法中正确的是(　 ) A.|a+b|≥|a|+|b| B.|a-b|≥|a|-|b| C.若a与b共线,则存在唯一的实数λ,使得b=λa D.若a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b 6.在△ABC中,点D是边BC上的一点,且满足=3,点P是线段AD的中点,若存在实数m和n,使得=m+n,则m+n= (　 ) A. B.- C. D.- 7. 已知G为△ABC的重心,线段AB上一点N满足=4,CN与AG相交于点M,则= (　 ) A. B. C. D. 8.已知a,b为非零向量,且|a|=1,|b|=2,则“|a+b|≥3”是“存在实数λ,使得b=λa成立”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.在平行四边形ABCD中,-= C.在△ABC中,若·<0,则△ABC是钝角三角形 D.△ABC内有一点O,满足++=0,则点O是△ABC的重心 10如图,在△ABC中,=,P是线段BN(不含端点)上一点,若=m+n,则mn的最大值为　　　　.  11.(多选题）在△ABC中,D为边BC的中点,若点P满足3+2+=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.点P一定在△ABC内部 B.4+2= C.S△ABC=3S△PAC D.点P在直线AD上 12.(多选题)如图,在△ABC中,点P满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,=λ,=μ(λ>0,μ>0),则下列说法正确的是 (　 ) A.=+ B.λ+μ的最小值为+1 C.=+ D.λμ的最小值为 13.已知M是△ABC所在平面内一点,若=x+y,且x+y=,设△MBC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则=　　　　.  14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos Csin B+bsin C=0,∠ACB的平分线与AB边交于点D,且CD=2,则4a+b的最小值为　　　　.  参考答案 1.B　[解析] 对于①,两个相等向量的模相等,且它们的方向也相同,故①正确;对于②,若a和b都是单位向量,则当它们的方向不同时,a=b不成立,故②错误;对于③,相等的两个向量方向相同,所以它们一定是共线向量,故③正确;对于④,任何向量都有大小以及方向,零向量也是向量,只不过零向量是方向任意的向量,故④错误.故正确的说法有①③,共2个.故选B. 2.A　[解析] ∵+=,-=,∴||=||=||,∴△ABC是等边三角形.故选A. 3.D　[解析] 由e1,e2是两个不共线的向量,得a=2e1-e2是非零向量,又b=ke1+2e2与a共线,所以存在实数t,使得b=ta,即ke1+2e2=t(2e1-e2),所以解得故选D. 4.D　[解析] 由题得=+=-=(-)-=-.故选D. 5.B　[解析] 对于A,根据平面向量加法的平行四边形法则,可知|a+b|≤|a|+|b|,故A错误;对于B,根据平面向量减法的三角形法则,可知|a-b|≥|a|-|b|,故B正确;对于C,若a与b共线,a为零向量且b不是零向量,则不存在实数λ,使得b=λa成立,故C错误;对于D,因为向量是既有大小又有方向的量,所以两个向量不能比较大小,故D错误.故选B. 6.D　[解析] 由题得,=+=+=+(-)=+,则=-=-=+-=-+,所以m=-,n=,则m+n=-.故选D. 7.B　[解析] 设BC的中点为D,如图,因为G为△ABC的重心,所以点G在线段AD上,且=,又=(+),所以=+.设=λ(0<λ<1),则=+,又=4,所以=+,又C,M,N三点共线,所以+=1,解得λ=,所以=.故选B. 8.A　[解析] 若|a+b|≥3,则|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=5+2a·b≥9,所以a·b≥2,又因为a·b=|a||b|cos<a,b>=2cos<a,b>,所以cos<a,b>≥1,又因为cos<a,b>≤1,所以cos<a,b>=1,则<a,b>=0,所以a∥b,则b=λa,故充分性成立;若b=λa,则λ=±2,则|a+b|=1或|a+b|=3,故必要性不成立.所以“|a+b|≥3”是“存在实数λ,使得b=λa成立”的充分不必要条件.故选A. 9.CD　[解析] 对于A,若a=(1,0),b=(0,1),满足|a|=|b|,但不满足a=b或a=-b,故A错误; 对于B,在平行四边形ABCD中,-=≠,故B错误; 对于C,在△ABC中,若·<0,则A为钝角,则△ABC是钝角三角形,故C正确; 对于D,取AB的中点D,连接OD,则+=2,又++=0,所以=-2,所以点O是△ABC的重心,故D正确.故选CD. 10.　[解析] 因为=,所以=4,则=m+n=m+4n,因为B,P,N三点共线,且P在线段BN(不含端点)上,所以m+4n=1,m>0,n>0,所以m+4n=1≥2,则mn≤,当且仅当m=4n=时取等号,所以mn的最大值为. 11.ABC　[解析] 由3+2+=0,可得2(+)+(+)=0,如图,设M,N分别是AB,AC的中点,连接PM,PN,则=(+),=(+),所以2+=0,所以点P是中位线MN上靠近点M的三等分点,则点P一定在△ABC内部,故A正确,D错误; 因为3+2+=0,所以3+2=-,所以4+2=-=,故B正确;由A可知S△PBC=S△ABC,S△ABP=S△APC,所以S△ABP+S△APC=S△APC=S△ABC,所以S△ABC=3S△PAC,故C正确.故选ABC. 12.BC　[解析] 因为BP=2PC,所以=2,即-=2(-),所以=+,故A错误;因为=λ,=μ(λ>0,μ>0),所以=+,故C正确;因为M,P,N三点共线,所以+=1,所以1=+≥2=,则λμ≥,当且仅当=,即μ=2λ=时,等号成立,所以λμ的最小值为,故D错误;λ+μ=(λ+μ)=++1≥2+1=+1,当且仅当=,即μ=λ=+时,等号成立,所以λ+μ的最小值为+1,故B正确.故选BC. 13.　[解析] 因为=x+y,x+y=,所以4=4x+4y,4x+4y=1,设=4,则点N在直线BC上,因为MN∶AN=3∶4,所以=. 14.18　[解析] 因为2ccos Csin B+bsin C=0,所以由正弦定理得2bccos C+bc=0,因为b>0,c>0,所以cos C=-,又C∈(0,π),所以C=.因为CD平分∠ACB,所以与+的方向相同,设=λ=+(λ>0),因为A,B,D三点共线,所以λ=1,又CD=2,所以||2=4==λ2+·ab·+λ2=λ2,可得λ=2.因为4a+b=2(4a+b)·=2·≥2×(5+4)=18,当且仅当a=3,b=6时,等号成立,所以4a+b的最小值为18. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$