精品解析：湖北省武汉市常青第一学校2024-2025学年下学期3月考质量监测九年级数学试卷

武汉市常青第一学校九年级数学三月质量监测 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线上有三点，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上，，将绕点A顺时针旋转得交x轴于点E，则点E的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 6382亿用科学记数法表示为_______． 12. 计算：的结果是______． 13. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 14. 如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为______m（，，结果精确到）． 15. 抛物线的图象与x轴交于，其中．以下五个结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的有________． 16. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为____，____． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 18. 已知中，平分，交于E，交于F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 19. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93； 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 35．4 八年级 92 b 100 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中_____，_____，_____； （2）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 20. 如图，为直径，E为上一点，平分，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求线段的长度． 21. 如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C均为小正方形的顶点，E是与网格线的交点．用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． （1）在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段﹔在上画点N，使． （2）在图2中，在上画点F（不与点C重合），使﹔并找出F关于的对称点G． 22. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 23. （1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：； （2）[尝试应用]如图2，在平行四边形中，平分交于点E，F为上一点，且．若，求的长； （3）[拓展创新]如图3，在中，，点E在的延长线上，且，过点A作交于点F，直接写出的值． 24. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴上，，经过点A，C的抛物线交直线于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴于点F，交于点E．当时，求点P的坐标； （3）抛物线与x轴的另一个交点为K，过点的任意直线（不与y轴平行）与抛物线交于点M，N，直线分别交y轴于点G，H，是否存在t的值使得与的积为定值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市常青第一学校九年级数学三月质量监测 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； C、守株待兔属于随机事件，故该选项符合题意； D、竹篮打水是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法．根据运算法则逐项计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算正确，符合题意； 故选D． 5. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的画图要领，规范画图即可． 本题考查了三视图的画法，熟练掌握画图要领是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 故选：B． 6. 若抛物线上有三点，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题． 【详解】解：， ∴对称轴为， ∴关于的对称点为， 又， ∴图象开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，在抛物线上，， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样． 7. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，由勾股定理求得，推出，，，证明，求得，在和求得，，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点，过点作直线分别交和于点，，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∵E为对角线上一点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为6， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上，，将绕点A顺时针旋转得交x轴于点E，则点E的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平面直角坐标系与几何图形，熟练根据构造等腰直角三角形是解题的关键．过点作于点，过点作轴，分别交轴于点，交于点，可得四边形是矩形，是等腰直角三角形，证明，得出，，设，得出，，利用，求出，得出，求出直线的解析式为，令即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作轴，分别交轴于点，交于点， ∵四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得，且， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， 设， 则，， ∴， 解得：， 则，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的横坐标为． 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. 6382亿用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：6382亿， 故答案为：． 12. 计算：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先把两个分式通分，再把分子合并同类项后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键． 过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值． 【详解】解：过作轴于， ∵， 则， 设， 则， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 14. 如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为______m（，，结果精确到）． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，，在中，，根据，可得，即可求出，则问题得解． 【详解】解：如图， 根据题意可知四边形是矩形，，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：57． 15. 抛物线的图象与x轴交于，其中．以下五个结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的有________． 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据，可得抛物线开口向下，再由与x轴的交点坐标可得对称轴在y轴左侧，且当时，，可得，据此可判断①；当时，，可判断②，求出对称轴为直线，则可推出，进而得到，据此可判断④；当时，，则，，据此可判断③；根据抛物线与x轴有两个不同的交点可得，则可证明，据此可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的图象与x轴交于，其中， ∴对称轴在y轴左侧，且当时，， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的图象与x轴交于，其中， ∴当时，，故②错误； ∵抛物线的图象与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的图象与x轴交于， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； ∴正确的有③④⑤； 故答案为：③④⑤． 16. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为____，____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识．证明，则，再证明，则，得到垂直平分，连接与交于点，交于点，连接，由垂直平分，证明，证明当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，由，即可得到的最小值为，证明，，则． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， ∴垂直平分， 连接与交于点，交于点，连接， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为， 垂直平分， ， 又， ， 故答案为：； 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 18. 已知中，平分，交于E，交于F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1） 解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 19. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93； 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 35．4 八年级 92 b 100 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中_____，_____，_____； （2）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）；； （2）590名 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，扇形统计图，用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，求出八年级D组的人数，进而求出D组的人数占比即可求出m的值； （2）用七年级的人数乘以其样本中竞赛成绩优秀的学生占比，可求出七年级优秀的人数，同理求出八年级优秀的人数，进而求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵七年级10名学生的竞赛成绩是96的人数最多， ∴七年级10名学生的竞赛成绩的众数是96，即； 把八年级10名学生的竞赛成绩按照从低到高排列，中位数为第5名的成绩和第6名成绩的中位数， ∵八年级A组和B组的人数和为人，且C组有3人， ∴八年级的中位数为，即； 由题意得，，即； 【小问2详解】 解：名， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有590名． 20. 如图，为直径，E为上一点，平分，过点C作交的延长线于点D，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等．熟练掌握切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义以及，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）连接交于点H，根据锐角三角函数可得．在中，根据勾股定理可得，再证明四边形为矩形，可得．然后证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点H， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ，， ， 解得． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ， ， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C均为小正方形的顶点，E是与网格线的交点．用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． （1）在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段﹔在上画点N，使． （2）在图2中，在上画点F（不与点C重合），使﹔并找出F关于的对称点G． 【答案】（1） 如图1中，线段，点N就是求作的点； （2） 如图2中，点F，点G即为所求． ． 【解析】 【分析】（1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段；取格点F，G，连接交线段于点H，连接交于点N，则线段，点N即为所求； （2）取格点T，连接交于点H，取的中点Q，连接，取的中点P，连接交于点J，连接交于点K，连接，延长交于点F；作点C关于的对称点，连接，交于点R，连接，延长交于点G，点F，点G即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】（1） （2）（i）最大距离为 （ii） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【小问1详解】 解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 (i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 23. （1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：； （2）[尝试应用]如图2，在平行四边形中，平分交于点E，F为上一点，且．若，求的长； （3）[拓展创新]如图3，在中，，点E在的延长线上，且，过点A作交于点F，直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可证明结论； （2）由角平分线的定义得到，由平行四边形的性质得到，，证明，得到，则；如图所示，延长交于H，证明，得到，则，证明，得到，可求出，，则； （3）过点B作于G，过点C作于H，则，由勾股定理可得；由等面积法得到，则；解直角三角形得到，则；证明，则． 【详解】（1）略 （2）∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点B作于G，过点C作于H， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 24. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴上，，经过点A，C的抛物线交直线于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴于点F，交于点E．当时，求点P的坐标； （3）抛物线与x轴的另一个交点为K，过点的任意直线（不与y轴平行）与抛物线交于点M，N，直线分别交y轴于点G，H，是否存在t的值使得与的积为定值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法将A、C坐标代入求解a、c值即可解答； （2）设点，则，由得到x的方程，解方程即可解答； （3）求出，设，，利用待定系数法分别求出直线，的解析式，进而得到H、G的坐标，则可由m、n表示出，再设直线的解析式为，与抛物线联立方程组，利用一元二次方程的根与系数关系求得，，进而可得出，再根据题目要求求得t值即可． 【小问1详解】 解：将代入中得， 解得， ∴， 将代入中得， ∴ ∴， 则 ∴， 将，代入中， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点P为直线上方抛物线上一点， ∴设点， ∵过点P作轴于点F，交于点E． 则， ∴，， ∵当时， ∴， 即， 解得：或（舍去）， 将代入中得： ∴点P的坐标为 【小问3详解】 解：存在． 将代入中， 得 整理得 解得或（舍去）， ∴， 依题意，设， 设直线的解析式为， 将点N坐标代入，则 得， ∴直线的解析式为， 当时，则 ∴， 设直线的解析式为， 将点代入， 得 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∵直线过点，且与抛物线交于M、N两点， ∴设直线的解析式为，代入中， 得：， ∴ ∴， ∴当，即时，（定值）， 即存在，使得与的积为定值2． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、坐标与图形性质、函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是理解题意，借助数形结合思想找寻各知识点的联系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $