精品解析：广西钦州市浦北县浦北县第三中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春季学期阶段性自主评估训练（一） 八年级数学（R） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，7，8 3. 当时，二次根式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则的长是（　　） A. B. C. 2 D. 7. 可把化简为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ） A. 8 B. C. D. 11. 如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ） A. 3.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 12. 实数的整数部分为a，小数部分为b，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，他们少走的路长为__________． 15. 我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为__________． 16. 如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：，．求值： （1），； （2）． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 （1）求的周长； （2）试判断的形状． 20. 2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． （1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ （2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 21. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 23. 【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期阶段性自主评估训练（一） 八年级数学（R） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，7，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】A.，不能组成直角三角形，不符合题意； B.，能组成直角三角形，符合题意； C.，不能组成直角三角形，不符合题意； D.，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选择：B 3. 当时，二次根式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 4. 如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 5. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解. 【详解】A. 不能计算，故错误； B. 不能计算，故错误； C. ，故错误； D. ，正确 故选D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 6. 如图，在中，，则的长是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：D． 7. 可把化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式的化简，将变形为，将开方即可化简，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键 【详解】解：， 故选：C 8. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 10. 已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键， 先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵三角形的三条边长为3，5，k， ∴，即， ∴ 故选A． 11. 如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ） A. 3.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． 12. 实数的整数部分为a，小数部分为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，利用算术平方根的估算可知，即可得到a和b的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分为， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，他们少走的路长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 先利用勾股定理求出，再计算少走的路长即可． 【详解】解：由题意知， 在中，， ， 即他们少走的路长为， 故答案为：． 15. 我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，则，再进一步化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 16. 如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质与运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质与运算法则化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先利用二次根式的性质与运算法则化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 ， ． 18. 已知：，．求值： （1），； （2）． 【答案】（1） （2）38 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算及完全平方公式的应用． （1）把，代入，，再进行计算即可； （2）根据整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 （1）求的周长； （2）试判断的形状． 【答案】（1） （2）是直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【小问1详解】 由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； 【小问2详解】 是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 20. 2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． （1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ （2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，二次根式的混合运算． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ． 【小问1详解】 解：根据题意，需要彩纸的面积为 ； 【小问2详解】 解：当，时． ． 21. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理的逆定理证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故蔬菜区边的长为． 【小问2详解】 解：∵， ，， 则，， 即， ∴， ∴劳动基地的面积为：， 故劳动基地（四边形）的面积为． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 23. 【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】（1）这架云梯顶端距地面的距离的高为 （2）梯子的底端移动的距离是 （3）能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数的大小比较； （1）在中，利用勾股定理求出即可； （2）先求出，再在中，利用勾股定理求出，然后根据求解即可； （3）利用勾股定理求出云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离，然后与安全距离比较即可． 【小问1详解】 解：在中，根据题意得：， 答：这架云梯顶端距地面的距离的高为； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 答：梯子的底端移动的距离是． 【小问3详解】 能， 理由：∵云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离为：， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $