精品解析：河南省驻马店市第四中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度河南省驻马店市八年级下期数学3月月考试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果． 【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个； 故选B． 【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键． 2. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、不等式两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，故，选项正确． 、不等式两边同时除以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、当时，，当时，当时，无法判断和的大小，选项错误． 故选． 4. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 5. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．不等式两边除以求出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：，解得． 用数轴表示为：， 故选：C． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 7. 如图，直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P(1，m)，则不等式mx＜kx+2的解集是（　　） A. x＜0 B. x＜1 C. 0＜x＜1 D. x＞1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：∵直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P（1，m）， ∴不等式mx＜kx+2的解集是x＜1， 故选：B． 【点睛】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为6＋2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC＝135°，再由线段垂直平分线的性质可得NA＝NB，QA＝QC，∠QAC＝∠C＝30o，再由直角三角形的性质可得NQ＝2AQ，AN＝AQ，从而得到AQ+AQ+2AQ＝6+2，继而得到AQ＝2，即可求解． 【详解】解：∵∠B＝15o，∠C＝30o， ∴∠BAC＝180°﹣15°﹣30°＝135°， ∵MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线， ∴NA＝NB，QA＝QC， ∴∠NAB＝∠B＝15o，∠QAC＝∠C＝30o， ∴∠NAQ＝135°﹣15°﹣30°＝90°，∠ANQ＝30°， ∴NQ＝2AQ， ∴AN＝AQ， ∴AQ+AQ+2AQ＝6+2， 解得，AQ＝2， ∴AN＝AQ＝2， ∴阴影部分的面积＝ ×2×2＝2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 10. 为了美化校园，学校决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个B种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设搭配种造型个，则种造型个，根据“现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配、两种园艺造型”及“搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆”列出关于的不等式组即可得出答案． 【详解】解：设搭配A种造型x个，则B种造型个 根据题意，得 故选A． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则___．（选填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质解答本题的关键． 根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可解答． 【详解】解∶因为， 两边同时减去3，可得． 故答案：． 12. 如图，，，于点，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 将代入②，得， 解得， ∴ ， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是______． 【答案】15 【解析】 【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接PC． ∵EF垂直平分线段BC， ∴PB=PC， ∴PA+PB=PA+PC≥AC=9， ∴PA+PB的最小值为9， ∴△ABP的周长的最小值为6+9=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 15. 如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若的周长为18，的周长为12，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解决问题的关键． 根据平分平分，且，结合等角对等边可证得，得到三角形的周长，根据的周长即可求得． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. （1）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1），数轴见解析（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；掌握不等式的解法，并会在数轴上表示解集是解题的关键． （1）求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可解题． 【详解】解：（1） ， 解集在数轴上表示为： （2）， 解①得：， 解②得：， 原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 17. 如图，点D、E在的边上，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 18. 某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元； （2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？ 【答案】（1）甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元 （2）最多购入22件 【解析】 【分析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即可； （2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，根据总进价不超过4650元列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 根据题意得：，解得：． 答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元． 【小问2详解】 设甲商品购入a件，则购进乙种商品件， 根据题意得：，解得：， ∵a为正整数，所以甲商品最多购入22件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 19. 如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解； （2）先求出A，C，D三点的坐标，再由求面积； （3）结合图象，利用一次函数与不等式的关系求解． 【小问1详解】 对于直线： ， 当时，，解得，故； 当时，，即，故； 将点代入，可得，解得， ，． 【小问2详解】 由（1）知，，，直线的函数表达式为， 由解得，故， ， ． 【小问3详解】 直线与直线的交点为， 当时直线的图象在的上方， 当时，即， 不等式的解集． 20. 阅读下面的材料： 对于实数，，我们定义符号的意义为当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： （1）　　　． （2）当 时，求的取值范围； （3）当 时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解一元一次方程，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． （1）比较和的大小，即可得出答案； （2）根据新定义可得关于的不等式，解不等式即可求解； （3）根据新定义，分类讨论，综合可得结果． 【小问1详解】 解：， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， 解得． 的取值范围是． 【小问3详解】 解：当时，， ， 由解得与矛盾，故舍去； 当时，， ， 由解得． 综上可知，当 时，． 21. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】（1） 补全图形如图所示； （2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． （1）若时，求的长； （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由． 【答案】（1）2（2）2（3）DE＝3为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝60，根据三角形内角和定理得到∠APE＝30，根据直角三角形的性质计算； （2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可； （3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60， ∵PE⊥AB， ∴∠APE＝30， ∵AE＝1，∠APE＝30，PE⊥AB， ∴AP＝2AE＝2； （2）解：过P作PF∥QC， 则△AFP是等边三角形， ∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP， ∴BQ＝PF， 在△DBQ和△DFP中， ， ∴△DBQ≌△DFP， ∴BD＝DF， ∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30， ∴BD＝DF＝FA＝AB＝2， ∴AP＝2； （3）解：由（2）知BD＝DF， ∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB， ∴AE＝EF， ∴DE＝DF＋EF＝BF＋FA＝AB＝3为定值，即DE的长不变． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． （1）写出图2中全等的三角形； （2）直接写出和之间的数量关系； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，借鉴上述方法，求的周长； 【实践拓展】 （4）如图4，在一块形状为四边形的空地上，养殖场王师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图4中的和，若平分，，，．请你帮王师傅算一下需要买多长的栅栏． 【答案】（1）；（2）；（3）的周长为13；（4）需要买长的栅栏 【解析】 【分析】此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质，勾股定理； （1）将沿翻折得到，则，于是得到问题的答案； （2）由翻折得，，，则，所以，于是； （3）将沿翻折，使点落在边上的点处，展开后连接，由翻折得，，于是得，则，得，所以，即可求得的周长为13； （4）将沿翻折，使点落在边上的点处，展开后连接，作于，由翻折可得，，，设，则，在和中，根据勾股定理可列方程，得，即可求得的值． 【详解】解：（1）如图2，∵将沿翻折得到， ． （2）， 理由：，， ， ∵， ∴，，， ， ， ， ， ∴． （3）如图4，将沿翻折，使点落在边上的点处，展开后连接， ∵将沿翻折得到， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为13． （4）将沿翻折，使点落在边上的点处，展开后连接，作于， ∵将沿翻折得到， ， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴ ， 解得， ， ， ， 答：需要买长的栅栏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度河南省驻马店市八年级下期数学3月月考试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P(1，m)，则不等式mx＜kx+2的解集是（　　） A. x＜0 B. x＜1 C. 0＜x＜1 D. x＞1 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 9. 如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为6＋2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6 10. 为了美化校园，学校决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个B种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则___．（选填“”“”或“”） 12. 如图，，，于点，若，则______． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______． 14. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是______． 15. 如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若的周长为18，的周长为12，则_______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分． 16. （1）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并将解集表示在数轴上． 17. 如图，点D、E在的边上，求证：． 18. 某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元； （2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？ 19. 如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 20. 阅读下面的材料： 对于实数，，我们定义符号的意义为当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： （1）　　　． （2）当 时，求的取值范围； （3）当 时，求的值． 21. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 22. 如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． （1）若时，求的长； （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由． 23. 【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． （1）写出图2中全等的三角形； （2）直接写出和之间的数量关系； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，借鉴上述方法，求的周长； 【实践拓展】 （4）如图4，在一块形状为四边形的空地上，养殖场王师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图4中的和，若平分，，，．请你帮王师傅算一下需要买多长的栅栏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $