精品解析：湖北省随州市曾都区编钟初级中学2025年九年级中考数学模拟试题

2025年九年级数学中考模拟考试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 计算下列代数式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班名学生的身高情况宜采用全面调查． B. “太阳东升西落”是不可能事件． C. “湖北某地明天降雨的概率为”，表示该地方明天一定降雨． D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数一定是次． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，将沿折叠，使点C与斜边的中点D重合，那么折痕的长为（ ） A. 12 B. 13 C. D. 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若方程有两个不相等的实数根，则． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．） 11. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作______元． 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为____________． 13. 化简的结果是______． 14. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为______． 15. 如图，和都是等边三角形，点在上，交于点，若，，则的长是______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 18. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 19. 某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示： 组号 分组 频数 一 2 二 7 三 四 2 （1）求a的值. （2）若用扇形统计图来描述，求分数在内所对应的扇形的圆心角的度数. （3）将在第一组内的两名选手记为：、，在第四组内的两名选手记为：、，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率. 20. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）连接，，则的面积为______． （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得． （1）求证：为半圆O的切线； （2）若，求半圆O的半径长． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 23. 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“ 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点A作AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N； （乙）过点A作AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点N； 小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． … （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度． 24. 二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E． (1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； (2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学中考模拟考试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】左视图有1列，含有2个正方形． 【详解】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形． 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置． 3. 计算下列代数式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算法则逐个分析. 【详解】A. ，不是同类项，不能合并； B. = C. ，不是同类项，不能合并； D. = 故选D 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键. 4. 如图，直线，直线，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】如图， 直线， ． ， ， 直线， ， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由解集在数轴上的表示可知， 该不等式组为， 故选：D． 【点睛】本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班名学生的身高情况宜采用全面调查． B. “太阳东升西落”是不可能事件． C. “湖北某地明天降雨的概率为”，表示该地方明天一定降雨． D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数一定是次． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与普查，事件分类，判断事件发生的可能性的大小，概率，掌握以上知识是解题的关键．根据全面调查与普查，事件分类，判断事件发生的可能性的大小，概率逐项分析判断即可求解， 【详解】解：、调查某班名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意； 、“太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； 、“湖北某地明天降雨的概率为”，表示该地方明天可能降雨也可能不降雨，故该选项不正确，不符合题意； 、任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数可能是次，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可. 【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H， 则有AD=2AH，∠AHO=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=， ∴∠A=30°， ∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH=， ∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==， 故选A. 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 9. 如图，中，，，，将沿折叠，使点C与斜边的中点D重合，那么折痕的长为（ ） A. 12 B. 13 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质． 连接，交于点，利用翻折的性质得出，垂直平分线段，利用直角三角形斜边中线性质得出，根据直角三角形的性质得出，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 根据翻折的性质可得，垂直平分线段， ∵点是斜边上的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由得，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若方程有两个不相等的实数根，则． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解题关键． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断A、B；由及可判断C；将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断D． 【详解】解：A、抛物线开口向下， ， 抛物线过点，， ∴，抛物线交于轴的正半轴， ，， ， ，故正确，不合题意； B、抛物线开口向下，点，， 时，， ， ，故正确，不合题意； C、抛物线开口向下， ， ∵， ∴， 抛物线开口向下，且过点，， ∴时，， ， ，故正确，不合题意； D、∵抛物线线（a，b，c为常数，且）开口向下且过点，， ∴，， 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于，即， ∵， ， 故错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．） 11. 在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，关键在于明确正负数在具体情境中的意义，通过相反意义的量确定符号．根据题意确定相反意义的量的表示方法，已知收入记为正数，则支出应记为负数． 【详解】解：根据题意，规定收入20元记作+20元，说明正数表示收入，与之相反的支出应用负数表示， 支出10元与收入方向相反，因此应记为-10元， 故答案为：． 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减法则． 根据同分母分式的加减法则直接求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，平行线等分线段定理，由线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，，再根据平行线等分线段定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是的垂直平分线， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，和都是等边三角形，点在上，交于点，若，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和都是等边三角形，得出、，设，得到两个用x表示的关系式，解方程即可． 【详解】解：和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ，则， 和都是等边三角形， ，， ， ， 即， ， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是正确找出相似三角形． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂，化简二次根式，特殊三角函数，化去绝对值，再计算二次根式的四则混合运算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊三角函数的混合运算，零指数幂，绝对值，二次根式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】略 18. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 19. 某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示： 组号 分组 频数 一 2 二 7 三 四 2 （1）求a的值. （2）若用扇形统计图来描述，求分数在内所对应的扇形的圆心角的度数. （3）将在第一组内的两名选手记为：、，在第四组内的两名选手记为：、，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率. 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得的值； （2）根据表格中的数据可以得到分数在内所对应的扇形图的圆心角大； （3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 即的值是9； 【小问2详解】 解：由题意可得， 分数在内所对应的扇形图的圆心角为：； 【小问3详解】 解：由题意可得，所有的可能性如图所示， 故第一组至少有1名选手被选中的概率是：， 即第一组至少有1名选手被选中的概率是． 20. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）连接，，则的面积为______． （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质． （1）依据点A、B在反比例函数图象上，求出点A、B的坐标，再根据点B在一次函数图象上求出一次函数解析式； （2）依据题意，分别作轴于点D，作轴于点E，从而可得，结合A，B两点的坐标，分别求得，，，进而计算可以得解； （3）依据题意，根据一次函数和反比例函数图象，可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方．进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为 把点代入中，得： ∴点B的坐标为 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为 【小问2详解】 如图，分别作轴于点D，作轴于点E， ∴ ． 又∵，， ∴，，． ． 故答案为：． 【小问3详解】 根据一次函数和反比例函数图象，得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 21. 如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得． （1）求证：为半圆O的切线； （2）若，求半圆O的半径长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，，再由三角形内角和推出即可证明为半圆O的切线； （2）连接，设半圆O的半径长为r，根据勾股定理得到，即，求解次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设半圆O的半径长为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴半圆O的半径长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，三角形内角和等知识，熟练掌握切线的判定，正确作出辅助线，利用勾股定理联立方程是解决问题的关键． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】（1）根据题意设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价， ∴， 答：（）； 【小问3详解】 解： ． ， ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 23. 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“ 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点A作AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N； （乙）过点A作AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点N； 小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． … （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度． 【答案】（1） 证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ∴AM＝HF，AN＝EG ∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH ∴∠NAM＝90° ∴∠BAM＝∠DAN 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN， ∴AM＝AN 即EG＝FH； （2） 结论：EG：FH＝3：2 证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ∴AM＝HF，AN＝EG， ∵长方形ABCD， ∴∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∴△ABM∽△ADN， ∴， ∵AB＝2BC＝AD＝3， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）无论选甲还是选乙都是通过构建全等三角形来求解．甲中，通过证△AMB≌△BNC来得出所求的结论．乙中，通过证△AMB≌△ADN来得出结论； （2）同（1）一样，只不过将全等三角形该成了相似三角形，通过相似三角形得出的对应线段成比例来得出EG：FH＝3：2； （3）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN＝x，那么NM＝PM＝BM+x，MC＝BC﹣BM＝1﹣BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N， ∵AB＝1，AM＝FH＝ ∴在Rt△ABM中，BM＝ 将△AND绕点A旋转到△APB， ∵EG与FH的夹角为45°， ∴∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠MAB＝45°， 即∠PAM＝∠MAN＝45°， 从而△APM≌△ANM， ∴PM＝NM， 设DN＝x，则NC＝1﹣x，NM＝PM＝+x 在Rt△CMN中，（+x）2＝+（1﹣x）2， 解得x＝， ∴EG＝AN＝＝， 答：EG的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、图形的旋转变换等知识．通过辅助线或图形的旋转将所求的线段与已知的线段构建到一对全等或相似的三角形中是本题的基本思路． 24. 二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E． (1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； (2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24) 【解析】 【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标； (2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案； (3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案． 【详解】(1)将A(2，0)，B(6，0)代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； ∵， ∴E(4，)； (2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD， 设D(4，m)， 当时，， ∴C(0，3)， ∵=，由勾股定理可得： =， 解得m=3±， ∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)； (3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设P(，)，则Q(，)， 设直线CQ的解析式为，则， 解得， 于是直线CQ的解析式为：， 当时，， ∴M(，)，ME==， ∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=， ∴， 解得或， 当时，P(10，8)， 当时，P(，24)． 综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(，24)． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $