精品解析：宁夏银川北塔中学 2024-2025学年下学期第一次学业评估九年级数学试卷

银川北塔中学2024—2025学年第二学期第一次学业评估九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期20天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前20天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期20天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前20天完成 6. 如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 8. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为______． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：____________． 10. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____． 11. 若是方程的两个根，则__________． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 13. 如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为______． 14. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为______． 15. 数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅资料，得到如下信息： 信息一：如图①，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图②，某地球仪赤道半径约为，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度． 根据以上信息，该地球仪北纬纬线的长度约为______．（参考数据：，，，） 16. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． 　　　　 （1）在图①中，将向右平移，使点A与点A1重合，画出． （2）在图②中，画出关于点O的中心对称图形． （3）的面积为 　 　． 20. 如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形． 21. 某班学生计划在社区内开展图书义卖活动，并将所得善款捐给希望工程，拟购进两种畅销书，经调查，购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同，若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元． （1）求两种图书的进价分别是多少元？ （2）若义卖活动中，A种图书的定价为30元/本，B种图书的定价为28元/本，本班研究决定需要采购两种图书共500本，若获得利润不低于2800元，请问本班至少需要采购B种图书多少本？ 22. 某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计图（如图）的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是______小时； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是______； （3）若学校需要从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，请用画树状图法或列表法，求恰好是一男一女的概率． 23. 如图，的边在轴上，，边和与反比例函数的图象分别交于点，若点坐标为，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）求的值． 24. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C， （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 26. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． （1）如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； （3）如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2024—2025学年第二学期第一次学业评估九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法则及积的乘方、幂的乘方法则直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法则及积的乘方、幂的乘方法则，解题的关键是熟练掌握，，，． 3. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，根据算术平方根的意义可得，进而即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为， 故选：． 4. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由可得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期20天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前20天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期20天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前20天完成 【答案】B 【解析】 【分析】由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， 方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， 原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键． 6. 如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以分别写出y与x的关系和S与x的关系，从而可以得到y与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系． 【详解】解：∵， 则与满足一次函数关系， ∵， 则S与满足二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 8. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键．根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，得出一般规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ∴， ， ， ， …… ， ∴． 故答案为：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 10. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若是方程的两个根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系并准确运用． 先根据—元二次方程根与系数的关系得出和的值，再代入计算． 【详解】对于一元二次方程，若方程的两根为和，则． 在方程中，， ． 将代入可得： ． 故答案为：1 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为______． 【答案】10cm 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得•2π•r•30=300π， 解得r=10（cm）． 故答案为10cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅资料，得到如下信息： 信息一：如图①，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图②，某地球仪赤道半径约为，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度． 根据以上信息，该地球仪北纬纬线的长度约为______．（参考数据：，，，） 【答案】264 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，平行线的性质．作于点，根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，然后根据周长公式求出周长即可． 【详解】解：作于点，则， ，， ， 在中，， ， 北纬的纬线长度 ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 先证明，即可判定①；由，推出推出，由，推出，即可判定②；只要证明垂直平分，即可判定③；设，，则，由可得，即，可得，可判断④． 【详解】解：①如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④错误． 综上所述，正确结论①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂及特殊角的三角函数值分别化简，再相加减即可； （）利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则先去小括号，再合并同类项，最后进行除法运算即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． 　　　　 （1）在图①中，将向右平移，使点A与点A1重合，画出． （2）在图②中，画出关于点O的中心对称图形． （3）的面积为 　 　． 【答案】（1）如图①所示，即为所求； （2） 如图②所示，即为所求； 　　 　 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移变换的性质找出A，B，C的对应点，，即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出A，B，C的对应点，，即可求解； （3）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键． 20. 如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，证明四边形是平行四边形，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 21. 某班学生计划在社区内开展图书义卖活动，并将所得善款捐给希望工程，拟购进两种畅销书，经调查，购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同，若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元． （1）求两种图书的进价分别是多少元？ （2）若义卖活动中，A种图书的定价为30元/本，B种图书的定价为28元/本，本班研究决定需要采购两种图书共500本，若获得利润不低于2800元，请问本班至少需要采购B种图书多少本？ 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．合理设元建立方程或不等式是解题的关键． （1） 设两种图书的进价分别是x元、y元，以进4本A种图书的费用与5本B种图书相同建立方程组并求解； （2）设采购B种图书m本，则A种图书采购本，根据获得利润不低于2800元列一元一次不等式进行求解． 【小问1详解】 解： 设两种图书的进价分别是x元、y元， 根据题意， 解得 答： A种图书的进价为25元，B种图书的进价为20元； 【小问2详解】 A种图书的利润为元，B种图书的利润为元， 设采购B种图书m本，则A种图书采购本， 根据题意，得 ， 解得，， 答 ：本班至少需要采购B种图书100本． 22. 某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计图（如图）的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是______小时； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是______； （3）若学校需要从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，请用画树状图法或列表法，求恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图所示. （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （1）用阅读时间为小时的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后根据中位数的定义求解； （2）先利用阅读时间为小时的男生人数补全条形统计图，然后用乘以阅读时间为小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为小时的扇形的圆心角度数； （3）用列表法展示所有种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总数为(人)。 将被调查的名学生的课外阅读时间按照从小到大的顺序排列，排在第和名的时间为小时、小时， ∴被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时， 故答案为: ;． 【小问2详解】 解：课外阅读时间为小时的男生人数为人， 补全条形统计图如图所示. 在扇形统计图中，课外阅读时间为小时的扇形的圆心角度数是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8， 所以恰好是一男一女的概率为． 23. 如图，的边在轴上，，边和与反比例函数的图象分别交于点，若点坐标为，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）求出点的坐标，进而利用待定系数法解答即可； （）先求出点和点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式求出点坐标即可； （）过点作轴于点，求出和的长，再根据正切的定义解答即可； 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，锐角三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴轴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C， （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长． 【答案】 （1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）BC=2. 【解析】 【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论； （2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵⊙O的半径为2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=2． 考点：切线的判定 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1）该抛物线的函数表达式为 （2）存在这样的点，此时点的坐标为 （3）当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 26. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． （1）如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； （3）如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点E是中边上的“平方点”； （2） 证明：∵点E是中边上的“平方点”， ∴， ∵是的内接三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）5或8 【解析】 【分析】（1）先证，得，再由平分，得，即可得答案； （2）由点E是中边上的“平方点”得，再证，得，可得，即可得结论； （3）先求出，，的长，设，得，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ， ， 设，由题意得：，， ， 解得：，， ∴的长为5或8． 【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $