4.1 等式与方程（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第四章 一元一次方程 4.1等式与方程（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解等式的概念，能识别等式。 2. 理解方程的概念，能判断一个式子是不是方程。 3. 理解方程的解的概念，能判断一个数是不是某个简单方程的解。 4. 初步体会从实际问题中抽象出方程的过程，感受方程的模型思想。 知识点梳理 知识点一：等式的概念 1. 定义： 用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 · 关键词：等号、相等关系。 2. 等式的构成： 等式由左边的式子、右边的式子和等号三部分组成。 · 例如：在等式“1+2=3”中，“1+2”是等式的左边，“3”是等式的右边，“=”是等号。 3. 等式的例子： · 1+2=3 · a + b = b + a (加法交换律) · S = a×b (长方形面积公式) · x + 1 = 5 (它也是方程) 知识点二：方程的概念 1. 定义： 含有未知数的等式叫做方程。 · 关键词：含有未知数、等式。两者缺一不可。 2. 判断一个式子是否为方程的方法： · 一看：是否是等式（有没有等号“=”）。 · 二看：等式中是否含有未知数（通常用字母x, y, z等表示）。 3. 方程与等式的关系： · 方程一定是等式。 · 等式不一定是方程。（只有当等式中含有未知数时，才是方程） · （可以理解为：方程是特殊的等式，等式包含方程） 4. 方程的例子： · x + 2 = 5 (含有未知数x的等式) · 3y - 1 = 10 (含有未知数y的等式) · 2x + 3 = x - 1 (含有未知数x的等式) · 注意：像“x + 2”（不是等式）、“1 + 2 = 3”（是等式但不含未知数）都不是方程。 知识点三：方程的解 1. 定义： 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 · 关键词：未知数的值、使方程左右两边相等。 2. 检验一个数是否为方程的解的方法： · 将这个数代入方程的左边，计算出结果。 · 将这个数代入方程的右边，计算出结果。 · 比较左右两边的结果：如果相等，则这个数是方程的解；如果不相等，则不是。 3. 举例： 对于方程 x + 1 = 5 · 当x = 4时，左边 = 4 + 1 = 5，右边 = 5，左边 = 右边，所以x = 4是方程x + 1 = 5的解。 · 当x = 3时，左边 = 3 + 1 = 4，右边 = 5，左边 ≠ 右边，所以x = 3不是方程x + 1 = 5的解。 4. “解方程”的含义： 求方程的解的过程叫做解方程。（本小节主要是认识方程的解，暂不深入学习解方程的方法） 易错点提醒 1. 等式与代数式混淆： · 等式有等号，代数式没有等号。例如：“x + 3”是代数式，“x + 3 = 5”是等式，也是方程。 2. 方程概念理解不清： · 误认为只要含有未知数的式子就是方程，忽略了“等式”这个条件。例如：“x > 2”含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 · 误认为所有等式都是方程，忽略了“含有未知数”这个条件。例如：“2 + 3 = 5”是等式，但不含未知数，所以不是方程。 3. 对方程的解的概念理解不到位： · 忘记“使方程左右两边相等”这个核心条件。 · 表述不规范，例如：“方程x + 1 = 5的解是4”，正确；不能说“4是方程x + 1 = 5”。 知识点总结 · 等式： 表示相等关系的式子（有等号）。 · 方程： 含有未知数的等式（两个条件：含未知数、是等式）。 · 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。 · 关系： 方程 ⊂ 等式（方程是特殊的等式）。 预习建议 1. 认真阅读教材： 仔细阅读课本上关于等式、方程、方程的解的定义和举例，确保理解每个概念的含义。 2. 动手举例： 自己尝试写出几个等式、几个非等式；写出几个方程、几个不是方程的等式，加深对概念的理解和区分。 3. 对比理解： 重点对比“等式与代数式”、“等式与方程”的异同点。 4. 尝试练习： 教材上的练习题可以尝试做一做，检验自己的预习效果，特别是判断哪些是方程，以及检验某个数是不是方程的解的题目。 5. 带着问题听课： 预习时如果有不理解的地方，记录下来，上课时重点听讲，向老师请教。例如：“如何快速判断一个式子是不是方程？”“所有的方程都有解吗？”（这个问题可以先思考） 巩固练习 一、选择题 1．是下列方程（　　）的解． A． B． C． D． 2．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程(　　) A． B． C． D． 4．下列四个式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 5． 下列所给条件，不能列出方程的是 （　　） A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘2等于14 C．某数与它的一半的差 D．某数的3倍与7的和等于29 6．若是关于x的一元一次方程的解，则的值是　　 A．2 B．1 C．0 D． 7．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。译文：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘。问共有多少人，多少辆车。设有车x辆，则由题意，可列方程为(　　) A．3(x+2)=2x-9 B．3(x+2)=2x+9 C．3(x-2)=2x-9 D．3(x-2)=2x+9 8． 根据下列条件，能列出方程 的是（　　） A．水笔价格的2倍再加1元是6元 B．足球数量的一半再多1个是6个 C．边长分别为 a 和1的正方形面积之和为6 D．a 的立方与1的和是6 9．若，且，以下结论：①；②关于x的方程的解为；③；④的所有可能取值为0和2；其中正确结论是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 10．在① ；② ；③ ；④ 中，等式有　 　，方程有　 　．（填入式子的序号） 11．已知式子：①3-4=-1；② ；③ ；④ ；⑤ 。其中是方程的有　 　。 12．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于x的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数k为　 　 13．若关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则　 　． 14． 一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x，可列出方程：　 　。 15．“x与5的和的2倍等于x的3倍”，用方程表示数量关系为 　 　 16．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为． 三、解答题 17．下列各式中，哪些是方程? 如果是方程，指出方程中的未知数。 （1）3x=4； （2）=4； （3）1-x； （4）1-a2=0； （5）5-3m=m； （6）3x-2y=1。 18．已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 19．根据下列条件，设未知数并列出方程。 （1）某数的3倍减去3，等于该数的 加5。 （2）某商店将进价为2500元的某品牌电视机按标价的八折销售，仍可获得220元的利润，求该品牌电视机的标价。 20． 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 21．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． （1）若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； （2）若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． （3）关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．C 10．②③④；②④ 11．③④⑤ 12．4，6，18 13．4 14． 15．2(x+5)=3x 16． 17．（1）解：式子含有未知数x且是等式，因此是方程， 方程未知数为x. （2）解：式子含有未知数y且是等式，因此是方程。 方程中的未知数为y。 （3）解：式子虽含有未知数x但不是等式，因此不是方程。 （4）解：式子含有未知数a且是等式，因此是方程。 方程中的未知数为a. （5）解：式子含有未知数m且是等式，因此是方程。 方程中的未知数为m. （6）解：式子含有未知数x，y且是等式，因此是方程。 方程中的未知数为x，y. 18． 19．（1）解：设这个数为，由题意列方程得：； （2）解：设该品牌电视机的标价为元。由题意得：. 20．解：(1)由图形可得： ； (2)由图形可得： ； (3)由图形可得： ． 21．（1）3 （2） （3）4，6，18 学科网（北京）股份有限公司 $$