精品解析：辽宁省营口市第一中学2024-2025学年九年级下学期质量检测数学试卷

营口市第一中学 质量检测试卷 九年级 数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. (B) C. (C) D. (D) 2. 下列运用等式的性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2022年山西省高考报考人数为337000，数据337000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，已知A、B、C、D四点都在上，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 12. 十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是______． 13. 菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为_________． 14. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则________． 15. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为，若，则的长为______ 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）． （1）求所需总费用与之间的函数关系式； （2）若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？ 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取的学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 41.7 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 19. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 20. 如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，） （1）求的度数． （2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． 21. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 22. 在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形． （1）如图1，若点E在上，连接，，交于点O． ①求证：平分． ②求的长． （2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长． （3）如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营口市第一中学 质量检测试卷 九年级 数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. (B) C. (C) D. (D) 【答案】D 【解析】 【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本项不符合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本项不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本项符合题意； 故选D. 2. 下列运用等式的性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，当时，根据等式的性质，有；当时，与2可以不相等；故错误，符合题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，因为，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 故选：． 3. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 4. 2022年山西省高考报考人数为337000，数据337000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 5. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：设投影的面积为cm，，cm， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方． 6. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】连接PE、PF，根据SSS证△AFP≌△AEP，推出∠FAP=∠EAP，求出∠FAP=∠EAP=∠C=25°，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：连接PF、PE， 由作法可知：AF＝AE，PF＝PE， ∵在△AFP和△AEP中 ∴△AFP≌△AEP（SSS）， ∴∠FAP＝∠EAP， ∵AB∥CD， ∴∠BAM＝∠CMA＝25°， ∴∠CAP＝25°， ∴∠C＝180°﹣∠CMA﹣∠CAP＝130°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 7. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接，，，，．证明，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图连接，，，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 8. 在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于、的判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】直线与直线的交点在第一象限， 即直线与直线的图象都经过第一象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 9. 如图，已知A、B、C、D四点都在上，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故①正确； 连接， ，故②错误； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④不正确； 故选：B． 10. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入ax+by＝3可得： ， 2a+4b﹣5 ． 故答案为：1 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键． 12. 十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得随机选取两名同学的所有可能的结果，再找出选中一男一女的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学的所有等可能的结果共有12种，其中，选中一男一女的结果共有8种， 则选中一男一女的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 13. 菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，由直角三角形的性质求出菱形的高AE，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°， ∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∵AE⊥BC， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝AB＝cm，AE=BE＝cm， ∴菱形的面积＝BC•AE＝3×=（cm2）； 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：80． 15. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为，若，则的长为______ 【答案】或 【解析】 【分析】第一种情况：点F在矩形内部，根据题意，且，得到h1=6，h2=2，根据折叠的性质得到，根据相似比得到，，即可求解AE；第二种情况，点F在BC下方，根据题意求得h1=12，h2=4，然后在中应用勾股定理求得BJ=，即，因此，根据含角直角三角形的边角关系或锐角三角函数即可求解EF，即AE． 【详解】（1）点F在矩形内部 根据题意，做于点H，于点J，如下图： 由题意得，解得h1=6，h2=2 ∵将沿折叠，使得点落在点处 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，EF= ∴AE= （2）点F在矩形外部，即在BC下方，如图所示 根据题意，做于点H，交BE于点I，交BC于点J，此时FH= h1，FJ= h2，如下图： 由题意得，解得h1=12，h2=4， ∵将沿折叠，使得点落在点处 ∴BF=AB=8 ∴在中，， ∴ ∴ 又∵FH=12 ∴ ∴AE= 故答案为或． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，和三角函数，判断出是本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的计算，负整数指数幂，零指数幂，乘方，特殊角的函数值，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用负整数指数幂，零指数幂，乘方，特殊角的函数值的运算法则进行计算即可； （2）先对分式进行化简，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当，时，代入上式得， 原式． 17. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．现要购买、两种树苗共100棵，已知、两种树苗的单价分别为30元/棵和20元/棵．若购买树苗的数量为棵，所需的总费用为（元）． （1）求所需总费用与之间的函数关系式； （2）若要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元？ 【答案】（1） （2）购买这些树苗至少需要2250元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据总费用A中树苗的费用加B种树苗的费用列出函数关系式即可； （2）根据购买树苗的棵数不多于树苗的3倍求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 由题意可得， 所需总费用与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 由题意可得， 解得． ，， 随的增大而增大， 当时，， 购买这些树苗至少需要2250元． 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息． 七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100； 八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93 七、八年级抽取的学生的测试评分统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 93 41.7 八年级 92 87 50.2 （1）根据以上信息，可以求出：______，______； （2）根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？ 【答案】（1）100；91 （2）七，七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好 （3）共有1308人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的概念求出、； （2）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答； （3）用样本估计总体，得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级测试评分为100的出现次数2，出现次数最多， ∴； 八年级饮食营养质量评分位于第8位的是91， ∴； 故答案为：100；91； 【小问2详解】 七年级的学生的测试评分较好，理由如下： 七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好； 【小问3详解】 两个年级学生评分为优秀的学生共有人． 19. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 【答案】（1） （2），单价为元时利润最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设关于的函数表达式为 由题意得： 解得： 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意得： ， 当时，有最大值元． ∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 由题意得： 二次函数的对称轴为： ，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大 ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，） （1）求的度数． （2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）他不能挂上篮网 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出； （2）延长、交于点H，则易得，根据锐角三角函数即可求出的长进而可得的长．由篮筐与支架在同一直线上可得与地面的距离与相同，再与3米做比较即可判断工人是否能否挂上篮网． 本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ， ， 又， ． 【小问2详解】 如图，延长、交于点H， ∵地面，地面， ， ， 又， ， ， ， ， ∵篮筐与支架在同一直线上， ∴与地面的距离为3.124米， 而， ∴他不能挂上篮网． 21. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：所对的弧是同弧， ， ， ，即， 为直径， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 22. 在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形． （1）如图1，若点E在上，连接，，交于点O． ①求证：平分． ②求的长． （2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长． （3）如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长． 【答案】（1）①证明见解析 ② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质，得到等腰三角形，结合等腰三角形的等边对等角性质，矩形的性质，平行线的性质证明平分． ②过点作于点，连接，利用矩形的性质，勾股定理求的长即可． （2）如图2，过点作于点．利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，计算的长即可． （3）根据旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，设未知数解方程求的的长即可． 【小问1详解】 解：①证明：由旋转可得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴平分． ②解：如图1，过点作于点，连接． ∵四边形是矩形， ∴． 由①得平分， ∴． ∵四边形是矩形， ． ， ． 四边形是平行四边形． ． 在中，． 由勾股定理，得． 在中，， 由勾股定理，得 ． 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点． 根据题意，得． 四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理，得． 由翻折可知，． ． ． ， 即． 由勾股定理，得． ． ． ， ． ． 由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 【小问3详解】 ． 由旋转可知，． ． 由翻折可知， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得． ， 解得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转性质，翻折性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相关性质，勾股定理和三角形相似的判定是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $