第53讲 成对数据的统计分析讲义-2026届高三数学一轮复习

第53讲　成对数据的统计分析 【知识梳理】　 一、经验回归分析 1.两个变量相关性的判断 (1)相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. (2)正相关与负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现　　　　的趋势,则称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现　　　　的趋势,则称这两个变量负相关.  (3)线性相关关系:两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在　　　　　　附近,则称这两个变量线性相关.   (4)样本相关系数 (i)计算: . (ii)样本相关系数r的性质 ①当r>0时,表明成对样本数据　　　　　;当r<0时,表明成对样本数据　　　　　.  ②当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越　　　　;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越　　　　.  2.一元线性回归模型 (1)线性经验回归方程:利用最小二乘法求得=x+,其中 (2)评价回归模型的优劣: (i)利用残差平方和:残差平方和越　　　　,拟合效果越好.  (ii)利用残差图:残差点分布在以　　　　为对称轴的带状区域内,该区域越　　　　,拟合效果越好.  (iii)利用决定系数:决定系数越　　　　,拟合效果越好.  二、独立性检验 1.分类变量X,Y的2×2列联表 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 记n=a+b+c+d,则随机变量χ2=,读作卡方. 2.独立性检验 (1)定义:利用随机变量　　　　的取值推断两个分类变量X和Y是否　　　　的方法称为独立性检验.  (2)独立性检验的基本步骤 ①提出零假设H0:分类变量X和Y相互独立; ②列出分类变量X和Y的抽样数据列联表; ③利用公式计算随机变量χ2的值; ④把计算得到的χ2的值与小概率值α相应的临界值表中的临界值xα比较. 当χ2≥xα时,就推断H0不成立,即认为X与Y不独立,此推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,没有充分证据推断H0不成立,可以认为H0成立,即认为X与Y独立. 考点01　成对数据的统计相关性 例1 (1)(多选题)下列有关样本相关系数r的说法正确的是 (　 ) A.r的取值范围是[-1,1] B.r的取值范围是[0,1] C.|r|越接近1,表示成对样本数据的线性相关程度越强 D.|r|越接近0,表示成对样本数据的线性相关程度越强 (2) 具有相关关系的变量x,y的散点图如图所示,若剔除点A,则 剩下的数据较剔除之前值变大的是(　 ) A.y的样本平均数 B.样本相关系数 C.对应经验回归方程的决定系数R2 D.对应经验回归方程的残差的平方和 考点02　一元回归模型 单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量y/件 84 82 78 m 例2 (1)[2024·吉林长春期末] 对于数据组(xi,yi)(i=1,2,…,n),如果由经验回归方程得到的yi的估计值是,那么将yi-所得的差称为样本点(xi,yi)处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到下表所示数据. 若该商品的销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为=-26x+,且样本点(8.4,82)处的残差为1.4,则实数m= (　 ) A.66 B.68 C.70 D.72 (2)在一元线性回归模型中,能说明模型的拟合效果越好的是 (　 ) A.残差图越宽 B.残差平方和越小 C.决定系数R2越小 D.样本相关系数r越大 研发投入x(单位:亿元) 1 2 3 4 5 产品收益y(单位:亿元) 3 7 9 10 11 (3)某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与产品收益y(单位:亿元)的一组数据如下. (i)计算x,y的样本相关系数r,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较强的线性相关程度?(若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般;若|r|≥0.75,则线性相关程度较强) (ii)求出y关于x的经验回归方程,并预测若想产品收益超过20亿元,则研发投入至少约为多少亿元?(结果保留两位小数) 参考公式:经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=(xi-)(yi-)=19. 例3 (1)某中学课外活动小组为了研究经济走势,根据该市2002~2024年的货物出口额数据绘制出如图所示的散点图,该小组选择了如下2个模型来拟合货物出口额y(单位:亿元)随年份代码x的变化情况.模型一:y=kx+b(k>0,x>0);模型二:y=kex+b(k>0,x>0).则下列说法正确的是 (　 ) A.变量y与x负相关 B.模型一的拟合效果更好 C.变量y与x有较强的线性相关程度 D.模型二的拟合效果更好 (2)蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y(单位:个)和平均温度x(单位:℃)有关,根据以往在某地收集到的7对数据作出散点图,如图所示,发现两个变量并不呈现线性相关关系,现分别用模型①y=c1x2+c2与模型②y=作为平均产卵数y和平均温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系. 将得到的数据进行初步处理,得到下表: 平均温度x 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y 5 9 22 25 65 118 324 t=x2 441 529 625 729 841 1024 1225 z=ln y 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.005 2 其中ti=,=ti,zi=ln yi,=. (i)根据表中数据,经计算得出模型①下的回归方程为=0.37x2-205.03,请建立模型②下y关于x的回归方程,并在两个模型下分别预测平均温度为30 ℃时的平均产卵数;(c3,c4与预测值均精确到小数点后两位,参考数据:e4.25≈70.11,e4.30≈73.70,e4.35≈77.48) (ii)已知模型①②的决定系数分别为≈0.812,≈0.988,请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好. 考点03　独立性检验 是否骑 共享单车 地点 合计 A城市 B城市 骑 15 8 23 不骑 5 12 17 合计 20 20 40 例4 (1为了调查是否骑共享单车与城市的拥堵情况是否有关联,某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市各随机调查了20名市民,得到的具体数据如下面的2×2列联表: 单位:人 则下列说法中正确的是 (　 ) A.根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为“是否骑共享单车与城市的拥堵情况没有关联” B.根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为“是否骑共享单车与城市的拥堵情况有关联” C.根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为“是否骑共享单车与城市的拥堵情况有关联” D.根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为“是否骑共享单车与城市的拥堵情况有关联” (2)为探究药物A对疾病B的治疗效果,将40名患者均分为两组,分别为对照组(未服药)和实验组(服药).测得40名患者血液中的某项指标数据如下(单位:mg).(数据已按从小到大的顺序排好) 对照组:18.3　19.4　20.1　21.4　22.6 23.4　24.4　24.9　25.3　25.9 26.2　26.7　26.8　26.8　26.9 27.3　27.4　27.5　27.6　35.3 实验组:4.4　 5.3　 5.8　 6.9　 7.3 8.1 8.4 9.0 10.4 13.2 13.4 16.3 18.2 19.3 23.6 24.1 24.5 24.7 25.2 25.3 (i)求40名患者血液中的该项指标数据的中位数m,并完成下面的2×2列联表: 单位:人 药物A 疾病B的指标数据 合计 <m ≥m 对照组 实验组 合计 (ii)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对治疗疾病B有效呢?(该项指标数据小于m则有效) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.010 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 限时训练 (时间:45分钟) 1.已知两个变量x,y的样本相关系数r1=0.958,两个变量u,v的样本相关系数r2=-0.974,则下列判断正确的是(　 ) A.变量x与变量y正相关,变量u与变量v负相关,变量x与变量y的线性相关程度更强 B.变量x与变量y负相关,变量u与变量v正相关,变量x与变量y的线性相关程度更强 C.变量x与变量y负相关,变量u与变量v正相关,变量u与变量v的线性相关程度更强 D.变量x与变量y正相关,变量u与变量v负相关,变量u与变量v的线性相关程度更强 学生性别 是否喜欢课外阅读 合计 喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 2.某学校针对本校学生是否喜欢课外阅读进行调查,抽取了25名女生,25名男生,调查结果形成以下2×2列联表. 单位:人 α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 通过数据分析,对于是否喜欢课外阅读与学生性别之间的关联性,下列说法中正确的是 (　 ) 附:χ2=,n=a+b+c+d. A.根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验不能认为两者有关联 B.根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关联 C.根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验认为两者有关联 D.根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验认为两者无关联 3.下列说法中正确的有 (　 ) ①经验回归直线=x+至少经过一个样本点; ②可以用样本相关系数r刻画两个变量的线性相关程度的强弱,r的值越大则两个变量的线性相关程度越强; ③在回归分析中,决定系数R2=0.98的模型比R2=0.97的模型拟合效果要好; ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄,则回归方程的预报精确度越高.　　　　　　　　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.根据变量x,y的观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,15)绘制散点图,如图①;根据变量u,v的观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,15),绘制散点图,如图②.设r1表示变量x,y的样本相关系数,r2表示变量u,v的样本相关系数,则 (　 ) A.-1<r1<r2<0 B.-1<r2<r1<0 C.0<r1<r2<1 D.0<r2<r1<1 5.给定两个随机变量x和y的5对数据如表所示. x 1 2 3 4 5 y 2 4 4 7 8 利用最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为=1.5x+,则 (　 ) A.=0.5,x=3时的残差为-1 B.=0.5,x=3时的残差为1 C.=0.4,x=3时的残差为-0.9 D.=0.4,x=3时的残差为0.9 6.由变量x与y之间的5对数据得到的散点图如图所示,若去掉点D(4,3),则下列说法正确的是 (　 ) A.变量x与变量y正相关 B.变量x与变量y的线性相关程度变强 C.对应经验回归方程的残差平方和变大 D.样本相关系数r变大 7.(多选题)下列说法正确的为 (　 ) A.已知经验回归方程=0.5x-0.78,则当x=26时,y的预测值为12.22 B.在经验回归方程=-0.3x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均加10个单位 C.在经验回归方程=-0.3x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均减少0.3个单位 D.以模型y=aebx去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y,将其变换后得到回归方程=3x+2ln 2,则,的值分别为4,3 8.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.由一组成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)求得的经验回归直线一定经过点(,),其中=(x1+x2+…+xn),=(y1+y2+…+yn) B.依据小概率值α=0.1的独立性检验对零假设H0进行检验,根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837<2.706=x0.1,由P(χ2≥2.706)=0.1可推断H0不成立,即认为两个变量有关联,该推断犯错误的概率不超过0.1 C.在残差图中,残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势,说明残差的方差不是一个常数,不满足一元线性回归模型的假设 D.决定系数R2越大,表示残差平方和越大,则模型的拟合效果越差 9.观察下面各等高堆积条形图,其中两个分类变量x,y关联性最强的是　　　　.  10.为了解某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,得到如下列联表: 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t. 单位:只 (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P,求P的估计值. (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附:χ2=, α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 11.如图为某组成对样本数据的散点图,样本相关系数为r1,由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为=x+,决定系数为.若去掉点P,剩余的点的样本相关系数为r2,重新计算得到经验回归直线l2的方程为=x+,决定系数为.则下列结论一定正确的是 (　 ) A.r1>r2 B.> C.< D.r1>0,r2<0 12.(多选题)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据与最小二乘法求参数b的估计值,即求使Q(b)=(yi-bxi)2取最小值时的b的值.若某汽车品牌2020~2024年的年销量ω(单位:万辆)与对应年份代码t之间的一组数据如下表. 年份代码t 1 2 3 4 5 年销量ω 4 9 14 18 25 根据散点图和样本相关系数判断,它们之间线性相关程度较强,可以用线性回归模型拟合. 令变量x=t-,Y=ω-,且变量x与变量Y满足一元线性回归模型则下列结论正确的有(　 ) A.= B.= C.=5.1t-1.3 D.预测2025年的年销量为34.4万辆 13.(多选题)由成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)得到的经验回归方程为=-x+2,且=4.剔除一个偏离经验回归直线较大的异常点(-14,-2)后,得到的新的经验回归直线经过点(7,-4),则下列说法正确的是 (　 ) A.变量x,y正相关 B.剔除异常点后,样本相关系数的绝对值变大 C.新的经验回归直线经过点(6,-2) D.剔除异常点后,随着x值的增加,变量y的值减小速度变小 (xi-)(yi-) (xi-)2 (xi-)(wi-) 3 73.5 3.85 -95 28 -2.24 14.中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.某数学建模小组为了获得某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)关于冲泡时间x(单位:min)的经验回归方程,通过收集在25 ℃室温下,茶水温度随冲泡时间变化的7对数据,并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如下表所示的数据. 表中wi=ln(yi-25),=wi. (1)根据散点图判断①y=a+bx与②y=d·cx+25哪一个更适宜作为茶水温度y关于冲泡时间x的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由)?请根据你的判断结果及表中数据建立茶水温度y关于冲泡时间x的经验回归方程. (2)已知该茶叶的茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳,根据(1)中的经验回归方程,求在相同条件下冲泡的茶水,大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感? 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-. 参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7. 参考答案 1.D　[解析] 由样本相关系数r1=0.958>0知x与y正相关,由样本相关系数r2=-0.974<0知u与v负相关,又|r1|<|r2|,所以变量u与变量v的线性相关程度比变量x与变量y的线性相关程度更强.故选D. 2.B　[解析] 由题得,χ2==,又x0.01=6.635<<10.828=x0.001,所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关联.故选B. 3.B　[解析] 经验回归直线=x+可以不经过任何一个样本点,①错误;|r|的值越大,则两个变量的线性相关程度越强,②错误;决定系数R2越大,模型拟合效果越好,③正确;残差图中残差点所在的水平带状区域越窄,则回归方程的预报精确度越高,④正确.故选B. 4.A　[解析] 由题图可得y随x增大而减小,v随u增大而减小,所以y与x呈负相关关系,v与u呈负相关关系,故-1<r1<0,-1<r2<0,又由题图可知y与x的线性相关程度更强,所以r1更接近于-1,所以-1<r1<r2<0.故选A. 5.A　[解析] 由题意得==3,==5,因为点(,)在经验回归直线=1.5x+上,所以=0.5,所以x=3时,=1.5×3+0.5=5,所以残差为4-5=-1.故选A. 6.B　[解析] 由散点图可知,去掉点D(4,3)后,y与x的线性相关程度变强,且为负相关,所以B正确,A错误;因为y与x的线性相关程度变强,所以对应经验回归方程的残差平方和变小,所以C错误;因为y与x的线性相关程度变强,且为负相关,所以样本相关系数的绝对值变大,且样本相关系数为负数,所以样本相关系数r变小,所以D错误.故选B. 7.ACD　[解析] 对于A,经验回归方程为=0.5x-0.78,当x=26时,=0.5×26-0.78=12.22,故A正确;对于B,C,在经验回归方程=-0.3x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均减少0.3个单位,故B错误,C正确;对于D,由=ln =3x+2ln 2,得=e3x+ln 4=e3x·eln 4=4·e3x,则=4,=3,故D正确.故选ACD. 8.AC　[解析] 对于A,由成对样本数据求得的经验回归直线一定经过点(,),故A正确;对于B,因为χ2≈0.837<2.706=x0.1,由P(χ2≥2.706)=0.1可推断H0成立,即认为两个变量没有关联,故B错误;对于C,在残差图中,残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势,说明残差的方差不是一个常数,不满足一元线性回归模型的假设,故C正确;对于D,决定系数R2越大,表示残差平方和越小,则模型的拟合效果越好,故D错误.故选AC. 9.乙　[解析] 观察四个等高堆积条形图可知,乙图中y1,y2的高度差最大,则两个分类变量x,y的关联性最强. 10.解:(1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150. (2)由列联表知,未服用药物A的动物有180只, 未服用药物A且患疾病B的动物有80只, 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为=, 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率P的估计值为. (3)零假设为H0:服用药物A对预防疾病B无效, 根据列联表中的数据,经计算得到χ2==≈6.734>6.635=x0.01, 根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立, 即认为服用药物A对预防疾病B有效,此推断犯错误的概率不大于0.01. 11.C　[解析] 最初共8个点且点P的横坐标较小而纵坐标较大,去掉点P后,经验回归直线的斜率变大,故C正确;去掉点P后线性相关程度更强,且还是正相关,重新计算得到的经验回归直线的方程拟合效果也更好,则0<r1<r2,<,故A,B,D错误.故选C. 12.AC　[解析] 由xi=ti-可得=(ti-)=ti-=0, 由yi=ωi-,可得=(ωi-)=ωi-=0,则===,故A正确,B错误;由表格中数据可得=3,=14,xiyi=(ti-)(ωi-)=tiωi-5·=1×4+2×9+3×14+4×18+5×25-5×3×14=51,=(ti-)2=-5=1+4+9+16+25-5×9=10,所以===5.1,因为=0,=0,所以y与x的经验回归直线必过原点,方程为=5.1x,又x=t-=t-3,y=ω-=ω-14,所以-14=5.1(t-3),整理得=5.1t-1.3,故C正确;2025年对应的年份代码为t=6,此时=5.1×6-1.3=29.3,所以预测2025年的年销量为29.3万辆,故D错误.故选AC. 13.BC　[解析] 对于A,由经验回归直线=-x+2的斜率为-1<0,可得变量x,y负相关,所以A错误;对于B,剔除异常点(-14,-2)后,样本数据的线性相关程度变强,所以样本相关系数的绝对值变大,所以B正确;对于C,由原经验回归方程为=-x+2,且=4,可得=-2,剔除异常点(-14,-2)后,得到变量x,y的样本数据的平均数分别为'==6,'==-2,则新的经验回归直线经过点(6,-2),所以C正确;对于D,设新的经验回归方程为=x+,由新的经验回归直线经过点(7,-4),得解得所以新的经验回归方程为=-2x+10,又原经验回归直线的斜率为-1,所以剔除异常点后,随着x值的增加,变量y的值减小的速度变大,所以D错误.故选BC. 14.解:(1)由散点图知,y=d·cx+25更适宜作为y关于x的回归方程模型. 由y=d·cx+25,得y-25=d·cx,两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c, 令w=ln(y-25),则w关于x的经验回归方程为=ln +xln , 结合表中数据,得ln ===-0.08, 结合参考数据可得=e-0.08≈0.92, 由ln =-ln =3.85-3×(-0.08)=4.09,得=e4.09≈60, 所以茶水温度y关于冲泡时间x的经验回归方程为=60×0.92x+25. (2)依题意,25 ℃室温下,该茶叶的茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳, 令60=60×0.92x+25,整理得xln 0.92=ln, 即xln 0.92=ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6, 解得x≈=7.5, 所以在相同条件下冲泡的茶水,大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$