第52讲 统计图表、用样本估计总体讲义-2026届高三数学一轮复习

第52讲　统计图表、用样本估计总体 【知识梳理】　 1.数据的可视化描述 (1)各类统计图的特点 类型 作用 频率分布 直方图 主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率的大小,可以估计总体数据的分布趋势 扇形图 主要用于直观描述各类数据占总数的比例 条形图 主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率,尤其是离散型的数据 折线图 主要用于描述数据随时间的变化趋势 (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中　　　　　与　　　　　的差);  ②决定　　　　与　　　　;   ③将数据　　　　;  ④列　　　　　　;  ⑤画　　　　　　　.   2.数据的数字特征 (1)平均数:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为=　　　　　　　　　　,简记为=.  (2)中位数:把一组数据按　　　　　　　　　　的顺序排列,处在　　　　位置的一个数据(或两个数据的平均数).   (3)众数:一组数据中,出现次数　　　　的数据.  (4)众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的　　　　更加敏感  任何一个数据的改变都会引起　　　　　的改变.数据越“离群”,对　　　　的影响越大  中位数 不受少数几个　　　　数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响  对　　　　不敏感  众数 体现了样本数据的最大　　　  众数只能传递数据中很少的一部分信息,对　　　　不敏感  (5)百分位数 ①定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据　　　　　这个值,且至少有(100-p)%的数据　　　　　这个值.   ②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤: 第1步,按　　　　　　排列原始数据.  第2步,计算i=　　　　.   第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第　　　　项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的　　　　.  ③四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数. (6)方差和标准差 如果x1,x2,…,xn的平均数为,则其方差s2= 注:方差越大,说明数据的离散程度或波动幅度越大,反之数据的离散程度或波动幅度越小.其单位是原始数据单位的平方. 常用结论 1.若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则数据yi=axi+b(i=1,2,…,n,a,b∈R)的平均数=a+b,方差为a2s2. 2.众数、中位数(百分位数)、平均数与频率分布直方图的关系: (1)众数:最高的小矩形底边中点的横坐标. (2)中位数:从左侧开始满足小矩形面积和为0.5的横坐标的值;根据百分位数的定义,求百分位数同样转化为从左侧求小矩形的面积和满足的条件; (3)平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积的和. 考点01　常见统计图表的识读与直观应用 例1 (1)某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生平均每周体育运动时长的情况,从该校学生中随机收集了300名学生平均每周体育运动时长(单位:小时)的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法不正确的是 (　 ) A.估计该校学生平均每周体育运动时长的平均数为5.8 B.估计该校学生平均每周体育运动时长不足4小时的人数为750 C.估计该校学生平均每周体育运动时长不少于8小时的人数的百分比为10% D.估计该校学生平均每周体育运动时长不少于8小时的人数为600 (2)小波一星期的总开支(单位:元)分布如图①所示,一星期的食品开支(单位:元)分布如图②所示,则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为(　 ) A.33% B.11% C.10% D.1% 考点02　样本的数字特征的求解与应用 例2 (1) 有一组数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　 ) A.两组数据的平均数相同 B.两组数据的标准差相同 C.两组数据的中位数相同 D.两组数据的众数相同 (2)(多选题)某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位:kW·h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图,则 (　 ) A.图中a的值为0.015 B.估计样本的第75百分位数为217 C.估计样本的平均数为198.4 D.估计样本平均数小于样本中位数 (3)(多选题) 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示,则 (　 ) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C.讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前问卷答题的正确率的极差 考点03　用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 (1)(多选题)某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况,从800名员工中抽取了100名员工进行调查,根据这100人的服务时长(单位:小时),按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]进行分组后,得到如图所示的频率分布直方图,则 (　 ) A.a的值为0.018 B.估计员工服务时长的平均数为45 C.估计员工服务时长的中位数约为48.6 D.估计本单位员工中服务时长不小于50小时的有45人 (2)某校对高一年级学生参加志愿服务的次数进行统计,随机抽取n名学生,得到这n名学生参加志愿服务的次数,根据此数据作出了频率分布表(如表)和频率分布直方图(如图). 分组 频数 频率 [10,15) 15 0.3 [15,20) 25 p [20,25) m q [25,30] 4 0.08 合计 n 1 ①请补全频率分布表,并求出频率分布直方图中a的值; ②若该校高一年级学生有400人,试估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在[10,20)内的人数; ③试估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数和平均数(同一组的数据用该组区间的中点值代表). 限时训练 (时间:45分钟) 1.数据1,2,5,4,8,10,6的第60百分位数是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.4.5 B.5.5 C.6 D.8 2.随着科学技术的不断进步和人们环保意识的提升,全球新能源汽车市场愈发繁荣,近年来,我国在新能源汽车的研发以及产销量上取得了巨大的进步.如图是2016~2022年全球及中国新能源汽车销量情况统计图,则下列说法正确的是(　 ) A.全球新能源汽车销量(单位:万辆)数据的极差为456 B.中国新能源汽车销量逐年递增 C.2021年中国新能源汽车销量增长最快 D.2022年中国新能源汽车销量占全球销量的比重最大 3.某校高一年级组建了演讲、舞蹈、合唱、绘画、英语协会五个社团,高一年级的1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团,学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示不完整的两个统计图. 则选取的学生中,参加绘画社团的学生人数为(　 ) A.20 B.30 C.40 D.45 4.采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测、预警作用.PMI高于50%时,反映经济总体较上月扩张;低于50%时,反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如图所示的折线图. 根据该折线图,下列结论正确的是 (　 ) A.2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于50% B.2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C.2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D.2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 5.某时间段公路上车速(单位:km/h)的频率分布直方图如图所示,则 (　 ) A.a=0.1 B.估计车速的众数是70 C.车速的平均数的估计值大于其中位数的估计值 D.估计车速的中位数是62.5 6.如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量(单位:t)的频 率分布直方图,如果要让60%的居民月均用水量不超出标准 a(单位:t),则下列最接近a的数为 (　 ) A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 7.(多选题)若数据x1,x2,…,x10的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的是 (　 ) A.数据4x1+1,4x2+1,…,4x10+1的平均数为13 B.数据3x1,3x2,…,3x10的方差为12 C.xi=30 D.=130 8.(多选题)为了增强学生体质,全面推动校园足球运动高质量发展,某校举行了校园足球联赛,赛后统计得知,甲队每场比赛平均失球数是1.5,失球个数的标准差为1.1;乙队每场比赛平均失球数是2.1,失球个数的标准差为0.4.则下列说法正确的是 (　 ) A.平均说来乙队比甲队的防守技术好 B.乙队比甲队技术水平更稳定 C.甲队防守中有时防守表现较差,有时表现又非常好 D.乙队很少不失球 9.(多选题)某校篮球社的20个成员进行了定点投篮测试并记录得分,已知男生组10人得分的平均数和方差分别为8和4,女生组10人得分的平均数和方差分别为x和y,这20人得分的平均数和方差分别为a和b,则 (　 ) A.当x=8时,a=8 B.当y=4时,b=4 C.当x=8,y=4时,b=4 D.当x=4,y=8时,b=10 10.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生,将其期中考试的数学成绩(单位:分)按[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]分成六组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求抽取的学生的数学成绩在[70,80)内的频率; (2)根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均数、众数、中位数.(中位数的小数点后保留一位有效数字) 11.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5都为正数,其方差s2=(++++-80),则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为 (　 ) A.11 B.8 C.5 D.3 12.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4.若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的第75百分位数为　　　　.  13.某单位举办演讲比赛,最终来自A,B,C,D四个部门的共12人进入决赛,把A,B,C,D四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　.  14.为积极响应“弘扬优秀传统文化”的号召,某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛,为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图所示. 大赛结束后一个月,再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表如下: 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 (1)估计活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数; (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首及以上的人数; (3)选择适当的统计量,从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果. 参考答案 1.C　[解析] 这7个数从小到大排列为1,2,4,5,6,8,10,因为7×60%=4.2,所以第60百分位数是第5个数6.故选C. 2.C　[解析] 对于A,全球新能源汽车销量(单位:万辆)数据的极差为922-79=843,A错误;对于B,2019年中国新能源汽车销量比上一年少,B错误;对于C,中国新能源汽车销量,2017年比2016年增长,2018年比2017年增长,2019年比2018年增长-,2020年比2019年增长,2021年比2020年增长,2022年比2021年增长,显然2021年中国新能源汽车销量增长最快,C正确;对于D,2016年中国新能源汽车销量占全球新能源汽车销量的比重超过60%,2022年不到60%,D错误.故选C. 3.A　[解析] 由题得参加演讲社团的学生人数为30,又参加演讲社团的学生人数占15%,所以选取的学生人数为=200,因为参加绘画及合唱社团的学生人数占1-20%-20%-15%=45%,所以参加绘画及合唱社团的学生人数之和为200×45%=90,又参加合唱社团的学生人数为70,所以参加绘画社团的学生人数为20.故选A. 4.D　[解析] 对于选项A,根据题图可知,共有16个月的PMI,其中10个月的PMI小于50%,所以PMI的中位数小于50%,故A错误;对于选项B,2022年第四季度各月的PMI比2023年第三季度各月的PMI的波动大,则方差也大,故B错误;对于选项C,因为2023年7月和8月的PMI均小于50%,所以2023年第三季度7月和8月的经济总体较上月收缩,故C错误;对于选项D,2023年第一季度各月的PMI均大于50%,则2023年第一季度各月的经济总体较上月扩张,故D正确.故选D. 5.D　[解析] 对于A,由10(a+3a+4a+2a)=1,解得a=0.01,A错误;对于B,由题图得车速在[60,70)内的频率最大,则估计车速的众数是65,B错误;对于C,估计车速的平均数为0.1×45+0.3×55+0.4×65+0.2×75=62,设车速的中位数为m,易知m∈[60,70),则0.4+(m-60)×0.04=0.5,解得m=62.5,显然62<62.5,C错误;对于D,由C中分析知,估计车速的中位数是62.5,D正确.故选D. 6.A　[解析] 因为3×(0.077+0.107)=0.552<0.60,3×(0.077+0.107+0.043)=0.681>0.6,所以a在[7.2,10.2)内,所以3×(0.077+0.107)+(a-7.2)×0.043=0.60,解得a≈8.316.由各选项知最接近8.316的数为8.5.故选A. 7.ACD　[解析] 依题意知,xi=3,(xi-3)2=4.对于A,(4xi+1)==4×3+1=13,故A正确;对于B,依题意知,3xi==3×3=9,所以数据3x1,3x2,…,3x10的方差为(3xi-9)2=9(xi-3)2=9×4=36,故B错误;对于C,显然xi=30,故C正确;对于D,由(xi-3)2=(-6xi+9)===4,解得=130,故D正确.故选ACD. 8.BCD　[解析] 对于选项A,因为1.5<2.1,所以平均说来甲队比乙队的防守技术好,故A错误;对于选项B,C,因为1.1>0.4,所以乙队比甲队技术水平更稳定,即甲队防守中有时防守表现较差,有时表现又非常好,故B,C正确;对于选项D,因为乙队每场比赛平均失球数是2.1,且标准差为0.4,结合选项B可知,乙队平均失球数多,且乙队防守技术水平更稳定,即乙队很少不失球,故D正确.故选BCD. 9.ACD　[解析] 对于A,当x=8时,a=×8+×8=8,A正确;对于B,不确定x的值,因此不能求出b的值,B错误;对于C,当x=8时,a=×8+×8=8,所以b=×[4+(8-8)2]+×[4+(8-8)2]=4,C正确;对于D,当x=4时,a=×8+×4=6,所以b=×[4+(8-6)2]+×[8+(4-6)2]=10,D正确.故选ACD. 10.解:(1)设数学成绩在[70,80)内的频率为x, 根据频率分布直方图得(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 解得x=0.3. (2)由(1)知a=0.03.根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均数为(45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=71, 估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的众数为75. 因为在频率分布直方图中,第一、二、三组的频率之和为(0.01+0.015×2)×10=0.4, 所以估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的中位数为70+10×≈73.3. 11.A　[解析] 根据题意,设样本数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为,则其方差s2=[(a1-)2+(a2-)2+(a3-)2+(a4-)2+(a5-)2]=(++++-2a1-2a2-2a3-2a4-2a5+5)=(++++-5),又s2=(++++-80),所以5=80,可得=4,则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为2+3=11.故选A. 12.　[解析] 这组数据的极差为a4-a1,中位数为.根据题意得a4-a1=2×=a2+a3,即a4=a1+a2+a3,又a1+a2+a3+a4=12,所以2a4=12,解得a4=6,则a1+a2+a3=6.又a1,a2,a3为正整数且互不相等,所以a1=1,a2=2,a3=3.因为75%×4=3,所以这4个数据的第75百分位数为==. 13.5　[解析] 设样本数据为a,b,c,d,0≤a<b<c<d,a,b,c,d∈N且a+b+c+d=12,则样本平均数为3,样本方差为×[(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2+(d-3)2]=,则(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2+(d-3)2=10,所以(d-3)2≤10,解得d≤+3.当d=6时,(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2=1,因为样本数据互不相同,所以不存在a,b,c使得等式成立.当d=5时,(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2=6,存在a=1,b=2,c=4,使得等式成立.当d≤4时,因为样本数据互不相同,所以不存在a,b,c使得等式成立.所以样本数据中的最大值为5. 14.解:(1)活动启动之初,调查的学生有20÷=120(名), 背诵4首的学生有120-15-20-16-13-11=45(名), 把这些数据从小到大排列,中位数为第60个数和第61个数的平均数, 所以估计活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为=4.5. (2)根据题意,估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首及以上的人数为1200×=850. (3)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为4.5, 平均数为×(3×15+4×45+5×20+6×16+7×13+8×11)=5. 大赛结束后一个月该校学生“一周诗词诵背数量”的中位数为6, 平均数为×(3×10+4×10+5×15+6×40+7×25+8×20)=6. 则从比赛前后的中位数和平均数来看,学生在大赛结束后“一周诗词诵背数量”都高于活动启动之初,用样本估计总体,可以说明这次活动效果明显. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$