精品解析：广东省顺德区美辰学校2024-2025学年下学期八年级第一次学情调查数学试卷

美辰学校2024—2025学年第二学期第一次学情调查 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 解不等式组时，不等式①，②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等关系中，正确的是（ ） A. a不是正数可表示为 B. x不大于4可表示为 C. x与2的和是非负数可表示为 D. m与5的差是负数可表示为 5. 如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，过点D作于点P，若，，则的面积为（　　） A. 10 B. 6 C. 4 D. 3 6. 如图，在中，，，点是边的中点，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（ ） A. B. C. D. 9. 若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（ ） A. 8块 B. 9块 C. 10块 D. 11块 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式12-4x≥0的非负整数解是_______ 12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则为_________度． 13. 如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为_________． 14. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有______．（写序号） 三、解答题一（本大题共3小题，第16题10分，第17题、第18题每题7分，共24分．） 16. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 17. 在比赛中，每名射击运动员打10枪，每中靶1次得5分，每脱靶1次扣1分，得到的分数不少于35分的射击运动员为优胜者．要成为优胜者，至少要中靶多少次？ 18. 如图，在中，点是的中点，，，且． （1）求证：≌； （2）连接，求证：平分． 三、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） （1）图1中，在上画一点，使； （2）图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 20. 深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) （1）求种配件进价的值． （2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 先阅读下面的材料，再解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如，等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负． （1）若，则，或______；若，则______或_______． （2）根据上述信息，求不等式和的解集． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，在中，，，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． （1）若点P在上，且满足，求出此时的值； （2）若点P恰好在的平分线上，求的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 23. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 美辰学校2024—2025学年第二学期第一次学情调查 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误；        B. ，若，则，故该选项错误； C. ∵，∴，故该选项正确；       D. ∵，∴，故该选项错误； 故选：C． 2. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等，进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是：． 故选：C． 3. 解不等式组时，不等式①，②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并将不等式的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键． 分别求出不等式①，②的解集，再将其表示在数轴上即可得出结论． 【详解】解：解不等式组时，不等式①，②的解集在数轴上表示正确的是 故选：D． 4. 下列不等关系中，正确的是（ ） A. a不是正数可表示为 B. x不大于4可表示为 C. x与2的和是非负数可表示为 D. m与5的差是负数可表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含)．根据不等量关系的表示方法逐项分析即可． 【详解】解：A．a不是正数可表示为，故不正确； B．x不大于4可表示为，故不正确； C．x与2的和是非负数可表示为，故不正确； D．m与5的差是负数可表示为，故正确； 故选：D． 5. 如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，过点D作于点P，若，，则的面积为（　　） A. 10 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．过点D作于点M，利用角平分线的性质定理得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点M， 由题意可得：， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，点是边的中点，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 点是边的中点， ， 在中，，， 则， 故选：B ． 7. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：B． 9. 若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键先求出交点坐标，进而确定a的值． 先根据交点在上，求出，从而确定交点坐标，把代入，算出，然后代入不等式，即可求解． 【详解】∵函数和函数的交点为， ， ， ， 把A点的坐标代入得， ， 把代入得， 解得： 故选：A． 10. 小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（ ） A. 8块 B. 9块 C. 10块 D. 11块 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式是解题的关键．设最多还可以买橡皮块，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设最多还可以买橡皮块， 由题意可得：， 解得， 故最多还可以买橡皮11块． 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式12-4x≥0的非负整数解是_______ 【答案】3、2、1、0 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：12-4x≥0， -4x≥-12， x≤3， 故不等式的解集是x≤3， 则不等式12-4x≥0的非负整数解有3、2、1、0. 故答案为3、2、1、0. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则为_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：线段的垂直平分线交于，交于， ， ， 等腰中，，， ， ． 故答案为：60． 13. 如图，在等边中，，平分交于点D，过D作于点E，则的长度为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．由在等边三角形中，平分交于点，由三线合一的性质，可求得的长，又由，可求得，则可求得的长，即可求得答案．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：是等边三角形， ，， 平分交于点， ， ， ， ． 故答案为：2． 14. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 15. 如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有______．（写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确；没有理由能判断平分． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 没有理由能判断平分，结论⑤错误． 综上，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题一（本大题共3小题，第16题10分，第17题、第18题每题7分，共24分．） 16. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和不等式组， （1）根据移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 合并同类项得， ∴； 【小问2详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 17. 在比赛中，每名射击运动员打10枪，每中靶1次得5分，每脱靶1次扣1分，得到的分数不少于35分的射击运动员为优胜者．要成为优胜者，至少要中靶多少次？ 【答案】8次 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据“打10枪后分数不少于35分”列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：设要中靶次． 由题意，得， 解得． 因为为整数，所以的最小值为8． 故至少要中靶8次． 18. 如图，在中，点是的中点，，，且． （1）求证：≌； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ，， ， 在与中 ， ≌， （2） 证明：≌， ，， ， 平分． 【解析】 【分析】求出，，根据证出≌即可； 根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定推出即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用． 三、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） （1）图1中，在上画一点，使； （2）图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 【答案】（1）如图所示， （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的判定与性质， 熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； （2）取格点F，连接交于E，则点E即为所求． 【小问1详解】 解：取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； 利用勾股定理可证明，利用勾股定理的逆定理可证明，则是等腰直角三角形，即； 【小问2详解】 解：取格点F，连接交于E，则点E即为所求； 可证明，则垂直平分， 则， 故， 则三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，即． 20. 深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) （1）求种配件进价的值． （2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）的值为 （2）当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； 【小问2详解】 设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 21. 先阅读下面的材料，再解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如，等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负． （1）若，则，或______；若，则______或_______． （2）根据上述信息，求不等式和的解集． 【答案】（1），，； （2）原不等式的解集是或； 原不等式的解集是． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是有理数除法法则、解一元一次不等式组，解题关键是正确理解题意并列出不等式组． （1）根据题意结合有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，可得答案； （2）根据题意结合有理数除法法则可得或，或，分别解不等式组可得答案． 【小问1详解】 解：根据有理数除法法则可得： 若，则，或； 若，则，或． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：由题意得： ，则或， 解得或者； ，则或， 解得． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，在中，，，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． （1）若点P在上，且满足，求出此时的值； （2）若点P恰好在的平分线上，求的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1）当时， （2）点P恰好在的角平分线上，t的值为或12 （3）t为或10或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论； （2）分类讨论，当点P在上，过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t；当点P与点A重合； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， ∵点P在上，则（秒）， ∴， 连接，如图所示： 当时，， 在中，， 即， 解得：， ∴当时，； 【小问2详解】 解：如图1，当点P在上，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P与点A重合， ∴； 【小问3详解】 解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或10或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 23. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） （3）的长是或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平行线的性质和折叠性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据折叠的性质可，由可得，，再根据三角形的内角和定理构造方程求x即可； （3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：的长是或，理由如下： 由（1）知，故有两种情况： 如图，当时，点在内， 得， ∴， 由折叠得， ∴， 又∵ ∴， ∴； 当时，点F在外， 同理可得，则， ∴． ∴， 综上，的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $