第22章 二次函数 单元练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.设，，是拋物线图象上的三点，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    ) A. B. 当时，随的增大而减小 C. D. 是关于的方程的一个根 4.如果将抛物线向右平移个单位，那么所得的抛物线的表达式是(    ) A. B. C. D. 5.【情境素材题】生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润和月份之间的函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是(    ) A. 月、月、月 B. 月、月、月 C. 月、月、月 D. 月、月、月 6.已知二次函数的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是(    ) A. 对称轴是直线 B. 当时，函数随的增大而增大 C. 图象的顶点坐标是 D. 图象与轴的另一个交点是 7.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠和喷头的水平距离米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.在图中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度单位：与水流喷出时间单位：之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是______ 10.二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是________． 11.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为，则能建成的饲养室面积最大为          ． 12.如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为______． 13.如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽时，水深，当水面下降时，水面宽为______ 14.抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是______． 15.如图，是抛物线的一部分，已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，则方程的两根是_____． 16.若二次函数的与的部分对应值如表，则当时，的值为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象过点，． 求二次函数的关系式； 写出它的对称轴和顶点坐标． 18.本小题分 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是元时，销售是件，而销售单价每涨元，就会少售出件玩具． 若设该种品脚玩具上元元，销售利润为元，请求出关于的函数关系式； 若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润． 19.本小题分 如图，以为顶点的抛物线交轴于点，，交轴于点． 求抛物线的解析式； 在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标； 在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20.本小题分 某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少元，发现原来买这批牛肉千克的钱，现在可买千克． 现在实际购进这批牛肉每千克多少元？ 若这批牛肉的销售量千克与销售单价元千克满足如图所示的一次函数关系．求与之间的函数关系式； 这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？利润销售收入进货金额 21.本小题分 小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有． 求抛物线的顶点坐标； 求出球飞行的最大水平距离； 若小明第二次仍从此处击球，使其最大高度不变，而球刚好进洞，则球飞行的路线满足抛物线的解析式是什么？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：抛物线解析式为， 二次函数图象的顶点坐标是． 故选：． 根据顶点式可直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解答】 解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 又关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与轴的交点，难度适中．二次函数，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线与轴交点的位置确定，的符号由及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小．此外抛物线解析式中得到一元二次方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标由函数图象可得抛物线开口向上，得到大于，又抛物线与轴的交点在轴负半轴，得到小于，进而得到与异号，根据两数相乘积为负得到小于，选项A错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，得到对称轴右边随的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为，利用对称轴公式得到，选项C错误；由抛物线与轴的交点为及对称轴为，利用对称性得到抛物线与轴另一个交点为，进而得到方程的有一个根为，选项D正确． 【解答】 解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向上，即， 抛物线与轴的交点在轴负半轴，即， ，选项A错误； 由函数图象可得：当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，选项B错误； 对称轴为直线， ，即，选项C错误； 由图象可得抛物线与轴的一个交点为，又对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 则是方程的一个根，选项D正确． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先得到抛物线的顶点坐标为，再得到点向右平移个单位得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移个单位得到点的坐标为， 所以所得的抛物线的表达式为． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．知道利润和月份之间函数关系式，求利润大于时的取值． 【解答】 解：由题意知， 利润和月份之间函数关系式为， ， 当时，， 当时，， 当时，， 故停产的月份是月、月、月． 故选C． 6.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，所以选项的说法正确，不符合题意； 当时，函数随的增大而增大，所以选项的说法正确，不符合题意； 点关于直线的对称点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，所以选项错误，符合题意； 设抛物线解析式为，把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即， 所以抛物线的顶点坐标为，所以选项的说法正确，不符合题意． 故选：． 利用抛物线的顶点的横坐标为可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断；利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则可对进行判断；利用交点式求出抛物线解析式，然后配成顶点式后可对进行判断． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，图象与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式． 根据二次函数的顶点式或者对称轴公式即可求解． 【解答】 解：方法一： 根据题意，得 ，   所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米． 方法二： 因为对称轴为直线， 所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据每一个选项中函数的图象，分别判断两个函数式的符号是否相符，作出判断． 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【解答】 解：根据图象判断两函数式中，的符号是否相符； A.由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； B.由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； C.由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； D.由函数的图象知，由函数的图象知，相符． 故选D． 9.【答案】  【解析】解：， 当时，或， 水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：， 故答案为：． 根据题意，可知水流从喷出至回落到水池，最后的高度，然后令求出相应的的值，即可得到水流从喷出至回落到水池所需要的时间． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10.【答案】  【解析】解：根据抛物线与轴两交点坐标为， 故当函数值时，对应的取值范围上是：． 故答案为：． 根据时，对应的值，再求函数值时，对应的取值范围． 本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型． 设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为米，表示出总面积后即可求得面积的最值． 【解答】 解：设垂直于墙的材料长为米， 则平行于墙的材料长为米， 则总面积， ， 当时，有最大值，且最大值为． 即能建成的饲养室面积最大为． 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：设抛物线与轴的另一个交点是， 抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，与轴的一个交点是， 与轴的另一个交点是， 把代入解析式得：， ， 故答案为：． 依据抛物线的对称性求得抛物线与轴的另一个交点，代入解析式即可． 本题考查了抛物线的对称性，知道抛物线与轴的一个交点和对称轴，能够表示出与轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是解决本题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 直接建立平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案． 【解答】 解：如图所示：建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， ， 故， 解得：， 则， 当水面下降时，， 则， 解得：， 故当水面下降时，水面宽为 故答案为：． 14.【答案】直线  【解析】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线，即． 故答案为：直线． 因为点和的纵坐标都为，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 15.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点． 根据二次函数的对称性求出抛物线与轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可． 【解答】 解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， 抛物线与轴的另一交点是， 方程的两根是，． 故答案为：，． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴，此题难度不大． 根据表格可知，二次函数图象的对称轴为，进而求出横坐标为的点关于的对称点，进而得到答案． 【解答】 解：，；，； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 横坐标为的点与横坐标为的点关于对称， 当时，， 故答案为． 17.【答案】解：把点，代入二次函数，得 ， 解得， 因此二次函数的关系式为； ， 二次函数的对称轴是直线，顶点坐标．  【解析】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 把点，代入二次函数，得出关于、的二元一次方程组，求得、即可； 利用中解析式配方求得对称轴和顶点坐标． 18.【答案】解：根据题意得：； ， ， 对称轴为， 当时，元 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是元，此时玩具的销售单价应定为元．  【解析】利用销售单价每涨元，就会少售出件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量总利润进而求出即可； 利用每件玩具的利润乘以销量总利润得出函数关系式，进而求出最值即可． 此题主要考查了二次函数的应用，得出与的函数关系式是解题关键． 19.【答案】解：将，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：，， 点的坐标为． 点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式为． 如图，作关于的对称点，则点的坐标为． 与关于直线对称， ， 的最小值． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为． 联立直线和直线的解析式成方程组，得：， 解得：， 点的坐标为 ， 点的坐标为． 又点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， ． 点的坐标，点的坐标为， ，， ． 又， ∽， 当的坐标为时，∽． 如图，连接，过点作，交轴与点． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽， ，即， ， 点的坐标为． 综上所述：当的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．  【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由点，的坐标可得出直线的解析式，作关于的对称点，则点的坐标为，由两地之间线段最短可得出当，，共线时，取最小值，由点，的坐标可求出该最小值，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标； 由点，，的坐标可得出，，的长，由可得出，由点，的坐标可得出，的长度，进而可得出，结合可得出∽，进而可得出点与点重合时∽；连接，过点作，交轴与点，则∽∽，由相似三角形的性质可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用两点之间线段最短确定点的位置；分两种情况，利用相似三角形的性质求出点的坐标． 20.【答案】解：设现在实际购进这种牛肉每千克元，则原来购进这种牛肉每千克元，由题意，得 ， 解得． 答：现在实际购进这种牛肉每千克元； 设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得，解得 故与之间的函数关系式为； 设这种牛肉的销售单价为元时，所获利润为元， 则， 所以当时，有最大值． 答：将这种牛肉的销售单价定为元时，能获得最大利润，最大利润是元．  【解析】设现在实际购进这种牛肉每千克元，根据原来买这种牛肉千克的钱，现在可买千克列出关于的一元一次方程，解方程即可； 设与之间的函数关系式为，将，代入，运用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 设这种牛肉的销售单价为元时，所获利润为元，根据利润销售收入进货金额得到关于的函数关系式为，再根据二次函数的性质即可求解． 本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质等知识，本题难度适中． 21.【答案】解：由题意得 ， 把代入， 解得， 抛物线顶点坐标为； ，， 球飞行的最大水平距离为； 根据当时球的最大高度为，此时球刚好进洞， 即，顶点为， 设满足抛物线的解析式是， ，， ，， 球飞行的路线满足抛物线的解析式为．  【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了一元二次方程的解法和求二次函数的顶点坐标等知识，难度不大． 用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标； 令，解出，的值，则球飞行的最大水平距离为； 用待定系数法求出二次函数的解析式． 、 第9页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$