江苏省南通市天星湖中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

试卷第 1 页，共 5 页 天星湖高一下 2024-2025 第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量 ( 3,0)a = ， ( , 2)b x= − ，且 ( 2 )a a b⊥ − ，则 x = A． 3− B． 3 2 − C． 3 D． 3 2 2．若 60  − = ，则 tan tan 3 tan tan   − − =（ ） A．0 B．1 C． 3 D．2 3．如图，在三角形 ABC 中， 4BD DC= ，则 AD =（ ） A． 1 4 5 5 AB AC+ B． 4 1 5 5 AB AC+ C． 1 5 6 6 AB AC+ D． 5 1 6 6 AB AC+ 4．若三角形 ABC 中， ( ) ( ) 2sin sin sinA B A B C+ − = ，则此三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5. 下列说法正确的是（） A．若 a b= ，则 a b= 或 a b= − B．若 a c b c =  ，则 a b= C．若 a b= ，则a c b c =  D．若 0a b  ，则 a ，b 夹角为锐角 6.已知 3 cos( ) sin( ) 6 5    − + − = ，则 cos( ) 3  − 的值为（） A． 3 5 − B． 1 5 − C． 1 5 D． 3 5 7．在Rt ABC△ 中， 90A = ， 2AB = ， 3AC = ， 2AM MC= ， 1 2 AN AB= ，CN 与 BM 交 于点 P，则 cos BPN 的值为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 − 试卷第 2 页，共 5 页 C． 5 5 − D． 2 5 5 8．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且 AC BC⊥ ， M 是圆 O 外一点， 2OM = ，则 2MA MB MC+ + 的最大值是（ ） A．5 B．8 C．10 D．12 二、多选题 9．已知向量 ( ) ( )3, , 0,1a m b= = ，则下列说法正确的是（ ） A．若 2=a ，则 1a b = B．不存在实数m ，使得 a∥ b C．若向量 ( )4a a b⊥ − ，则 1m = 或 3m = D．若向量 a 在 b 向量上的投影向量为 b− ，则 ,a b 的夹角为 2π 3 10．已知A ， B ，C 是三角形 ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A． ( )sin sinB C A+ = B． ( )cos cosA B C+ = C．若 A B ，则 sin sinA B D．若 sin 2 sin 2A B= ，则 ABC 是等腰三角形 11．已知函数 ( ) 3π 3π sin 2 cos 2 4 4 f x x x     = + + +        ，则（ ） A．函数 π 4 f x   −    为偶函数 B．曲线 ( )y f x= 的对称轴为 π, Zx k k=  C． ( )f x 在区间 π π , 3 2       单调递增 D． ( )f x 的最小值为 2− 三、填空题 12．求值 sin 245 sin125 sin155 sin 35  +   = . 试卷第 3 页，共 5 页 13．在三角形 ABC 中， 3AB = ， 4BC = ， 5CA = ，则 AB BC BC CA CA AB +  +  的值为_______． 14．已知向量 ( )3,1 , 2a b= = ，设与 a b+ 方向相同的单位向量为 e，若 a 在 a b+ 上的投影 向量为 3e ，则 a 与b 的夹角 = . 四、解答题 15．已知 ( ) ( ) ( )1, 3 , 3, 2 3 2 43a b a b a b= = −  + = − ． （1）求 a 与 b 的夹角 ； （2）若 ( )1c ta t b= + − ，且 0b c = ，求实数 t 及 c ． 16．已知 为锐角， sin 2cos 0 − = . (1)求 2cos sin cos  − 的值； (2)若 π ,0 2     −    ，且 ( ) 10 cos 10  − = − ，求  的值. 试卷第 4 页，共 5 页 17．在四边形 ABCD中， 2 2AB m n= − ， 3AD m n= − + ， 2AC n= ，其中m ， n 为不共线的 向量． (1)判断四边形 ABCD的形状，并给出证明； (2)若 2m = ， 1n = ，m 与 n 的夹角为60 ， F 为 BC 中点，求 FAB ． 18．如图，已知矩形 ABCD， 2AB = ， 3AD = ，点 P 为矩形内一点，且 1AP = ，设 BAP  = . （1）当 3   = 时，求证：PC PD⊥ ； （2）求 ( )PC PD AP+  的最大值. 试卷第 5 页，共 5 页 19．已知函数 ( ) π sin2 sin 2 3 f x x x  = − +    (1)求函数 ( )f x 的单调递减区间； (2)若将函数 ( )f x 的图象先向左平移 π 12 个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为 原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 ( )g x 的图象. ①求函数 ( )g x 的解析式； ②若 ( )0 3 5 g x = ，其中 0 π 0, 2 x       ，求 0sinx 的值. 答案第 1 页，共 1 页