江苏省南通大学附属中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段测试数学试题

2024-2025 学年度第二学期第二次阶段测试 高一数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．复数 +(1 2i)2在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知平面 和直线 m，n，则下列结论正确的是（ ） A．若 m / / ， n// ，则m n// B．若 ⊥m ， ⊥m n，则 n// C．若 m / / ， ⊥m n，则 ⊥n D．若 ⊥m ，  n ，则 ⊥m n 3．已知 ABC 三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若  = c C a Acos cos ，则 ABC 的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．如图所示，从热气球A 上测得地面上点 B 的俯角为 60 ，点C 的俯角为 45 ，图中各点在同一铅垂 平面内，已知 B ，C 两点间距离为100m，则热气球距地面的高度 AO为（ ） A． +150 50 3 m)( B．200 3 m C． +100 50 3 m)( D． −150 50 3 m)( 5．如图，在矩形 ABCD中， =AB 3， =BC 4，E 为 AD 上一点， 0BE AC = ．若BE BA BC = + ， 则 + 的值为（ ） 2 / 8 A． 10 7 B． 9 8 C． 25 16 D． 29 18 6．已知 tan 2 tan = ， ( ) 3 sin 4  + = ，则 ( )cos 2 2 − =（ ） A． 7 8 − B． 3 4 − C． 3 4 D． 7 8 7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是 3”，B表示事 件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是 4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是 7”，则（ ） A．A 与 B 互斥 B． A 与 B 相互独立 C．A 与 C 相互独立 D． B 与 C 互为对立 8．如图，已知正三棱柱 1 1 1 1,ABC A B C AC AA− = ，E，F分别是棱 1 1,BC AC 上的点．记EF 与 1AA 所成的 角为 ， EF 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角F BC A− − 的平面角为 ，则（ ） A．    B．    C．    D．    二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A．极差是 4 B．众数不等于平均数 C．方差是 6 7 D．75%分位数是 3 10．在 ABC 中， π , 2 6 A AB= = ，下列结论正确的是（ ） A．若 2BC = ，则 π 4 C = B．若 3AC = ，则 1BC = C．若 ABC 的面积 3 3 S = ，则该三角形为直角三角形 D．若 ABC 为锐角三角形，则       BC 3 1, 3 2 11．如图，在棱长为 2的正方体 −ABCD AB C D1 1 1中，E，F，G分别是 AB ，BC ，CC1的中点，点 P在 线段 B D1 1上，BP// 平面EFG ，则以下正确的是（ ） A．D C1 与EF 所成角为 60 B．点 P 为线段 B D1 1的中点 C．三棱锥 −P EFG的体积为 2 1 D．平面EFG 截正方体所得截面的面积为3 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分。 12．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为 3 4 , 2 3 ，那么两人中恰有一人合格的概率 是 ． 【答案】 21 5 13．平行四边形 ABCD中， = =AB AD AC4, 2, 交BD于O，则 AO BD 等于 ． 【答案】−6 14．如图，有一底面半径为 1，高为 3的圆柱.光源点A 沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终 经过圆柱轴截面的中心O .当光源点A 沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过” 的面积为 . 【答案】 2 π 13 4 / 8 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量 a ， b ， c 在同一平面上，且 ( )2,1a = − ． (1)若 //a c，且 5c = ，求向量 c 的坐标； (2)若 ( )3,2b = ，且 ka b− 与 2a b+ 垂直，求 k的值． 【详解】（1）∵ //a c，设 ( 2 ,c a  = = − )， ……………………2分 ∵ 25c = ，即 ( )− + = 2 52 2 ， =  5 ， ……………………4分 ( 2 5, 5c = − )或 (2 5 5c ,= − ). ……………………6分 （2） ( )2,1a = − ， ( )3,2b = ， ( 2 3 2ka b k ,k − = − − − )， ( )2 4,5a b+ = ， ……………………8分 ( ) ( )2ka b a b− ⊥ + ， ) ( )2 0ka b a b −  + =( ,即 − − + − =k k4 2 3 5 2 0)()( ， ……………………10分 即− =k3 22，则 = −k 3 22 . ……………………13分 16．（15分）体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展 有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们 每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. (1)求 a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； (2)从所抽查的每天体育锻炼时间在 10,20 , 60,70)) 内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选 取 6 人，再从这 6人中任选 2 人，求所选 2人不在同一组的概率. 【详解】（1）由题意可知：每组频率依次为 a a a10 ,10 ,0.3,0.3,0.15,0.1,10 ， 则 + + + + + + =a a a10 10 0.3 0.3 0.15 0.1 10 1，解得 =a 0.005； ……………………2分 可得 =  +  +  +  +  +  +  =x 4.50.05 15 0.05 25 0.3 35 0.3 45 0.15 55 0.1 65 0.05 75 4 ， 估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为 44.5分. ……………………5分 （2）由题意可知：在 10,20) 内抽取 +  = 0.05 0.1 6 2 0.05 人，记为a b, ； ……………………7分 在 50,60) 内抽取 +  = 0.05 0.1 6 4 0.1 人，记为1,2,3,4； ……………………9分 从这 6人中任选 2人， 则样本空间为： = ab a a a a b b b b, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,12,13,14,23,24,34Ω  ，则 =n 15Ω)( ， ………11分 记“所选 2人不在同一组”为事件 A， 则 =A a a a a b b b b1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 ，可知 =n A 8)( ， ……………………13分 所以 ( ) = = n P A n A 15Ω 8)( )( . ……………………15分 17．（15分）如图，在三棱柱 −ABC A B C1 1 1中， ⊥ ⊥BC AC BC CC, 1，点D 是 AB 的中点. (1)求证： AC / /1 平面CDB1； (2)若侧面 AA C C1 1 为菱形，求证： ⊥AC1 平面 A BC1 . 【详解】（1）连接BC1交CB1 于 ，连接ED， 由 −ABC A B C1 1 1为三棱柱，则BCC B1 1为平行四边形， 所以 是 BC1中点，又D是 AB 故在 的中点， △BAC1中，DE AC/ / 1 ， ……………………2分 又 DE 面CDB1， AC1 面CDB1， 所以 AC / /1 平面CDB1. ……………………5分 （2）由 ⊥ ⊥BC AC BC CC, 1， 而 1AC CC C= ， AC CC, 1 面 ACC A1 1 ，所以BC ⊥面 ACC A1 1 ， ……………………7分 又 AC1 面 ACC A1 1 ，则 ⊥BC AC1， ……………………10分 由侧面 AA C C1 1 为菱形，故 ⊥AC AC1 1， ……………………12分 6 / 8 又 1BC AC C= ， BC AC, 1 面 A BC1 ，故 ⊥AC1 平面 A BC1 . ……………………15分 18．（17分）如图，在四棱锥 −P ABCD 中， AD BC AD DC/ / , ， = = =BC CD AD E 2 1, 1 为棱 的中 点， ⊥PA 平面 ABCD，二面角 − −P CD A的大小为 45 ． (1)求证：平面 ⊥PAB 平面PBD ； (2)求直线PA与平面PBD 所成角的正弦值； (3)求点C 到平面PAB的距离． 【详解】（1）连接BE E, 为 中点， 1, 1, / / ,ED BC ED BC ED BC = =  = ， 四边形BCDE  = =BE CD 为平行四边形， 1，在△ABD中 =  ⊥BE AD AB BD 2 , 1 ， ……………………2分 又 PA ⊥平面 ABCD BD, 平面 ABCD， ⊥PA BD, 又 PA 平面PAB， AB 平面PAB， , ,AB PA A AB PA= 平面PAB，  ⊥BD 平面PAB， ……………………4分 又 BD 平面 PBD, 平面 ⊥PAB 平面PBD . ……………………5分 （2）由 ⊥PA 平面 ABCD CD, 平面 ABCD，所以 ⊥CDPA ， 又 ⊥CD AD，  = PA AD A PA AD, , 平面PAD ，所以 ⊥CD 平面PAD ， 又 PD 平面PAD ，所以 ⊥CD PD， 故PDA为二面角 − −P CD A的平面角.  =  = =PDA PA AD45 , 2， ……………………8分 在 △PABRt 中，作 ⊥AM PB ，垂足为M ， 由（1）知，平面 ⊥PBD 平面PAB，平面PBD 平面 = PAB PB AM, 平面PAB， 所以 ⊥AM 平面PBD ，则直线PM 为直线 AP 在平面PBD 上的射影， 所以APM 为直线 AP 与平面PBD 所成的角， ……………………10分 BC AE= = 1, 四边形 ABCE为平行四边形， = =AB CE 2 ， 在 △PABRt 中， = = =AB PA PB2, 2, 6 ，  = = = PB APB AB 6 3 sin 2 3 . ……………………12分 （3）在三棱锥 −P ABC 中， ⊥PA 平面 ABC ， PA为三棱锥 −P ABC 底面 ABC 上的高， 又 ABCS =   =△ 2 2 1 1 1 1 ， △ =   =   =−V S PAP ABC ABC 3 3 2 3 2 1 1 1 1 ， ……………………14分 在三棱锥 −C PAB 中，设C 到平面PAB的距离为d ， PABS =   =△ 2 2 2 2 1 ， △ =   =   =−V S d d dC PAB PAB 3 3 3 2 1 1 2 ， ……………………16分 又 P ABC C PABV V d− −=  = 2 , 2 . ……………………17分 19．（17分）定义非零向量 ( ,OM a b= )的“相伴函数”为 R= + f x a x b x xsin cos )()( ，向量 ( ,OM a b= )称为函数 R= + f x a x b x xsin cos )()( 的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设h x x x R π    = −    6 2sin )()( ，写出函数h x)( 的相伴向量OM ； (2)已知 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，记向量 3 1 ON   = −    2 2 , 的相伴函数为 f x)( ，若 =f B2 1)( 且 =b 3 ，求 +a c的取值范围； (3)已知 −D 2,3)( ， E 2,6)( ， f x)( 为（2）中的函数，    = +    x f x 2 3 2 π2 )( ，请问在 =y x)( 的图像上 是否存在一点 P ，使得DP EP⊥ ？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）         = − = − = −     h x x x x x x 6 2 2 2sin 2 sin cos 3 sin cos 3 1π )( 所以函数h x)( 的相伴向量 ( 3, 1OM = − )； ……………………3分 （2）由题知    = − = −   f x x x x 2 2 6 sin cos sin π3 1 )( ， 由 =f B2 1)( ，得    − =   B 6 sin 2 1 π ． 又因为    −  −   B 6 6 6 2 , π11ππ ，即 − =B 6 2 2 ππ ，所以 =B 3 π ． ……………………5分 又因为 =b 3 ，由正弦定理 = = A B C a b c sin sin sin ，得 = =a A c C2sin , 2sin ， 即    + = + = + − =   a c A C A A 3 2sin 2sin 2sin 2sin π2      + +   A A A 2 2 2sin 2 cos sin 3 1 = +sinA cosA3 3    = −   A 3 2 3cos π ， ……………………8分 因为  A 3 0 π2 ，所以− − A 3 3 3 < πππ ，