精品解析：福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年九年级3月月考数学试题

宁德市博雅培文学校初中部九年级3月达标检测数学试卷 （考试时间：120分钟；分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．下列选项中只有一个选项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 9月11日，中国企业联合会、中国企业家协会发布“2024中国企业500强”名单，其中洛阳栾川钼业集团股份有限公司以2023年全年营业收入1862.69亿元入榜．1862.69亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A B. C. D. 4. 将一个含角直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ） A B. C. D. 10. 如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如图，在中，弦，若，则______． 14. 一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数是__． 15. 将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数的图象，则b的值为________． 16. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17 计算：． 18. 如图，在中，点在边上，，，．求证：． 19. 解不等式：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 21. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 22. 如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为m（m>3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ=2PQ，求m的值． 23. 已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即），求证：代数式的值是一个定值，并求出这个定值． 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 25. 如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）当点是边的中点时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为________； （3）连结，当时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德市博雅培文学校初中部九年级3月达标检测数学试卷 （考试时间：120分钟；分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．下列选项中只有一个选项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 9月11日，中国企业联合会、中国企业家协会发布“2024中国企业500强”名单，其中洛阳栾川钼业集团股份有限公司以2023年全年营业收入1862.69亿元入榜．1862.69亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：1862.69亿． 故选：B． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， 在中，， ∴， 故选：C ． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为， 故选： C． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的性质；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：令《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别为A、B、C、D， 画树状图法如下： 由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况有种， ∴恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是， 故选：D 8. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 9. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 在中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 【详解】解：如图， 由题意，令， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查了二次函数的总和问题，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的计算，掌握提取公因式，公式法因式分解是关键． 先提取公因式，再根据公式法因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意且， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，弦，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，由平行线的性质可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数是__． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键．根据平均数的计算公式先求出的值，然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位数． 【详解】解：∵数据6，3，2，a，11的平均数是5， ∴ 这组数据为2，3，3，6，11， 则中位数为3． 故答案为：3． 15. 将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数的图象，则b的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移的规律即可求解，掌握一次函数平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到， ∵一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得到，再利用证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等方法是解题的关键． 【详解】解： 不等式两边同乘6后去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得，， 系数化为1，得． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【小问1详解】 解：如图①：四边形即为所求； （不唯一）． 【小问2详解】 解：如图②：四边形即为所求； （不唯一）． 【小问3详解】 解：如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 21. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）全校选择游泳的学生约有500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，，用样本估计总体，求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握概率公式，是解题的关键． （1）用足球的人数除以其所占百分比，即可求出调查的学生总人数，求出乒乓球的人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以选择游泳人数所占百分比，即可解答； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：40， （名）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校选择游泳的学生约有500人． 【小问3详解】 解：画出树状图如图所示： 一共有12种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有8种情况， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率． 22. 如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为m（m>3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ=2PQ，求m的值． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3 （2）4 【解析】 【分析】(1) 将A（﹣1，0），点B（3，0），代入y=ax2+bx﹣3，解方程组即可求得； (2) 过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M，可证得△AMQ∽△QNP，设点Q的坐标为（1，t），点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），用m，t表示出相关线段的长，再代入比例式，即可求得． 【小问1详解】 解：将A（﹣1，0），点B（3，0），代入y=ax2+bx﹣3， 得． 解得 ． 故二次函数的解析式为y=x2-2x-3； 【小问2详解】 解：过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M． ， ， ， ∴△AMQ∽△QNP． ∴． 该抛物线对称轴所在的直线为， 故设点Q的坐标为（1，t）， 由于点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 所以AM=t，QN=m﹣1，MQ=2， NP=t﹣m2+2m+3． ∴． 解得，m=0（舍去）或4． 所以，m=4． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键． 23. 已知三个连续整数按从小到大的顺序依次排列为a、b、c（即），求证：代数式的值是一个定值，并求出这个定值． 【答案】证明见详解，定值为3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，先将原式分子分母同时乘以2，再将分子配方成三个完全平方式，然后代入数据计算即可. 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵a、b、c是三个连续整数按从小到大的顺序依次排列（即）， ∴设，则, 所以原式＝＝＝3， 故代数式是一个定值，定值为3. 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 25. 如图，在中，，．点是边上一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）当点是边的中点时，求的长； （2）当时，点到直线距离为________； （3）连结，当时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可知：， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； 【小问2详解】 根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； 【小问3详解】 如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； 【小问4详解】 如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$