浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高一上学期期初考试数学试卷

第1页（共22页） 2022-2023学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期初数学试卷 1．已知命题 p：已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+  ．则此命题的否定是 ( ) A．已知 x为实数，若 1x ，则 2 2 3x x+  B．已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+ C．已知 x为实数，若 1x ，则 2 2 3x x+ D．存在一个实数 x，满足 1x  ，但 2 2 3x x+ 2．某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则 这组数据的众数和中位数分别为 ( ) A．5、7 B．6、7 C．8、5 D．8、7 3．已知 ABC 的三边 a，b， c满足 2 2a ac b bc− = − ，判断 ABC 的形状 ( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．已知集合 1 2 { | } 3 3 A x x x= −  − ， 1 1 { | 1 ( 2)} 2 2 B x x a= −  − ，若 A B =，则 a的最大值是 ( ) A． 1− B．1 C．1.1 D．不存在 5．设 A， B，C为全集 R的非空子集，定义 ( )RA B A B− = ，则 ( ) A．若 A B A C ，则 B C B．若 A B A C ，则 ( )A B C− = C．若 ( ) ( )A B A C−  − ，则 B C D．若 ( ) ( )A B A C−  − ，则 B C− = 6．若不等式 2 0ax bx c+ +  的解集为{ | 1 2}x x−   ，那么不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax+ + − +  的解集为 ( ) A．{ | 2 1}x x−   B．{ | 2x x  − 或 1}x  C．{ | 0x x  或 3}x  D．{ | 0 3}x x  7．命题“ [1x  ， 2]， 2 0x a− ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A． 4a B． 4a C． 5a D． 5a 第2页（共22页） 8．如图， AB是 O的直径，C是 O上一点，D是 AB另一侧半圆的中点，若 3 2CD = ， 4BC = ，则 O的半径长为 ( ) A． 2 5 B． 5 C． 2 2 D．2 （多选）9．设 1{A a= ， 2a ， 3}a ， { | }B x x A=  ，则 ( ) A． A B= B． A B C． B D． A B （多选）10．实数 x， y， x满足 2 2 1 0 4 14 14 0 x y z z xy z + − + =  − − + = ，则 2 2 (x y+ = ) A．最小值为 32 9 B．最小值为 64 9 C．最大值为 8 D．最大值为 9 11．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化， 能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式 的推导教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证．下列图形中，能借助图形面积验证 2 2( )( )a b a b a b+ − = − 正确性的是 ( ) A． B． C． D． 第3页（共22页） （多选）12．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意 图．图②中，点 A在直线 l上往复运动，推动点 B做圆周运动形成 O，AB与 BO表示曲柄连杆的两直杆， 点C、D是直线 l与 O的交点；当点 A运动到 E时，点 B到达C；当点 A运动到 F 时，点 B到达D．若 12AB = ， 5OB = ，则下列结论正确的是 ( ) A． 2FC = B． 12EF = C．当 AB与 O相切时， 4EA = D．当OB CD⊥ 时， EA AF= 13．（3 分）设 1x 、 2x 是方程 25 3 2 0x x− − = 的两个实数根，则 1 2 1 1 x x + 的值为 ． 14．（3 分）若方程 2 3 1 0x x− − = 的根也是方程 4 2x ax bx c+ + + 的根，则 2a b c+ − 的值为 ． 15．（3 分）如图 1，等边 ABC 的面积为 1，把它的各边延长一倍 得到新的等边△ 1 1 1ABC ；再把其各边延长一倍得到等边△ 2 2 2A B C （如图 2) ，如此进行下去，则等边△ n n nA B C 的面积为 ． 16．（3 分）已知关于 x的方程 3 2 2 2(3 2 ) 4 0x ax a ax a− − − − = 在实数范围内有且只有一个解，则实数 a的取 值范围为 ． 第4页（共22页） 17．（1）已知 2 2 1 0a a+ − = ，求 2 2 2 1 4 ( ) 2 4 4 2 a a a a a a a a − − − −  + + + + 的值； （2）已知 a，b，c为实数，满足 | | 1a b− = ，| | 1b c− = ，| | 2c a− = ， 60abc = ，求 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + − − − 的值． 18．已知关于 x的方程 2 2 2( 2) ( 1) (4 2)( 1) 0a x a a x x a x− + − + − − = 有实根． （1）求实数 a的取值范围； （2）若原方程的两个实根为 1x ， 2x ，且 1 2 1 1 1 16x x + = ，求实数 a的值． 第5页（共22页） 19．设函数 2 (3 1) ( )y ax a x a a R= + − +  ． （1）若“ x R  ， 0y  ”是假命题，实数 a的取值范围为集合M ，求M ； （2）设不等式 1 ( )( ) 0 2 x a x a− − −  的解集为 N，若 x N 是 x M 的充分条件，求 a的取值范围． 20．设 ABC 的三边长为 a，b， c， 1 ( ) 2 p a b c= + + ，面积为 S． （1）求证： ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ； （2）若 ABC 的周长为 18，其中一边长为 6，求该三角形面积 S的取值范围． 第6页（共22页） 21．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4．点M 和 N分别从点 B、C同时出发，以相同的速度沿BC、 CD方向向终点C和D运动．连接 AM 和 BN ，交于点 P． ①猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论； ②求运动过程中，线段 AP扫过的面积； （2）如图 2，已知菱形 ABCD的对角线 AC为 2 3 ， 60ABC = ．点M 和 N分别从点 B、C同时出发， 以相同的速度沿 BC、CA向终点C和 A运动．连接 AM 和 BN ，交于点 P．求 APB 周长的最大值． 第7页（共22页） 22．在平面直角坐标系中，抛物线 2 22 1y x mx m= − + + 存在两点 1( 1, )A m y− ， 2( 2, )B m y+ ． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）记抛物线在 A，B之间点部分为图像 F（包括 A，B两点）， y轴上一动点 (0, )C a ，过点C作垂直于 y轴点直线 l与 F 有且仅有一个交点，求 a的取值范围； （3）若点 3(2, )M y 也是抛物线上的点，记抛物线在 A，M 之间点部分为图像G（包括M ， A两点），记 图形G上任意一点点纵坐标点最大值与最小值的差为 t，若 2 1| |t y y− ，求m的取值范围． 第8页（共22页） 2022-2023学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期初数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 答案 B D C B B D C B D 二．多选题（共 3小题） 题号 9 10 12 答案 BC AC AC 1．已知命题 p：已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+  ．则此命题的否定是 ( ) A．已知 x为实数，若 1x ，则 2 2 3x x+  B．已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+ C．已知 x为实数，若 1x ，则 2 2 3x x+ D．存在一个实数 x，满足 1x  ，但 2 2 3x x+ 【解答】解：命题 p：已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+  ， 则此命题的否定是：已知 x为实数，若 1x  ，则 2 2 3x x+ ． 故选： B． 2．某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则 这组数据的众数和中位数分别为 ( ) A．5、7 B．6、7 C．8、5 D．8、7 【解答】解：将数据由小到大进行排列为：5，5，6，7，8，8，8， 因此，这组数据的众数为 8，中位数为 7． 故选：D． 3．已知 ABC 的三边 a，b， c满足 2 2a ac b bc− = − ，判断 ABC 的形状 ( ) 第9页（共22页） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【解答】解： 2 2 0a ac b bc− − + = ， 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0a b ac bc a b a b c a b a b a b c − − − = + − − − = − + − = ， a，b， c是 ABC 的三边， a b c +  ， 0a b c + −  ， 0a b − = ， a b = ， ABC 的形状是等腰三角形． 故选：C． 4．已知集合 1 2 { | } 3 3 A x x x= −  − ， 1 1 { | 1 ( 2)} 2 2 B x x a= −  − ，若 A B =，则 a的最大值是 ( ) A． 1− B．1 C．1.1 D．不存在 【解答】解：由题意可知， { | 1}A x x=  ， { | }B x x a=  ， A B =， 则 1a ， 故 a的最大值是 1． 故选： B． 5．设 A， B，C为全集 R的非空子集，定义 ( )RA B A B− = ，则 ( ) A．若 A B A C ，则 B C B．若 A B A C ，则 ( )A B C− = C．若 ( ) ( )A B A C−  − ，则 B C D．若 ( ) ( )A B A C−  − ，则 B C− = 【解答】解：对于 A，取 {0A = ，1，2}， {2B = ，3}， {0C = ，2}，此时有 ( ) ( )A B A C ，但 B C， 故 A错； 对于 B，若 ( )A B C−  ，不妨设 ( )x A B C − ， 则 x A 且 ( )x B C − ，即 x A 且 x B 且 Rx C ， 也即 x A 且 x B 且 x A C ，则 x A B ，但 x A C ，这与 ( ) ( )A B A C 不符， 第10页（共22页） 故若 ( ) ( )A B A C ，则 ( )A B C− =，即 B正确； 对于C，D，取 ( 1,2)A = − ， (B = −，1] [3， )+ ， (C = −，0] [2 ， )+ ， 则 (1,2)A B− = ， (0,2)A C− = ， (0B C− = ，1]，此时有 ( ) ( )A B A C−  − ，但 B C，且 (0B C− = ，1]  ，故C，D都错． 故选： B． 6．若不等式 2 0ax bx c+ +  的解集为{ | 1 2}x x−   ，那么不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax+ + − +  的解集为 ( ) A．{ | 2 1}x x−   B．{ | 2x x  − 或 1}x  C．{ | 0x x  或 3}x  D．{ | 0 3}x x  【解答】解：因为不等式 2 0ax bx c+ +  的解集为{ | 1 2}x x−   ， 所以 1− 和 2 是方程 2 0ax bx c+ + = 的两个根，且 0a  ， 所以 1 2 1 2 b a c a  − + = −  −  =  ， 解得b a= − ， 2c a= − ， 所以不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax+ + − +  化为 2( 1) ( 1) 2 2a x a x a ax+ − − −  ， 由 0a  ，可整理得 2 3 0x x−  ， 解得 0 3x  ， 所以不等式的解集为{ | 0 3}x x  ． 故选：D． 7．命题“ [1x  ， 2]， 2 0x a− ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A． 4a B． 4a C． 5a D． 5a 【解答】解：命题“ [1x  ， 2]， 2 0x a− ”为真命题，可化为 [1x  ， 2]， 2a x ，恒成立 即只需 2( ) 4maxa x = ，即“ [1x  ， 2]， 2 0x a− ”为真命题的充要条件为 4a ， 而要找的一个充分不必要条件即为集合{ | 4}a a 的真子集，由选择项可知C符合题意． 故选：C． 8．如图， AB是 O的直径，C是 O上一点，D是 AB另一侧半圆的中点，若 3 2CD = ， 4BC = ，则 第11页（共22页） O的半径长为 ( ) A． 2 5 B． 5 C． 2 2 D．2 【解答】解：连接 AD，过点 B作 BE CD⊥ 于点 E， 因为 AB是 O的直径，D是半圆 AB的中点， 所以 90ADB = ， AD DB= ， 所以 ADB 是等腰直角三角形， 所以 45A ABD = = ， 所以 45C A = = ， 所以 EBC 是等腰直角三角形， 因为 4BC = ，所以 2 2EC EB= = ， 因为 3 2CD = ，所以 2DE = ， 所以 2 2 2 8 10BD DE BE= + = + = ， 在等腰直角 BDA 中， 2 2 10 2 5AB BD= =  = ， 所以 O的半径长为 5 ． 故选： B． （多选）9．设 1{A a= ， 2a ， 3}a ， { | }B x x A=  ，则 ( ) A． A B= B． A B C． B D． A B 【解答】解：根据题意， B中的 x代表 A的所有子集（含真子集）， 故 A B ， B ， 第12页（共22页） 故选： BC． （多选）10．实数 x， y， x满足 2 2 1 0 4 14 14 0 x y z z xy z + − + =  − − + = ，则 2 2 (x y+ = ) A．最小值为 32 9 B．最小值为 64 9 C．最大值为 8 D．最大值为 9 【解答】解：将 2 2 1 0 4 14 14 0 x y z z xy z + − + =  − − + = ，整理得 2 2 1 4 14 14 x y z xy z z + = −  = − + ， 故 x， y是 2 2(2 1) (4 14 14) 0t z t z z− − + − + = 的两个根， 由△ 2 2(2 1) 4(4 14 14) 0z z z= − − − + ，解得 11 5 6 2 z ， 所以 2 2 2 2 2 2( ) 2 (2 1) 2(4 14 14) 4 24 27x y x y xy z z z z z+ = + − = − − − + = − + − ， 当 5 2 z = 时， 2 2x y+ 的最大值为 8，当 11 6 z = 时， 2 2x y+ 的最小值为 32 9 ． 故选： AC． 11．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化， 能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式 的推导教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证．下列图形中，能借助图形面积验证 2 2( )( )a b a b a b+ − = − 正确性的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：对于 A ，大正方形面积为 2a ，小正方形面积为 2b ，两个长方形的面积之和为 ( ) ( ) ( )( )a b b a a b a b a b− + − = + − ， 故此选项可以验证 2 2( )( )a b a b a b+ − = − ，不符合题意； 第13页（共22页） 对 于 B ， 大 正 方 形 面 积 为 2a ， 小 正 方 形 面 积 为 2b ， 三 个 梯 形 的 面 积 为 2 ( ) ( )( ) 2 2 2 a b a b a b a b a b a b + − +   + − = + − ， 故此选项可以验证 2 2( )( )a b a b a b+ − = − ，不符合题意； 对于C，最大正方形面积为 2( )a b+ ，两个较小的正方形面积分别为 2a ， 2b ，两个长方形的面积之和为 2ab， 故此选项可以验证 2 2 2( ) 2a b a b ab+ = + + ，不符合题意； 对于D，大正方形面积为 2a ，小正方形面积为 2b ，四个梯形的面积为 4 ( )( ) 2 2 a b a b a b a b + −   = + − ， 故此选项可以验证 2 2( )( )a b a b a b+ − = − ，符合题意． 故选：D． （多选）12．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意 图．图②中，点 A在直线 l上往复运动，推动点 B做圆周运动形成 O，AB与 BO表示曲柄连杆的两直杆， 点C、D是直线 l与 O的交点；当点 A运动到 E时，点 B到达C；当点 A运动到 F 时，点 B到达D．若 12AB = ， 5OB = ，则下列结论正确的是 ( ) A． 2FC = B． 12EF = C．当 AB与 O相切时， 4EA = D．当OB CD⊥ 时， EA AF= 【解答】解：如图，由题意可得： 12AB CE= = ， 17AB BO OE+ = = ， 12FD AB= = ， 5OC OB OD= = = ， 12 10 2FC FD CD = − = − = ，故 A符合题意； 12 2 10EF CE CF= − = − = ，故 B不符合题意； 如图，当 AB与 O相切时， 90ABO = ，  2 2 13AO AB OB= + = ， 17 13 4EA EO AO = − = − = ，故C符合题意； 第14页（共22页） 当OB CD⊥ 时，如图， 2 212 5 119AO = − = ，  17 119AE EO AO= − = − ， 119 2 5 119 7AF AO OF= − = − − = − ， AE AF  ，故D不符合题意； 故选： AC． 13．（3 分）设 1x 、 2x 是方程 25 3 2 0x x− − = 的两个实数根，则 1 2 1 1 x x + 的值为 3 2 − ． 【解答】解：因为 1x 、 2x 是方程 25 3 2 0x x− − = 的两个实数根， 1 2 3 5 x x + = ， 1 2 2 5 x x = − ， 则 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2 x x x x x x + + = = − ． 故答案为： 3 2 − ． 14．（3 分）若方程 2 3 1 0x x− − = 的根也是方程 4 2x ax bx c+ + + 的根，则 2a b c+ − 的值为 13− ． 【解答】解：设m是方程 2 3 1 0x x− − = 的一个根，则 2 3 1 0m m− − = ，所以 2 3 1m m= + ， 由题意m也是方程 4 2 0x ax bx c+ + + = 的根，所以 4 2 0m am bm c+ + + = ．， 把 2 3 1m m= + 代入此式， 得 2 2(3 1) 0m am bm c+ + + + = ， 整理得 2(9 ) (6 ) 1 0a m b m c+ + + + + = ， 从而可知方程 2 3 1 0x x− − = 的两根也是方程 2(9 ) (6 ) 1 0a x b x c+ + + + + = 的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有 2 2(9 ) (6 ) 1 ( 3 1)a x b x c k x x+ + + + + = − − （其中 k为常数）， 所以 3 33b a= − − ， 10c a= − − ， 因此 2 ( 3 33) 2( 10) 13a b c a a a+ − = + − − − − − = − ． 故答案为： 13− ． 15．（3 分）如图 1，等边 ABC 的面积为 1，把它的各边延长一倍 第15页（共22页） 得到新的等边△ 1 1 1ABC ；再把其各边延长一倍得到等边△ 2 2 2A B C （如图 2) ，如此进行下去，则等边△ n n nA B C 的面积为 7 n ． 【解答】解：根据题意，在△ 1 1AAB 中， 1 1 120A AB = ，设 1 1AB AA BB k= = = ，则 1 2AB k= ， 所 以 2 21 1 (2 ) 2 2 cos120 7A B k k k k k= + −   = ， 可 得 1 1 7 AB AB = ， 结 合 相 似 三 角 形 的 性 质 ， 得 1 1 1 7 7A B C ABCS S= = ． 当 2n 时，把等边△ 1 1 1n n nA B C− − − 各边延长一倍，得到等边△ n n nA B C ， 所以△ n n nA B C ∽△ 1 1 1n n nA B C− − − ，且相似比 1 1 7n n n n A B A B− − = ，可得 1 1 1 2( 7) 7n n n n n n A B C A B C S S − − − = = ， 因此，各三角形的面积构成等比数列，首项为 7 且公比 7q = ，它的第 n项为 17 7 7n n− = ，即△ n n nA B C 的面 积为 7n ． 故答案为： 7n ． 16．（3 分）已知关于 x的方程 3 2 2 2(3 2 ) 4 0x ax a ax a− − − − = 在实数范围内有且只有一个解，则实数 a的取 值范围为 [0 ， 6] ． 【解答】解：方程 3 2 2 2(3 2 ) 4 0x ax a ax a− − − − = 可化为 3 2 22 7 0x ax ax a− + − = ， 设 3 2 2( ) 2 7f x x ax ax a= − + − ， 则 2( ) 3 2 2f x x ax a = − + ， 令△ 24 4 3 2 0a a= −   ，解得0 6a ， 所以 ( ) 0f x 恒成立， ( )f x 是定义域 R上的单调增函数， 又因为 ( )f x 是三次函数，值域是 R， 第16页（共22页） 所以函数 ( )f x 只有 1 个零点，即方程只有 1 个实数根， 所以实数 a的取值范围是[0 ， 6]． 故答案为：[0 ， 6]． 17．（1）已知 2 2 1 0a a+ − = ，求 2 2 2 1 4 ( ) 2 4 4 2 a a a a a a a a − − − −  + + + + 的值； （2）已知 a，b，c为实数，满足 | | 1a b− = ，| | 1b c− = ，| | 2c a− = ， 60abc = ，求 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + − − − 的值． 【解答】解：（1）因为 2 2 1 0a a+ − = ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 2 2 1 4 1 ( ) [ ] 1 2 4 4 2 ( 2) ( 2) 4 ( 4) ( 2)( 4) ( 2)( 4) 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − + − − − − + −  = −  = − = = = + + + + + + − − + − + − + ； （2）因为 | | 1a b− = ， | | 1b c− = ， | | 2c a− = ， 60abc = ， 所以 2 2 2 2 2 21 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 4 1 2 2 60 20 a b c a b c bc ac ab a b b c a c bc ca ab a b c abc abc + + − − − − + − + − + + + + − − − = = = =  ． 18．已知关于 x的方程 2 2 2( 2) ( 1) (4 2)( 1) 0a x a a x x a x− + − + − − = 有实根． （1）求实数 a的取值范围； （2）若原方程的两个实根为 1x ， 2x ，且 1 2 1 1 1 16x x + = ，求实数 a的值． 【解答】解：（1）由于关于 x的方程 2 2 2( 2) ( 1) (4 2)( 1) 0a x a a x x a x− + − + − − = 有实根， 整理可得 2 2(2 2) ( 6 4) 4 2 0a x a a x a− + − + + − = 有实根， 当 2 2 0a − = ，即 1a = 时，方程为： 2 0x− + = ，即 2x = ，显然成立， 当 1a  时，则△ 2 2( 6 4) 4(2 2)(4 2) 0a a a a= − + − − − ，即 2 2( 12 12) 0a a a− + ， 可得 0a = 时成立， 当 0a  且 1a  时，则 2 12 12 0a a− + ，解得 6 2 6a + 或 6 2 6a  − 且 0a  ，且 1a  ， 综上所述实数 a的范围为：{ | 6 2 6a a + 或 6 2 6}a  − ； （2）由题意可得 2 2(2 2) ( 6 4) 4 2 0a x a a x a− + − + + − = 有两个实根， 由（1）可得 6 2 6a + 或 6 2 6a  − 且 1a  ， 则 2 1 2 6 4 2 2 a a x x a − + + = − ， 1 2 2 1 0 1 a x x a − =  − ， 第17页（共22页） 因为 1 2 1 1 1 16x x + = ，即 1 2 1 2 1 16 x x x x + = ， 即 2 6 4 1 4 2 16 a a a − + = − ，整理可得： 28 50 33 0a a− + = ， 解得 3 4 a = 或 11 2 a = （舍 )． 19．设函数 2 (3 1) ( )y ax a x a a R= + − +  ． （1）若“ x R  ， 0y  ”是假命题，实数 a的取值范围为集合M ，求M ； （2）设不等式 1 ( )( ) 0 2 x a x a− − −  的解集为 N，若 x N 是 x M 的充分条件，求 a的取值范围． 【解答】解：（1）若“ X R  ， 0y  ”是假命题， 可得 x R  ， 0y 恒成立， 即 2 (3 1) 0ax a x a+ − + 对 x R  恒成立， 当 0a = 时， 0x− ，即 0x ，不恒成立； 当 0a  时，函数 2 (3 1)y ax a x a= + − + 的图象开口向下， 0y 不恒成立； 当 0a  ，且△ 0，即 2 2(3 1) 4 0a a− − ， 解得 1 1 5 a ，所以 1 { | 1} 5 M a a= ． （2） x N 是 X M 的充分条件， N M  ， 1 { | } 2 N x a x a=   + ， 1 5 1 1 2 a a     +  ，解得 1 1 5 2 a ， a 的取值范围为 1 [ 5 ， 1 ] 2 ． 20．设 ABC 的三边长为 a，b， c， 1 ( ) 2 p a b c= + + ，面积为 S． （1）求证： ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ； （2）若 ABC 的周长为 18，其中一边长为 6，求该三角形面积 S的取值范围． 【解答】（1）证明：画出图形，如图所示， 在 ABC 中，过 A作高 AD交 BC于D，设 BD x= ，则DC a x= − ， 由 AD是 ABD 、 ACD 的公共边，所以 2 2 2 2 2( )h c x b a x= − = − − ，解得 2 2 2 2 a c b x a + − = ， 所以 2 2 2 2 2( ) 2 a c b h c a + − = − ， 第18页（共22页） 所以 ABC 的面积为 1 2 S ah= 2 2 2 2 21 ( ) 2 2 a c b a c a + − = − 2 2 2 2 2 21 4 ( ) 4 a c a c b= − + − 2 2 2 2 2 21 (2 )(2 ) 4 ac a c b ac a c b= + + − − − + 2 2 2 21 [( ) ][ ( ) ] 4 a c b b a c= + − − − 1 ( )( )( )( ) 4 a b c a c b b a c b a c= + + + − + − − + 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b a b c a a b c c+ + + + − + + − + + − =    1 1 1 1 ( )[ ( ) ][ ( ) ][ ( ) ] 2 2 2 2 a b c a b c b a b c a a b c c= + + + + − + + − + + − ， 令 1 ( ) 2 p a b c= + + ，则 ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ； （2）解：因为 ABC 的周长为 18a b c+ + = ，不妨设其中一边长为 6c = ，则 12a b+ = ， 所以 12b a= − ， 0a  ； 所 以 三 角 形 的 面 积 2 29 (9 6) (9 ) (9 ) 27 (9 )( 3) 27( 12 27) 27[ ( 6) 9]S a b a a a a a=  −  −  − =  − − = − + − = − − + ， 6a = 时 S取得最大值是9 3，没有最小值，所以 S的取值范围是 (0 ，9 3] ． 21． （1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4．点M 和 N分别从点 B、C同时出发，以相同的速度沿BC、 CD方向向终点C和D运动．连接 AM 和 BN ，交于点 P． ①猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论； ②求运动过程中，线段 AP扫过的面积； （2）如图 2，已知菱形 ABCD的对角线 AC为 2 3 ， 60ABC = ．点M 和 N分别从点 B、C同时出发， 以相同的速度沿 BC、CA向终点C和 A运动．连接 AM 和 BN ，交于点 P．求 APB 周长的最大值． 第19页（共22页） 【解答】解：（1）①结论： AM BN⊥ ．理由如下： 点M 和 N分别从点 B、C同时出发，以相同的速度沿 BC、CD方向向终点C和D运动， BM CN = ，如图所示： 四边形 ABCD是正方形， AB BC = ， 90ABM BCN = = ， BM CN= ， ( )ABM BCN SAS   ，可得 BAM CBN = ， 90CBN ABN + = ， 90ABN BAM + = ，得 90APB = ，即 AM BN⊥ ； ②取 AB的中点O， AM BN⊥ ，即 90APB = ， 1 2 2 OP AO BO AB= = = = ， 点 P在以 AB为直径的圆上，当点M 运动到点C时，N点也运动到点D，此时点 P是正方形 ABCD的对 角线交点， 作出点M 和点 N运动到终点时的图象，如下图所示， 则阴影部分就是线段 AP扫过的部分， 正方形 ABCD的边长为 4， AP BP = ，点 P是 BD的中点， 又 AB的中点为O， / /OP AD ，可得 90AOP BOP BAD = = = ， 第20页（共22页） 1 2 2 OP AO BO AB= = = = ， 2 21 90 1 90 2 2 2 2 2 360 2 360 AOP OBP OP S S S AO OP       = + =  + =   + = +阴影 扇形 ，即线段 AP扫过的面积为 2 + ． （2） 点M 和 N分别从点 B、C同时出发，以相同的速度沿 BC、CD方向向终点C和 A运动， BM CN = ． 如图，延长DA到K，使得 AK AB= ，则 ABK 是等边三角形，连接 PK ，取 PH PB= ． AB BC= ， ABM BCN = ， BM CN= ， ( )ABM BCN SAS   ， BAM CBN = ，可得 60APN BAM ABP CBN ABN = + = + = ， 120APB = ， 60AKB = ， 180AKB APB + = ，可得 A、 K、 B、 P四点共圆，如图： 由同弧所对的圆周角相等，得 60BPH KAB = = ， PH PB= ， PBH 是等边三角形，可得 KBA HBP = ， BH BP= ，得 KBH ABP = ， BK BA= ， ( )KBH ABP SAS   ，得HK AP= ，可得 PA PB KH PH PK+ = + = ， 当 PK 的值最大时， APB 的周长最大，即 PK 是 ABK 外接圆的直径时，PK 的值最大，此时 90KBP = ， 圆心在 AB的垂直平分线上，此时KP垂直平分 AB， 1 30 2 BKP AKB =  = ， 90KBP = ， 30BKP = ， 2 3BK AB AC= = = ，此时 4PK = ， PK 最大值为 4， PAB 的周长最大值为 2 3 4PA PB AB PK AB+ + = + = + ． 第21页（共22页） 22．在平面直角坐标系中，抛物线 2 22 1y x mx m= − + + 存在两点 1( 1, )A m y− ， 2( 2, )B m y+ ． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）记抛物线在 A，B之间点部分为图像 F（包括 A，B两点）， y轴上一动点 (0, )C a ，过点C作垂直于 y轴点直线 l与 F 有且仅有一个交点，求 a的取值范围； （3）若点 3(2, )M y 也是抛物线上的点，记抛物线在 A，M 之间点部分为图像G（包括M ， A两点），记 图形G上任意一点点纵坐标点最大值与最小值的差为 t，若 2 1| |t y y− ，求m的取值范围． 【解答】解：（1） 2 2 22 1 ( ) 1y x mx m x m= − + + = − + ， 对称轴为： x m= ； （2）由 2 2 22 1 ( ) 1y x mx m x m= − + + = − + 可知，抛物线的顶点坐标为 ( ,1)m ， 当 1x m= − 时： 21 ( 1 ) 1 2y m m= − − + = ； 当 2x m= + 时： 22 ( 2 ) 1 5y m m= + − + = ， ( 1,2)A m − ， ( 2,5)B m + ， (0, )C a ， 过点 (0, )C a 作垂直于 y轴的直线 :l y a= ，如图可知：当 1a = 或 2 5a 时， 直线 l与 F 有且仅有一个交点， a 的取值范围为： 1a = 或 2 5a ，即{ | 1a a = 或 2 5}a ； （3） ( 1,2)A m − ， ( 2,5)B m + ， 2 1| | 5 2 3t y y − = − = ， 当 2x = 时， 23 4 5y m m= − + ， 2(2, 4 5)M m m − + ， ①当M 在点 A的左侧， 第22页（共22页） 即： 1 2m −  ， 3m  时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而减小， M 点的纵坐标最大， A点的纵坐标最小， 2 24 5 2 4 3 3t m m m m = − + − = − + ，解得： 4m 或 0m （舍掉），即 4m ； ②当M 在点 A的右侧，对称轴的左侧时，此时 2 1 1t  − = ，不符合题意； ③当M 在对称轴的右侧，即 2m  时，当 3 2y ，此时 A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， 2 1 1 3t = − =  不符合题意； 当M 对称轴的右侧，即 2m  时，当 3 2y  时， 此时M 点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， 2 24 5 1 4 4 3t m m m m = − + − = − + ，解得： 2 3m + （舍 )或 2 3m − ， 2 3m − ． 综上： 2 3m − 或 4m ，即 (−， 2 3] [4− ， )+ ． 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