精品解析：甘肃省张掖市山丹县大马营中学2024—2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷

2024—2025学年第二学期九年级第一次月考 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 生活中有许多对称的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由7个棱长为1的小正方体拼成的几何体，其俯视图的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B. 在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近 C. 从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球 D. 在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是 4. 在中，，若，，则的长是（ ） A. 200 B. 150 C. 120 D. 90 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 7. 如图，在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为，点在②号“E”上，则点Q在①号“E”上的对应点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（，，为常数，且）的，的部分对应值如表所示，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 10. 是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 12. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个交点时，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知二次函数与x轴的交点坐标为和，则一元二次方程的根为______． 14. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上反弹时入射角等于反射角，如果他跳起击球时的高度是2米即米，排球落地点离墙的距离是8米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是______米． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，经过点A，B，C，D，则的值为______． 16. 如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. （1）计算：； （2）用适当的方法解方程： ①； ② 19. 有A、B两个不透明袋子，分别装有除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个黄球，1个红球；B袋装有1个黄球，1个红球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，摸出小球是黄球的概率是______； （2）从B袋中随机取出一个小球，恰好摸到红球是______事件；摸到白球是______事件；选填“不可能”“必然”或“随机” （3）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标； （3）连接、，在绕原点顺时针旋转得到的过程中，计算变换到过程中所走的路径长． 21. 如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度为的斜坡，长度为，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点远的E处有一个花台，在E处测得楼顶C的仰角，的延长线交水平线于点． （1）求的高度； （2）求的长结果保留根号． 22. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标． 24. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱． （1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？ 25. 如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A开始沿边以的速度匀速运动，动点Q从点D开始沿边以的速度匀速运动，点P和点Q同时出发，设运动的时间为，当其中一点到达终点后，另一点也随即停止运动． （1）______ cm；______用含t的代数式表示； （2）当以点D、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点E，当为直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期九年级第一次月考 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 生活中有许多对称的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A．选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； B．选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意； C．选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； D．选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 如图，是由7个棱长为1的小正方体拼成的几何体，其俯视图的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：画出俯视图如图： 所以俯视图的面积为． 故选：B 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B. 在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近 C. 从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球 D. 在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、三角形的内角和定理、随机事件及列表法与树状图法等知识，利用事件性质的判断、利用频率估计概率、概率的求法等知识分别判断后即可确定正确的选项．解题的关键是了解概率的相关知识，难度不大． 【详解】解：A、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，正确，不符合题意； B、在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近，正确，不符合题意； C、从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球，正确，符合题意； D、在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是，故原命题错误，符合题意． 故选：D． 4. 在中，，若，，则的长是（ ） A. 200 B. 150 C. 120 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义．利用余弦的定义求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选：C． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数性质．根据可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而增大，根据横坐标的大小关系可作判断．可以利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值然后进行比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限内，点在第四象限内， ∴． 故选：C 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：， 实数k的取值范围是且． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为，点在②号“E”上，则点Q在①号“E”上的对应点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过点P作轴于点A，过点Q作轴于点B，可得∽，则由题意可得OP：：1，，，进而可得，，即可得出答案． 【详解】解：解：过点P作轴于点A，过点Q作轴于点B， ， ， ∽， ①号“E”与②号“E”的位似比为2：1， ：：1， 点， ，， ，， 点Q在①号“E”上的对应点P的坐标为 故选：B 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先求出A、B两点的坐标，再根据图形旋转的性质画出，进而可得出结论．一次函数的性质，坐标与图形变化-旋转，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，； 当时，， ，， 绕点B逆时针旋转后得到， ，，， ，即， 故选：A 9. 二次函数（，，为常数，且）的，的部分对应值如表所示，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，增减性，顶点坐标，能从表格中获取函数信息是解题关键． 当和时，函数值都为，根据对称性可知对称轴为，从而可得顶点坐标，即可判断；在对称轴的左侧，观察表格，可看出函数值逐渐减小，可判断；当时，随的增大而减小，可判断；由对称性可知，，解得，，可判断． 【详解】解：当和时，函数值都为，根据对称性可知对称轴为， 此时值为，从而顶点坐标为，故选项正确； 在对称轴的左侧，当从到，可看出函数值逐渐减小， 从而可知在对称轴左侧图象为“左降”，即抛物线开口向上，故选项正确； ∵当时，随的增大而减小，从而选项错误； 由对称性可知，，解得， ∴，故选项正确， 故选：． 10. 是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在内和在外两种情况讨论，先证明三点共线，则可求出的长，根据勾股定理先求得的长，再根据勾股定理可求得的长即可． 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若是锐角，是等腰三角形， 连接，过点O作于D，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是等腰三角形，且为底， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， ； 如图二，若是钝角，是等腰三角形， 同理可得， ， 综上可得腰长或 故选： 11. 如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故选：C． 12. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个交点时，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，当直线过点B时，直线与新函数的图象恰好有3个交点，此时可得；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰好有3个交点，即方程有两个相等的实数根，此时可得，则可得当直线与新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：令， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为， 当直线过点B时，直线与新函数的图象恰好有3个交点， 将代入， 得， 解得， 当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰好有3个交点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得， 当直线与新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知二次函数与x轴的交点坐标为和，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．由于或时，，从而可判断一元二次方程的根． 【详解】解：二次函数与x轴的交点坐标为和， 或时，， 一元二次方程的根为，． 故答案为：，． 14. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上反弹时入射角等于反射角，如果他跳起击球时的高度是2米即米，排球落地点离墙的距离是8米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， 排球能碰到墙面离地的高度的长是米． 故答案为：． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，经过点A，B，C，D，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、解直角三角形，掌握圆周角定理，连接AC，根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义求出，根据圆周角定理得到，得到答案．熟记正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接AC， ，， ， ， 由圆周角定理得：， ， 故答案为：． 16. 如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___． 【答案】5 【解析】 【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可． 【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化， 根据图象可知B'C'＝a，， 过点A'作A'H⊥B'C'， 则A'H为△A'B'C'的高， ∵△A'B'C'是等边三角形， ∴∠A'B'H＝60°， ∴sin60°＝， ∴A'H＝， ∴，即， 解得a＝﹣2（舍）或a＝2， 当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小， 根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5， ∴△ABC的边长是5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B'到达B之前是一个阶段，然后点C'到达C是一个阶段，最后B'到达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. （1）计算：； （2）用适当的方法解方程： ①； ② 【答案】（1）2；（2）①，；②， 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值、零指数幂，二次根式的运算法则，解一元二次方程，熟练计算是解题的关键． （1）根据特殊三角函数值、零指数幂，二次根式的运算法则进行计算即可求得答案； （2）①利用因式分解法解一元二次方程即可求解； ②利用公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）①， ， 或； ，； ②， ， ，， ， ， ，． 19. 有A、B两个不透明袋子，分别装有除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个黄球，1个红球；B袋装有1个黄球，1个红球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，摸出小球是黄球的概率是______； （2）从B袋中随机取出一个小球，恰好摸到红球是______事件；摸到白球是______事件；选填“不可能”“必然”或“随机” （3）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1） （2）随机，不可能 （3） 游戏规则对双方是公平的， 证明：根据题意列树状图如下： 共有6种等可能的结果，摸出的两个小球颜色相同的有3种，摸出的两个小球颜色不相同的有3种， 摸出的两个小球颜色相同的概率是，摸出的两个小球颜色不相同的概率是， 小林，小华获胜的概率都为，这个游戏规则对双方是公平的． 【解析】 【分析】本题考查概率公式，列表或画树状图求概率，解题的关键是读懂题意，列出树状图得到所有等可能的结果． （1）由概率公式可得，随机取出一个小球，摸出小球是黄球的概率是； （2）根据事件的可能性判断即可； （3）列出树状图，再用概率公式可得小林，小华获胜的概率都为，可知这个游戏规则对双方是公平的． 【小问1详解】 解：袋装有2个黄球，1个红球，摇匀后摸到每个球的可能性相同， 随机取出一个小球，摸出小球是黄球的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：袋装有1个黄球，1个红球， 袋中随机取出一个小球，恰好摸到红球是随机事件，摸到白球是不可能事件； 故答案为：随机，不可能； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标； （3）连接、，在绕原点顺时针旋转得到的过程中，计算变换到过程中所走的路径长． 【答案】（1）如图，即为所求；点的坐标为； （2）如图，即为所求；的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，中心对称的性质，弧长公式，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， ∴变换到过程中所走的路径长为． 21. 如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度为的斜坡，长度为，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点远的E处有一个花台，在E处测得楼顶C的仰角，的延长线交水平线于点． （1）求的高度； （2）求的长结果保留根号． 【答案】（1）的高度为 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得：，，根据已知可设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： 由题意得：，， 的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 的高度为； 【小问2详解】 解：设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， ， 的长为． 22. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ， 是的平分线， ， ， ， ， 是的半径，且于点， 是的切线． （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）要证是的切线，只要连接，再证即可． （2）作于点，证明，由勾股定理得到的长，进而求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，且， ， 解得， 的长为． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将A点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围； （3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得， 点B坐标为， 一次函数解析式，经过，， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ，即反比例函数值小于一次函数值， 由图象可得； 【小问3详解】 解：由题意，设且， ， ， ， 解得，， 或． 24. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱． （1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？ 【答案】（1） （2）当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元 （3）超市每天至少销售水果210箱 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系式是关键． （1）根据“售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱”即可得出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=一箱水果所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种水果的每箱售价不得高于65元，且每天获得不低于2030元的利润，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：， ，， 当时，元， 即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元； 【小问3详解】 解：由题意，得， 解得，， 抛物线的开口向下， 当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润， 又， 在中，， 随x的增大而减小， 当时，， 即超市每天至少销售水果210箱． 25. 如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A开始沿边以的速度匀速运动，动点Q从点D开始沿边以的速度匀速运动，点P和点Q同时出发，设运动的时间为，当其中一点到达终点后，另一点也随即停止运动． （1）______ cm；______用含t的代数式表示； （2）当以点D、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图2，延长，两延长线相交于点E，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）5， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】如图1，根据题意得，作于H，根据矩形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到； 由知，，由题意知，根据勾股定理得到，是公共角．①当时，②当时，根据相似三角形的性质即可得到结论； ①当时，即为直角三角形，如图，过点C作于H，②当时，即为直角三角形，过D作于G，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，根据题意得， ， ； 作于H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：5，； 【小问2详解】 由知，，由题意知， ，是公共角． ①当时， 解得； 当时，以点D、P、Q为顶点的三角形与相似； ②当时， ， 解得， 当时，以点D、P、Q为顶点的三角形与相似；， 综上或； 【小问3详解】 ， ， ①当时，即为直角三角形，如图，过点C作于H， 则， ， 解得； 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ②当时，即为直角三角形， 过D作于G， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $