第1章 图形的相似（复习课件）数学青岛版九年级上册

单元复习课件 第1章 图形的相似 青岛版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 理解相似多边形的概念：掌握相似多边形的定义。了解相似多边形的性质，如对应角相等、对应边成比例。 3.图形的位似：理解位似图形的概念和性质。掌握位似中心和位似比的应用，并进行相关作图和计算。 2. 判定三角形相似的方法：熟悉并应用三角形相似的判定定理（AA、SAS、SSS）。相似三角形的性质：掌握相似三角形的性质并解决相关计算问题。 单元学习目标 图形的相似 相似多边形 定义 形状相同的平面图形叫做相似形；相似图形的大小不一定相同； 全等是特殊的相似. 相似三角形 位似 判定 性质 应用 单元知识图谱 知识点一：相似多边形 全等是一种特殊的相似 定义: 我们把这些形状相同的图形叫做相似图形。 全等的两个图形是否相似？ 考点串讲 知识点一：相似多边形 相似多边形 （对应边的比相等） 相似比 相似多边形对应边的比。 （k > 0） 若相似比k =1 ， 相似图形有什么关系？ 对应角相等，对应边成比例。 全等 考点串讲 知识点二：相似三角形的判定 平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 考点串讲 知识点二：相似三角形的判定 “A”型 “X”型 （图2） D E O B C A B C D E （图1） 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言： ∵ DE//BC ∴△ADE∽△ABC． 考点串讲 知识点二：相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 A B C D E 即：在△ABC中，如果DE∥BC. 那么 （上比全，全比上.） （上比下，下比上.） （下比全，全比下.） 考点串讲 知识点二：相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形判定定理1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角形判定定理2 三边成比例的两个三角形相似. 相似三角形判定定理3 考点串讲 对应角_________, 对应边___________; 对应________、对应__________、对应______________等于 相似比. 周长比等于_________. ④ 面积比等于_______________. 知识点三：相似三角形的性质 相等 成比例 高的比 中线的比 角平分线的比 相似比 相似比的平方 考点串讲 知识点四：位似 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行或者在同一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 相似 对应顶点的连线相交一点 对应边互相平行 (或在同一直线上) 明确 注：三者缺一不可！ 考点串讲 知识点四：位似 位似图形是相似图形的特殊情形. 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 考点串讲 题型一、图形的相似 1. 下列图形中能够确定相似的是 [多选] ( ) A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形 C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形 E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形 ABDF 形状相同的平面图形叫做相似图形 题型剖析 题型一、图形的相似 2.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 解：由相似多边形的对应边的比相等，可得 解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6. 题型剖析 题型二、平行线分线段成比例 3.如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则AC = ； 若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 7.5 6 由 ,可得到 CE 的长 可以通过 ，得到 AG 的长 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 D 4.如图, 下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( ). A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD·AC D． 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 5.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有(　　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2. ∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC. ∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2. ∴AD：DC＝AE：BC. 又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD.故选B. B 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 D 6.已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将下列选项中的△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　) 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 7.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE所在直线折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为________． 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 解：分两种情况： (1)当点B′落在AD边上时，如图①. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°. ∵将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点B′落在AD边上， ∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°.∴∠AEB＝45°. ∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE. ∴a＝1.∴a＝1.5. 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 (2)当点B′落在CD边上时，如图②. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， AD＝BC＝a. ∵将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点B′落在CD边上， ∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a. 题型剖析 题型三、相似三角形的判定 题型剖析 题型四、相似三角形的性质 8.如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE∽△ABC． ∴ 即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 题型剖析 题型四、相似三角形的性质 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC∽△ABC ，相似比为 ∴ 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = A B C D F E 题型剖析 题型四、相似三角形的性质 9.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置． 已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于(　　) A．2 B．3 C．4 D． 设A′B′交BC于点E，A′C′交BC于点F. 由题意得，S△ABC＝16，S△A′EF＝9， E F 题型剖析 题型四、相似三角形的性质 E F 易得S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8. ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB. ∴△DA′E∽△DAB. ∴＝，即＝＝， 解得A′D＝3或A′D＝－(不符合题意，舍去)．故选B. 题型剖析 题型五、位似 10． 【解】如图所示，△A1B1C1即为所求． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； 题型剖析 题型五、位似 (2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1. 【解】如图所示，△A2B2C2即为所求． 题型剖析 题型五、位似 24 11.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是________． 题型剖析 返回 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)　 　　　　　　　　　　　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 D 针对训练 2.如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x. D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形ABCD中 ∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. 解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似 ∴ 它们的对应角相等．由此可得: 针对训练 ∵ 四边形ABCD和EFGH相似 ∴它们的对应边成比例，由此可得: 解得 x ＝ 28 . 即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 针对训练 3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长为 ⁠． 解：如图可得 = AB＝3 ∴BC＝ 针对训练 4.已知线段AB＝10，C是直线AB上一点，D为线段AC的中点，＝，且m，n满足|m-3|＋5(m+2n-7)2＝0，则线段BD的长为____________． 8或20 解：∵|m-3|＋5(m+2n-7)2＝0 ∴m=3,n=2. ∵＝ 设BC=3k,AC=2k, ①若C在AB中间 则3k+2k=10; k=2. ∴AC=4,BC=6. ∵D为线段AC的中点, ∴AD=CD=AC=2. ∴BD=8. ②若C在AB外侧 则3k–2k=10; k=10. ∴AC=20,BC=30. D为线段AC的中点, ∴AD=CD=AC=10. ∴BD=20. 针对训练 5.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 针对训练 【答案】B 由“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2，2，4.“车”“炮”所在位置的格点之间的距离为1，“炮”“②”所在位置的格点之间的距离为，“车”“②”所在位置的格点之间的距离为2. ∵＝＝， ∴“马”应落在②处． 针对训练 6.如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，垂足为O.若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　) A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 针对训练 如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF. ∴四边形AMFD是矩形．∴FM＝AD＝3. 同理可得四边形ABNH是矩形， ∴HN＝AB＝2，HN∥AB. ∴∠1＝∠2.∵HG⊥EF， ∴∠HOE＝90°.∴∠1＋∠GHN＝90°. ∵∠3＋∠GHN＝90°， ∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3. 又∵∠4＝∠5， ∴△FME∽△HNG.∴＝＝. ∴EF：GH＝3：2. 【答案】B 针对训练 7.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE.在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 【解】存在，如图，当OF⊥AC时，△CFO∽△OAE. 针对训练 证明：由题易知OA＝OC，AE＝BE， ∴OE是△ABC的中位线． ∴OE∥BC. ∵OA＝OC，OF⊥AC， ∴FA＝FC.∴∠AFO＝∠CFO. ∵∠BAD＝∠AOF＝90°， ∴∠EAO＋∠FAO＝90°，∠FAO＋∠AFO＝90°. ∴∠EAO＝∠AFO＝∠CFO. ∵OE∥BC，∠B＝90°，∴∠AEO＝∠B＝90°. 又∵∠FOC＝90°，∴∠AEO＝∠FOC. ∴△CFO∽△OAE. 针对训练 针对训练 9． 如图1，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O. 　　(1)添加条件： ⁠，可使△ADE∽△ABC． 　　(2)在(1)的条件下，若AB＝6，AD＝2，AE＝1. 　　①CE＝ ⁠； 　　②当S△ADE＝1时，四边形BCED的面积为 ⁠． ∠ADE＝∠ABC(答案不唯一) 2 8 针对训练 (3)当点D，E分别为边AB，AC的中点时，判断OB与OE的数量关系，并说明理由． 　　解：OB＝2OE. 理由如下： 　　∵点D，E分别为边AB，AC的中点， 　　∴DE∥BC， ＝ . 　　∴△ADE∽△ABC，∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC． 　　∴△ODE∽△OCB． 　　∴ ＝ ， ＝ . 　　∴ ＝ ，即OB＝2OE. 针对训练 (6－2t，－2) 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知A(2，0)，C(t，1)，则点C′的坐标为_____________．(结果用含t的式子表示) 针对训练 11.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝4，则S△DEF等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 ∵OA＝2AD，∴OA：OD＝2：3. 又∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位心中心， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：3. ∴△ABC与△DEF的面积比为4：9. 又∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为9.故选C. C 针对训练 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 课堂总结 感谢聆听! 1.5或 ∴DB′＝＝，EC＝BC－BE＝a－a＝a. ∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°－∠AB′D，∠D＝∠C＝90°， ∴△ADB′∽△B′CE.∴＝， 即＝，解得a1＝，a2＝－(舍去)． 综上所述，a的值为1.5或. ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，∴△ABC与△DEF的相似比为. ∴＝＝. ∵△ABC的面积为3，∴△DEF的面积为27. ∴阴影部分的面积是27－3＝24. ∵AD∥BC， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离． ∴＝＝. ∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB.∴＝＝＝. 8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________． $$