专题02 相似三角形的判定与性质（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题02 相似三角形的判定与性质（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定 1 题型三、利用相似三角形的性质求解（重点） 3 题型四、证明三角形的对应线段成比例 4 题型五、利用相似求坐标 4 题型六、在网格中画与已知三角形相似的三角形（常考题） 5 题型七、相似三角形--动点问题 6 题型八、相似三角形的判定与性质综合（难点） 8 题型九、相似三角形实际应用 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定 1．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B．∠D=900 C． D． 4．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 5．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A．B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 9．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 10．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 13．如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 14．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 15．如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于，与相似比为，则 ．     题型四、证明三角形的对应线段成比例 16．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 17．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 18．如图，，，那么与的相似比为 ．    题型五、利用相似求坐标 19．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④   20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 22．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 题型六、在网格中画与已知三角形相似的三角形 23．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 25．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 题型七、相似三角形--动点问题 26．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 27．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 28．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 29．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 30．如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 31．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 题型八、相似三角形的判定与性质综合 32．如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 33．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则等于 ． 34．如图，在中，，分别是边，上的点，且，的平分线分别交，于点，．已知，，．求线段的长度． 题型九、相似三角形实际应用 35．如图，一颗树的底部可以到达，但顶部不能到达，某探究小组想利用标杆、皮尺、平面镜等工具测量树的高度，测量及求解过程如下： (1)若只能选择两种测量工具，则它们是 ；画出测量示意图； (2)根据你测量所得的数据（用，，…表示）求树高． 36．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 37．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 38．塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 5．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 6．（2025·安徽滁州·三模）已知，和的周长分别为和，且，，求和的长． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法） 8．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，为测算河对面高楼的高度，小明站在岸边一商场楼顶，从楼顶点处看水面，正好通过小船处看见对面楼顶A在水里的倒影；他下到二楼从点处看水面，正好通过河埠头（河边渡口伸出的小台子）端点看见倒影．已知二楼观测点处高出水面米，商场楼顶点处高出水面米，点与点的距离米，点与点距离米．求高楼的高度． 9．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 10．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的判定与性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定 1 题型三、利用相似三角形的性质求解（重点） 9 题型四、证明三角形的对应线段成比例 11 题型五、利用相似求坐标 11 题型六、在网格中画与已知三角形相似的三角形（常考题） 15 题型七、相似三角形--动点问题 17 题型八、相似三角形的判定与性质综合（难点） 21 题型九、相似三角形实际应用 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定 1．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：，， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B．∠D=900 C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 4．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 5．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、∵，， ∴，故B选项能判定，不符合题意； C、由，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故C选项不能判定，符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 8．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【解析】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 9．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 10．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【解析】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 12．若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：2， ∴这两个相似三角形的周长之比为1：2． 故选：C． 13．如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵两个相似三角形的面积的比是， ∴它们的相似比是． ∴它们的对应中线的比是． 故选：D． 14．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 【答案】D 【解析】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 15．如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于，与相似比为，则 ．     【答案】 【解析】解：， ， ∵与相似比， ， ， ， 故答案为：． 题型四、证明三角形的对应线段成比例 16．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 17．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 18．如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【解析】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 题型五、利用相似求坐标 19．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【解析】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 22．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 题型六、在网格中画与已知三角形相似的三角形 23．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 24．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 【答案】丙 【解析】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 25．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】见解析 【解析】解：如图，即为所求． 题型七、相似三角形--动点问题 26．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 【答案】运动时间t为秒时， 【解析】解：根据题意：，，，， 则， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，． 27．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 【答案】D 【解析】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 28．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似 【解析】解：设经过秒后，， 此时，． ∴， ∵， ， ， 设经过秒后，， ， ， ， 所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似． 29．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【答案】2或 【解析】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时， ． 解得． 故经过秒时，． ②当时， ． 解得． 故经过秒时，． 故答案为：或． 30．如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 【答案】或 【解析】解：设运动时间为，由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 31．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 题型八、相似三角形的判定与性质综合 32．如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，交的延长线于点E，于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则AE=， ∴， ， ∵，， ∴四边形是梯形， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， 故选： D． 33．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则等于 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点O作于点E，交于点F， ∵作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 34．如图，在中，，分别是边，上的点，且，的平分线分别交，于点，．已知，，．求线段的长度． 【答案】8cm 【解析】解：， ， 由题意知平分，平分， ， ，，． ， ， ． 题型九、相似三角形实际应用 35．如图，一颗树的底部可以到达，但顶部不能到达，某探究小组想利用标杆、皮尺、平面镜等工具测量树的高度，测量及求解过程如下： (1)若只能选择两种测量工具，则它们是 ；画出测量示意图； (2)根据你测量所得的数据（用，，…表示）求树高． 【答案】(1)标杆、皮尺；测量示意图见解析； (2)． 【解析】（1）解：使用标杆、皮尺，测量示意图如下： 故答案为：标杆、皮尺； （2）由于树、标杆在阳光下的影子的前后端，即点C，B，R，Q在同一条直线上， 故观测者通过测量，和标杆． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 所以树高． 36．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 【答案】3 【解析】解：设到小孔O的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故到小孔O的距离为， 故答案为：3． 37．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【解析】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 38．塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为 【解析】 解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 【答案】 【解析】解：过点D作交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 5．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 6．（2025·安徽滁州·三模）已知，和的周长分别为和，且，，求和的长． 【答案】， 【解析】解：， ， ， ，． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【解析】解：如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，为测算河对面高楼的高度，小明站在岸边一商场楼顶，从楼顶点处看水面，正好通过小船处看见对面楼顶A在水里的倒影；他下到二楼从点处看水面，正好通过河埠头（河边渡口伸出的小台子）端点看见倒影．已知二楼观测点处高出水面米，商场楼顶点处高出水面米，点与点的距离米，点与点距离米．求高楼的高度． 【答案】130米 【解析】解：设米． ， 是等腰直角三角形． ， ， ． ，即． 解得． 答：高楼的高度为130米． 9．（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【解析】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 10．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$