2025年第二十四届中国女子数学奥林匹克第一天试题

2025年中国女子数学奥林匹克 第一天 1.设{xm}是实数列，满足x1=1,且对任意n≥2，当a1,a2,·,am取 遍1,2，·，n的所有排列时，a1x1+a2x2+·+anxn的最小值为0.求x2025的所 有可能值. 2.如图，四边形ABCD内接于圆O,AB>BC,E是AC上一点使得AE< EC.过E作AC的垂线l,分别交△AED,△BED,△CED的外接圆于另一 点X,Y,Z,且E,Y,Z,X依次排列.若AX=BY=CZ,求证：BD与OY的交 点是△ABC的内心. 3.是否存在大于1的整数x,,乙，k,满足： (1)x,,2均恰有k个大于1的约数： (2)存在x的大于1的约数的排列a1,a2,·,ak,y的大于1的约数的排 列b1,b2,…,bk,使得a山1+b1,a2+b2…,ak+bk为之的大于1的所有约数. 4.对正实数入，考虑命题P(): 存在正整数n以及两两不同的3n个实数a1,a2,…,anb1,b2,…,bn;C1,c2,…, cn,使得 1{(i,):1≤i,j≤n,a:>bH≥n2, lK6,i):1≤ij≤n,6>cl≥An2, {位，j):1≤i,j≤n,c>aH≥n2. 求证：（①当A<5,1时，P)为真命题： 2 ②当A≥5，-1时，P)为假命题， 2