精品解析： 北京市第一五六中学2024～2025学年下学期3月月考九年级数学试题

初三年级月考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列几何体中，主视图为下图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； 再结合常见几何体的主视图特征判断即可 【详解】解：A．主视图为矩形，符合题意； B．主视图为三角形，不符合题意； C．主视图为有一公共边的两个三角形，不符合题意； D．主视图为圆，不符合题意； 故选： A． 【点睛】本题考查了主视图的概念，牢记观察方向是解题关键． 2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：83000用科学记数法表示为． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：甲、乙位于直线的两侧， 根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求； 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接． 4. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为 ； 故选：D． 【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 5. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置可知，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确得到是解题的关键． 6. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴， ∴， ∴被测物体表面的倾斜角为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键． 7. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 分解因式：＝____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可得到答案 【详解】解： 故答案为： 【点睛】 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象的最低点在x轴上 ∴且， 整理得，且， 解得，（舍去）， 故答案为：2． 12. 根据如表估计__________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解答本题的关键． 根据表格可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， 当点在点处时， ∵，， ∴， 当点在点处时，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∵，， ∴即， ∴是正三角形， ∴， ∴， 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 15. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图，若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______（用“<”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差概念解答，方差指的是数据波动程度，数据波动程度越大，数据越不稳定，方差越大，图中该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间． 【详解】由图知，该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是方差的概念，解题关键是根据图中数据判断方差的大小． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 【答案】 ①. 2 ②. 135 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得， 则， ∵x为正整数，x的最小值为2， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； 解：（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：135． 三、解答题：（共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，然后确定一元一次不等式组的解集即可．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】9 【解析】 【分析】先推出，再根据完全平方公式去括号，然后合并化简，最后把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）求得，根据，可得，进而即可求解； （2）把代入方程，求出的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵，，， ∴， ∴另一个根为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 21. 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点P的坐标是或． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值，解答本题的关键在于函数交点都满足解析式． （2）本题主要考查反比例函数与坐标轴围成面积，解答本题的关键在于利用已知点的坐标表示出围成图形的边长运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）本题主要考查反比例函数正比例函数图象结合问题，解答本题的关键在于反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． 【小问2详解】 解法一：如图1， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形． ∵，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4． ∴； 解法二：如图2， 过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； 【小问3详解】 ∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图3， ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图4， ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E，过点 D 作DF // EA 交 BA 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 AEDF 是矩形； （2）连接BD，若 AB=AE=2，tan FAD ，求 BD 的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，即AF∥ED， ∵AE⊥DC，DF⊥BA， ∴DF∥EA， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴四边形AEDF是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AE⊥DC，DF⊥BA，易证得四边形AEDF是平行四边形，继而证得四边形AEDF是矩形； （2）由四边形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中tan∠FAD== ，继而求得BF的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】（1）略 （2）如图，连接BD， ∵四边形AEDF是矩形，AB=AE=2 ∴FD=AE=2，∠F=90°， ∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==， AF=5， AB=2， ∴BF=AB+AF=7， 在Rt△BFD中，BD=． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意利用三角函数，求得AF的长是关键． 23. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 （1）①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； （2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】（1）①2.8；②0.98 （2）野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出与0.8比较即可． 【小问1详解】 解：①由，和，可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时，有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 24. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下： 分数 频率 ．甲款红茶分数在这一组的是： ．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为________，的值为________； （3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，可以认定________款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1） 如图所示， （2）， （3）甲 【解析】 【分析】（1）根据题意可得甲款红茶分数在这一组的数据有个，在这一组的数据有个，进而补全统计图； （2）根据众数与中位数的定义即可求解； （3）分别计算甲、乙成绩的加权平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，甲款红茶分数在这一组的数据有个，则在这一组的数据有个， 图略； 【小问2详解】 根据甲款红茶分数在这一组的是： ， 则众数为86； 中位数是第13个，，在这一组从小到大的第个数据为， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：甲款红茶的平均分为， 乙款红茶的平均分为， ∵， ∴可以认定甲款红茶最终成绩更高 【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC是☉O的切线; (2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若MN·MC=8,求☉O的直径. 【答案】（1）由题意得到半径OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线（2）AB=4 【解析】 【详解】试题分析（1）：因为同圆中半径相等，得到相等的角，直径所对的圆周角为90°，再由已知，经过等量代换，半径与直线垂直．（2）连接AM，BM.由题意易得△ANC∽△NMA,由已知一边的长为8，根据相似三角形的相似比求之．注意的是；相似比找准对应边．通过角找边容易．1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO . ∴∠COB=2∠ACO . 又∵∠COB=2∠PCB， ∴∠ACO =∠PCB . ........................................................ 1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO +∠OCB="90" . ∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP. ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线. ………………………2分 （2）解：连接MA、MB.（如图） ∵点M是弧AB的中点， ∴∠ACM=∠BAM. ∵∠AMC=∠AMN， ∴△AMC∽△NMA . …………………………3分 ∴. ∴. ∵=8， ∴. ............................................................. 4分 ∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点， ∴∠AMB=90，AM=BM=. ∴. 5分 考点：圆周角的性质，在同圆等中弧，弦，圆周角三者关系．相似三角形的判定条件及性质． 点评：掌握切线判定的条件，即经与圆过一点，且与半径垂直，这个点到圆心的距离等于半径长．本题需要画辅助线，借助M点为中点根据弧弦圆周角的关系求之． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）过该抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，，是图形上的点，设． ①当时，求的值； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）顶点为， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点代入中，得出，进而将解析式化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式得出抛物线与轴交点为，当时，进而求得，即可求解； ②与轴交于点，抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得，在对称轴的左侧，，关于对称，分，，分别求得，，根据题意解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入中，得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴对称轴为直线，顶点为， 【小问2详解】 ①当时，， 当时，， ∴抛物线与轴交点为， ∵，是图形上的点， 即 ∴， ∴； ②，当时，， ∴与轴交于点， ∴抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得 ∵对称轴为直线 ∴在对称轴的左侧， ∴， ∵，关于对称 ∴当，即时，即 ∴ ∵ ∴， 当，即时，， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27. 如图，在等边△ABC中，点D 是边CB延长线上一动点(BD<BC)，连接AD，点B 关于直线AD的对称点为E，过D 作DF//AB交CE于点F， （1）依题意补全图形； （2）求证：AD=CF； （3）当∠DCE=15°时，直接写出线段AD，EF，BC之间的数量关系． 【答案】 （1）解：如图即为所求， （2）证明：如图，连接FB， ∵点E、点B关于AD对称， ∴△ADE≌△ADB， ∴∠AED＝∠ABD，AE＝AB， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AED＝∠ABD， ∴∠AEC＋∠DEF＝∠BAC＋∠ACE＋∠DCF， ∴∠DEF＝∠BAC＋∠DCF＝60°＋∠DCF， ∵DF∥AB， ∴∠FDB＝∠ABC＝60°， ∴∠DFE＝∠FDB＋∠DCF＝60°＋∠DCF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DE＝DF， ∴DB＝DF， 又∵∠FDB＝60°， ∴△BDF为等边三角形， ∴∠DBF＝∠ABC＝60°，DB＝FB， ∴∠DBA＝∠FBC＝120°， 在△DBA与△FBC中， ∴△DBA≌△FBC（SAS） ∴AD＝CF． （3）EF+AD=BC 【解析】 【分析】（1）依据题意画出相应图形即可； （2）连接FB，先DE＝DF，再证等边三角形DFB，最后通过证△DBA≌△FBC即可得证； （3）先证△AEC为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到AD，EF，BC之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∠ACB＝60°，∠DCE＝15°， ∴∠AEC＝∠ACE＝45° ∴∠EAC＝90°， 在Rt△ACE中，AE2＋AC2＝EC2， ∴EC2＝2AC2， ∴EC＝AC， 即EF＋FC＝AC， 又∵FC＝AD，AC＝BC， ∴EF＋AD＝BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，以及轴对称的性质，证明DE＝DF是解决本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为． （1）已知点． ①点A的关联直线为_________； ②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________； （2）已知点，点．点M为直线上的动点． ①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值； ②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①根据关联直线的定义进行求解即可；②设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，先求出C、D的坐标，进而得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）①先求出直线直线的解析式为，设点M的坐标为，则点M的关联直线为，推出点M的关联直线经过定点，进而得到当点H与点N重合时，最大，即 点O到点M的关联直线的距离最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，要想最小，则要使最大，由此得到，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，由此即可建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，点的关联直线为， 故答案为：； ②如图所示，设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D， ∴， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴的半径为； 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 由题意得，点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点， 如图所示，过点O作直线的垂线，垂足为H， ∴， ∴当点H与点N重合时，最大，即 点O到点M的关联直线的距离最大， ∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为； ②同理可得直线的解析式为， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点T作于N，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为4，即的最小值为2， ∴， 由（2）①可知，当点N与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级月考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列几何体中，主视图为下图的是（ ） A. B. C. D. 2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 分解因式：＝____. 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是______． 11. 已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则______． 12. 根据如表估计__________（精确到）． 13. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为__________． 14. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________． 15. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图，若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______（用“<”号连接）． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 三、解答题：（共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 21. 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E，过点 D 作DF // EA 交 BA 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 AEDF 是矩形； （2）连接BD，若 AB=AE=2，tan FAD ，求 BD 的长． 23. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 （1）①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； （2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 24. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下： 分数 频率 ．甲款红茶分数在这一组的是： ．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图； （2）表格中的值为________，的值为________； （3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，可以认定________款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）． 25. 如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC是☉O的切线; (2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若MN·MC=8,求☉O的直径. 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）过该抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，，是图形上的点，设． ①当时，求的值； ②若，求的取值范围． 27. 如图，在等边△ABC中，点D 是边CB延长线上一动点(BD<BC)，连接AD，点B 关于直线AD的对称点为E，过D 作DF//AB交CE于点F， （1）依题意补全图形； （2）求证：AD=CF； （3）当∠DCE=15°时，直接写出线段AD，EF，BC之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为． （1）已知点． ①点A的关联直线为_________； ②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________； （2）已知点，点．点M为直线上的动点． ①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值； ②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $