精品解析:安徽省合肥市兴国实验学校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试卷

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2025-08-12
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2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项: 1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分,请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的. 3.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的) 1. -6的绝对值的相反数是(  ) A. B. 6 C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示,该几何体是( ) A. B. C. D. 4. 广东新闻2024年12月28日消息,据深圳地铁日前通报,深圳地铁开通20年累计运送乘客超206亿人次,线网建设密度、客运强度、通勤便捷性、智慧出行等指标位居中国内地城市第一.其中“206亿”用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 5. 如图,直线与正五边形的边,分别相交于点,,则( ) A. B. C. D. 6. 王老师要选择两名同学担任九年级毕业典礼主持人.现有2名男同学和3名女同学候选,那么王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率为( ) A. B. C. D. 7. 如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是(  ) A. 2 B. C. 2 D. 8. 如图,点为边延长线上一点,连接,,,且,若,点是线段上的动点,则的最小值是( ) A. B. C. D. 9. 已知非负实数满足,则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 10. 在凸四边形中,,,点在线段(不与端点重合)上,且,连接,.则下列结论错误的是( ) A. B. 若,则 C. D. 若,则 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分 20分) 11. 计算:___________. 12. 若二次函数的图象与轴有且只有一个交点,则的值为 __. 13. 我国古代数学家赵爽巧妙的用“弦图”证明了勾股定理,标志着中国古代的数学成就,如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若直角三角形的斜边长为10.一条直角边长为8.则小正方形EFGH的边长为_______. 14. 如图,在直角坐标系中,正方形的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(,)的图象与正方形的两边分别交于点M、N,轴,垂足为D,连接. (1)四边形面积与面积关系是_________; (2)若,,则点C的坐标为_________. 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15. 解不等式:. 16. 先化简,再求值:,其中. 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出以格点(网格线的交点)为端点的线段及格点O. (1)将线段绕点O顺时针旋转得到线段(点A,B的对应点分别为C,D),请画出线段. (2)以线段为一边,在网格内作出一个周长最大的等腰,点E在格点上. 18. 观察下列等式: 第1个等式:12=13; 第2个等式:(1+2)2=13+23; 第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33; 第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式: ; (2)写出第n(n为正整数)个等式: (用含n的等式表示); (3)利用上述规律求值:. 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19. 学校无人机兴趣小组进行测量活动.如图,甲楼与乙楼之间的距离为72米.无人机升空后,在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和,点距地面的高度为50米.无人机沿水平方向由点飞行40米到达点,测得点的俯角为(结果保留整数).点均在同一竖直平面内.求乙楼的高度.(参考数据:,,.) 20. 如图,内接于,过点C的切线交的延长线于点D,且,连接并延长交于点E. (1)求证:; (2)若,,求的半径. 六、(本题满分12分) 21. 综合与实践 【项目背景】 在苹果收获的季节,班级同学前往某苹果种植农场开展综合实践活动,其中一个项目是在外部环境基本相同的条件下,对甲,乙两个品种苹果树的产量进行调查统计,为农场进一步发展提供一些参考. 【数据收集与整理】 按苹果树单棵的产量(单位:斤)从高到低各随机取5棵分别编为号,对它们的产量进行统计,并绘制出条形统计图如下: (1)直接写出统计图中,的值. (2)根据上图中的数据,补充完整下面的苹果树单棵产量统计分析表. 品种 平均数 中位数 众数 甲 85 85 乙 85 80 【数据分析与运用】 (3)哪个品种苹果树的单棵产量更稳定?请通过计算说明理由. (4)该农场准备从以上随机选取的甲、乙两个品种苹果树中取出产量最高的,从中任选两棵进一步分析,求选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的概率. 七、(本题满分12分) 22. 如图,在菱形中,为边的中点,连接交延长线于点,平分交于点,连接. (1)如图1,求的大小; (2)如图1,证明:点为线段的三等分点; (3)如图2,连接交于点,若,,求的长. 八、(本题满分14分) 23. 已知:如图,抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式和直线的函数表达式; (2)若直线轴,在第一象限内与抛物线交于点,与直线交于点,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点与点之间的距离的最大值或最小值,以及此时点,的坐标. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项: 1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分,请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的. 3.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的) 1. -6的绝对值的相反数是(  ) A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出-6的绝对值,然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答. 【详解】∵-6的绝对值为6,6的相反数为-6, ∴-6的绝对值的相反数是-6. 故选A. 【点睛】本题考查了绝对值的性质,相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法,多项式除以单项式,积的乘方,掌握合并同类项法则,多项式除以单项式法则,,是解题的关键. 【详解】解:A.,结论错误,故不符合题意; B.,结论错误,故不符合题意; C.,结论错误,故不符合题意; D.,结论正确,故符合题意; 故选:D. 3. 某几何体的三视图如图所示,该几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体.根据三视图逐项判定即可. 【详解】解:由题意知,该几何体分上下两层,上层为圆柱,下层为长方体,故选项A,B,D均不符合题意,则该几何体如下;     故选:C. 4. 广东新闻2024年12月28日消息,据深圳地铁日前通报,深圳地铁开通20年累计运送乘客超206亿人次,线网建设密度、客运强度、通勤便捷性、智慧出行等指标位居中国内地城市第一.其中“206亿”用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大数,解题的关键是掌握科学记数法的形式. 利用科学记数法的定义进行表示即可,注意小数点移动的位数. 【详解】解:206亿, 故选:A. 5. 如图,直线与正五边形的边,分别相交于点,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角,对顶角等知识,根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出,根据四边形内角和是求出,然后根据邻补角定义和对顶角性质求解即可. 【详解】解∶ ∵正五边形, ∴, ∴, 又,, ∴, ∴, 故选:C. 6. 王老师要选择两名同学担任九年级毕业典礼主持人.现有2名男同学和3名女同学候选,那么王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率.根据题意作出树状图,结合树状图,即可获得答案. 【详解】解:根据题意可得,作出树状图如下, 由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的结果有12种, 所以,王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率. 故选:C. 7. 如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是(  ) A. 2 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由A为直线y=kx﹣3(k≠0)与双曲线y=﹣(x<0)的交点可求得A点坐标与一次函数的解析式,可求得B点坐标,用两点间距离公式可求得AB的长. 【详解】解:A为直线y=kx﹣3(k≠0)与双曲线y=﹣(x<0)的交点,可得A满足双曲线的解析式,可得:,解得:,即A点坐标为(-2,1), A点再直线上,可得A点满足y=kx﹣3(k≠0), 可得:,解得:k=-2, 一次函数的解析式为:y=-2x﹣3, B为直线与y轴的交点,可得B点坐标(0,-3), 由A点左边(-2,1), 可得AB的长为=, 故选A. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合,注意求出A、B两点坐标后用距离公式求解. 8. 如图,点为边延长线上一点,连接,,,且,若,点是线段上的动点,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,正确的做出辅助线构造相似三角形是解题的关键. 根据相似三角形的性质得到,得到线段和的长,进而求出与相等,过点作,根据勾股定理得出的长,只有时,的值最小,通过相似三角形对应线段成比例即可得到的最小值. 【详解】解:, , , 解得,(负值舍去), , , , , , , , , 过点作于点,如图所示, , , ,, , 当时,的值最小, , , , 即, ; 故选A. 9. 已知非负实数满足,则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式,完全平方公式,非负数的性质,掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.根据,通过解不等式及完全平方公式的运算进行判断即可. 【详解】由得. , 又为非负实数, 解得, 又 , 易得 , A项、B项错误,C项正确. 当时,; 当时,由题可知 , 即. 由得 , 即, D项错误. 故选:C 10. 在凸四边形中,,,点在线段(不与端点重合)上,且,连接,.则下列结论错误的是( ) A. B. 若,则 C. D. 若,则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理,根据题意添加合适的辅助线是解题关键. A、证得,可推得,即可求解; B、通过题意进行等量代换即可求解; C、延长,作于点,证得四边形是矩形,结合直角三角形的斜边与两条直角边的关系即可求解; D、结合C选项和勾股定理即可求解. 【详解】解:A、根据题意,如图所示: 在和中, , , , , , , ,故A选项正确,但不符合题意; B、,, , , , ,故B选项正确,但不符合题意; C、如图,延长,作于点, , 四边形是矩形, , 是的斜边, , , ,故C选项正确,但不符合题意; D、由C选项得:, 在中,, 无法判断和的大小,故D选项错误,但符合题意. 故选:D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分 20分) 11. 计算:___________. 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂,零指数幂,直接利用负整数指数幂和零指数幂的性质化简,进而计算得出答案. 【详解】解:, 故答案为:10. 12. 若二次函数的图象与轴有且只有一个交点,则的值为 __. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知,方程只有一个实数根,再根据一元二次方程根的判断式,即可求出的值. 【详解】解:函数的图象与轴有且只有一个交点, , 解得:, 故答案为:. 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点和一元二次方程关系,一元二次方程根的判别式,解题关键是掌握①,方程有两个不相等的实数根,抛物线与轴有2个交点;②,方程有两个相等的实数根,抛物线与轴有1个交点;③,方程没有实数根,抛物线与轴没有交点. 13. 我国古代数学家赵爽巧妙的用“弦图”证明了勾股定理,标志着中国古代的数学成就,如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若直角三角形的斜边长为10.一条直角边长为8.则小正方形EFGH的边长为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度,然后结合图形求得小正方形的边长. 【详解】解:根据勾股定理,得DE===6. 所以HE=8﹣6=2. 故答案是:2. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度. 14. 如图,在直角坐标系中,正方形的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(,)的图象与正方形的两边分别交于点M、N,轴,垂足为D,连接. (1)四边形面积与面积关系是_________; (2)若,,则点C的坐标为_________. 【答案】 ①. 相等 ②. 【解析】 【分析】(1)利用反比例函数的性质得到与全等,利用,即可求解; (2)过点作于点,如图所示,证得,利用全等三角形对应边相等得到,求出的值,确定出坐标,即可求解. 【详解】解:(1)∵轴,四边形是正方形, ∴,, 又∵, ∴ 设正方形的边长为,则,,,,, ∴,, ∴在中,. 在和中, , ∴, ∴, ∴, ∴, ∴四边形面积与面积相等, 故答案为:相等 (2)过点作于点,如图所示, ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∵,,,, ∴,, ∴, 在和中, ∴, ∴, ∴,即, ∴,即, 解得(舍去负值), ∴点的坐标. 故答案为:. 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及反比例函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15. 解不等式:. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法,熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键; 根据一元一次不等式的解法进行求解即可 【详解】解:去分母得:, 去括号得:, 移项得:, 合并同类项得:, 系数化为1得:. 16. 先化简,再求值:,其中. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把代入进行计算即可. 【详解】解:原式 , 当时,原式. 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出以格点(网格线的交点)为端点的线段及格点O. (1)将线段绕点O顺时针旋转得到线段(点A,B的对应点分别为C,D),请画出线段. (2)以线段为一边,在网格内作出一个周长最大的等腰,点E在格点上. 【答案】(1) 如图,线段即为所求; (2)如图,等腰即为所求. 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质即可将线段绕点O顺时针旋转90°得到线段; (2)根据网格可得,,,此时等腰以线段为一边的周长最大,故可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换,等腰三角形的判定,解决本题的关键是掌握旋转的性质. 18. 观察下列等式: 第1个等式:12=13; 第2个等式:(1+2)2=13+23; 第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33; 第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式: ; (2)写出第n(n为正整数)个等式: (用含n的等式表示); (3)利用上述规律求值:. 【答案】(1)(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53; (2)(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3; (3)265 【解析】 【分析】(1)根据前几个等式的变化规律解答即可; (2)根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可; (3)根据变化规律和平方差公式进行计算即可. 【小问1详解】 解:根据题意,第5个等式为(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53, 故答案为:(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53; 【小问2详解】 解:根据题意,第n个等式为(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3, 故答案为:(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3; 【小问3详解】 解:由(2)中(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3知, (1+2+3+4+5+…+20)2=13+23+33+43+53+…+203①, (1+2+3+4+5+…+10)2=13+23+33+43+53+…+103②, ①-②得: (1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10)×(11+12+13+…+20)=113+123+133+…+203, ∴ =(1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10) =265. 【点睛】本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题,理解题意,正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键. 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19. 学校无人机兴趣小组进行测量活动.如图,甲楼与乙楼之间的距离为72米.无人机升空后,在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和,点距地面的高度为50米.无人机沿水平方向由点飞行40米到达点,测得点的俯角为(结果保留整数).点均在同一竖直平面内.求乙楼的高度.(参考数据:,,.) 【答案】29米 【解析】 【分析】延长,分别交所在直线于点.过点作,垂足为点,设为米,在中,,由可得,在中,,由可得,由可求出的值,最后根据矩形的性质和解直角三角形即可得到答案. 【详解】解:延长,分别交所在直线于点.过点作,垂足为点,设为米, 在中,, ∵, ∴, 在中,, ∵, ∴, ∵, ∴, 解得, ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, 在中,, ∵, ∴, ∵四边形MHDF是矩形, ∴, ∴. 答:乙楼的高度为29米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—俯角仰角问题,掌握俯角仰角的概念,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 20. 如图,内接于,过点C的切线交的延长线于点D,且,连接并延长交于点E. (1)求证:; (2)若,,求的半径. 【答案】(1) 证明:延长交圆于点,连接, , , , , 是的直径, , , 是的切线, , , , , , , ; (2) 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,解决本题的关键是掌握切线的性质. (1)延长交圆于点,连接,根据切线的性质证明,再利用圆周角定理证明,进而可以解决问题; (2)结合(1)根据,,得,证明,可得,利用,求出的长,进而可以求的半径. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:,, , ,,, , , , , , , , 的半径为. 六、(本题满分12分) 21. 综合与实践 【项目背景】 在苹果收获的季节,班级同学前往某苹果种植农场开展综合实践活动,其中一个项目是在外部环境基本相同的条件下,对甲,乙两个品种苹果树的产量进行调查统计,为农场进一步发展提供一些参考. 【数据收集与整理】 按苹果树单棵的产量(单位:斤)从高到低各随机取5棵分别编为号,对它们的产量进行统计,并绘制出条形统计图如下: (1)直接写出统计图中,的值. (2)根据上图中的数据,补充完整下面的苹果树单棵产量统计分析表. 品种 平均数 中位数 众数 甲 85 85 乙 85 80 【数据分析与运用】 (3)哪个品种苹果树的单棵产量更稳定?请通过计算说明理由. (4)该农场准备从以上随机选取的甲、乙两个品种苹果树中取出产量最高的,从中任选两棵进一步分析,求选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的概率. 【答案】(1),. (2)填表如下: 品种 平均数 中位数 众数 甲 85 85 85 乙 85 80 100 (3)甲品种苹果树的单棵产量更稳定,理由如下: ∵; , ∴, ∴甲品种苹果树的单棵产量更稳定; (4) 【解析】 【分析】本题考查条形统计图,求中位数,众数和方差,利用列表法求概率: (1)直接从条形图获取信息,作答即可; (2)根据中位数和众数的计算方法,进行求解即可; (3)求出方差,利用方差判断稳定性即可; (4)利用列表法进行求解即可. 【详解】解:(1)由条形图可知:,. (2)甲品种的5个数据,位于中间的一个是85,故中位数为85; 乙品种,出现次数最多的数据为:100,故众数为100; (3)略 (4)由条形图可知,产量最高的为100,其中甲品种1棵,乙品种2棵,用表示甲品种,表示乙品种,列表如下: , , , , , , 共6种等可能的结果,其中选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的结果有4种, ∴. 七、(本题满分12分) 22. 如图,在菱形中,为边的中点,连接交延长线于点,平分交于点,连接. (1)如图1,求的大小; (2)如图1,证明:点为线段的三等分点; (3)如图2,连接交于点,若,,求的长. 【答案】(1) (2) 证明:连接分别交、于点、,如图1所示. 四边形是菱形, 垂直平分, 由(1)得,, ∴, , , 为的中点,, ,,, ∴, , 又, ∵,, ,即点为线段的三等分点; (3) 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质. (1)根据菱形的性质得到平分,根据角平分线的定义得到,于是得到结论; (2)连接分别交、于点、,如图1所示.根据菱形的性质得到垂直平分,由(1)得,,求得,根据全等三角形的性质得到,得到,于是得到点为线段的三等分点; (3)连接交于点,连接,如图2所示.根据菱形的性质得到垂直平分,根据相似三角形的性质得到,设,则,根据勾股定理即可得到结论. 【小问1详解】 解:四边形是菱形, 平分, 平分, , , 即:; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解:连接交于点,连接,如图2所示. 四边形是菱形, 垂直平分, 又为的中点, ∴, , 设,则, 在中,, , 解得(负值舍去), . 八、(本题满分14分) 23. 已知:如图,抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式和直线的函数表达式; (2)若直线轴,在第一象限内与抛物线交于点,与直线交于点,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点与点之间的距离的最大值或最小值,以及此时点,的坐标. 【答案】(1)抛物线的函数表达式是;直线AB的函数表达式是 (2)点与点之间的距离有最大值,此时点坐标为,点的坐标为. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用待定系数法求得两函数解析式是解题的关键. (1)由、的坐标,利用待定系数法即可求得函数解析式; (2)设点的横坐标为,则可分别表示出、的纵坐标,从而表示出的长,利用二次函数的性质可求得其最大值,及此时的点、的坐标. 【小问1详解】 解:抛物线经过点和点, ,解得, 抛物线的函数表达式是; 设直线, 根据题意得,解得, 直线的函数表达式是; 【小问2详解】 解:如图,设点横坐标为,则点的坐标为,点的坐标是, 又点,在第一象限, , 又, 当时,有最大值,最大值为, 即点与点之间的距离有最大值, 此时点坐标为,点的坐标为. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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