内容正文:
2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分,请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
3.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的)
1. -6的绝对值的相反数是( )
A. B. 6 C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示,该几何体是( )
A. B. C. D.
4. 广东新闻2024年12月28日消息,据深圳地铁日前通报,深圳地铁开通20年累计运送乘客超206亿人次,线网建设密度、客运强度、通勤便捷性、智慧出行等指标位居中国内地城市第一.其中“206亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 如图,直线与正五边形的边,分别相交于点,,则( )
A. B. C. D.
6. 王老师要选择两名同学担任九年级毕业典礼主持人.现有2名男同学和3名女同学候选,那么王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率为( )
A. B. C. D.
7. 如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是( )
A. 2 B. C. 2 D.
8. 如图,点为边延长线上一点,连接,,,且,若,点是线段上的动点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
9. 已知非负实数满足,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
10. 在凸四边形中,,,点在线段(不与端点重合)上,且,连接,.则下列结论错误的是( )
A. B. 若,则
C. D. 若,则
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分 20分)
11. 计算:___________.
12. 若二次函数的图象与轴有且只有一个交点,则的值为 __.
13. 我国古代数学家赵爽巧妙的用“弦图”证明了勾股定理,标志着中国古代的数学成就,如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若直角三角形的斜边长为10.一条直角边长为8.则小正方形EFGH的边长为_______.
14. 如图,在直角坐标系中,正方形的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(,)的图象与正方形的两边分别交于点M、N,轴,垂足为D,连接.
(1)四边形面积与面积关系是_________;
(2)若,,则点C的坐标为_________.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 解不等式:.
16. 先化简,再求值:,其中.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出以格点(网格线的交点)为端点的线段及格点O.
(1)将线段绕点O顺时针旋转得到线段(点A,B的对应点分别为C,D),请画出线段.
(2)以线段为一边,在网格内作出一个周长最大的等腰,点E在格点上.
18. 观察下列等式:
第1个等式:12=13;
第2个等式:(1+2)2=13+23;
第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33;
第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出第n(n为正整数)个等式: (用含n的等式表示);
(3)利用上述规律求值:.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 学校无人机兴趣小组进行测量活动.如图,甲楼与乙楼之间的距离为72米.无人机升空后,在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和,点距地面的高度为50米.无人机沿水平方向由点飞行40米到达点,测得点的俯角为(结果保留整数).点均在同一竖直平面内.求乙楼的高度.(参考数据:,,.)
20. 如图,内接于,过点C的切线交的延长线于点D,且,连接并延长交于点E.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
六、(本题满分12分)
21. 综合与实践
【项目背景】
在苹果收获的季节,班级同学前往某苹果种植农场开展综合实践活动,其中一个项目是在外部环境基本相同的条件下,对甲,乙两个品种苹果树的产量进行调查统计,为农场进一步发展提供一些参考.
【数据收集与整理】
按苹果树单棵的产量(单位:斤)从高到低各随机取5棵分别编为号,对它们的产量进行统计,并绘制出条形统计图如下:
(1)直接写出统计图中,的值.
(2)根据上图中的数据,补充完整下面的苹果树单棵产量统计分析表.
品种
平均数
中位数
众数
甲
85
85
乙
85
80
【数据分析与运用】
(3)哪个品种苹果树的单棵产量更稳定?请通过计算说明理由.
(4)该农场准备从以上随机选取的甲、乙两个品种苹果树中取出产量最高的,从中任选两棵进一步分析,求选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的概率.
七、(本题满分12分)
22. 如图,在菱形中,为边的中点,连接交延长线于点,平分交于点,连接.
(1)如图1,求的大小;
(2)如图1,证明:点为线段的三等分点;
(3)如图2,连接交于点,若,,求的长.
八、(本题满分14分)
23. 已知:如图,抛物线经过点和点
(1)求该抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;
(2)若直线轴,在第一象限内与抛物线交于点,与直线交于点,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点与点之间的距离的最大值或最小值,以及此时点,的坐标.
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2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分,请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
3.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的)
1. -6的绝对值的相反数是( )
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出-6的绝对值,然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答.
【详解】∵-6的绝对值为6,6的相反数为-6,
∴-6的绝对值的相反数是-6.
故选A.
【点睛】本题考查了绝对值的性质,相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法,多项式除以单项式,积的乘方,掌握合并同类项法则,多项式除以单项式法则,,是解题的关键.
【详解】解:A.,结论错误,故不符合题意;
B.,结论错误,故不符合题意;
C.,结论错误,故不符合题意;
D.,结论正确,故符合题意;
故选:D.
3. 某几何体的三视图如图所示,该几何体是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体.根据三视图逐项判定即可.
【详解】解:由题意知,该几何体分上下两层,上层为圆柱,下层为长方体,故选项A,B,D均不符合题意,则该几何体如下;
故选:C.
4. 广东新闻2024年12月28日消息,据深圳地铁日前通报,深圳地铁开通20年累计运送乘客超206亿人次,线网建设密度、客运强度、通勤便捷性、智慧出行等指标位居中国内地城市第一.其中“206亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大数,解题的关键是掌握科学记数法的形式.
利用科学记数法的定义进行表示即可,注意小数点移动的位数.
【详解】解:206亿,
故选:A.
5. 如图,直线与正五边形的边,分别相交于点,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角,对顶角等知识,根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出,根据四边形内角和是求出,然后根据邻补角定义和对顶角性质求解即可.
【详解】解∶ ∵正五边形,
∴,
∴,
又,,
∴,
∴,
故选:C.
6. 王老师要选择两名同学担任九年级毕业典礼主持人.现有2名男同学和3名女同学候选,那么王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求概率.根据题意作出树状图,结合树状图,即可获得答案.
【详解】解:根据题意可得,作出树状图如下,
由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的结果有12种,
所以,王老师选择一名男同学和一名女同学担任主持人的概率.
故选:C.
7. 如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是( )
A. 2 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由A为直线y=kx﹣3(k≠0)与双曲线y=﹣(x<0)的交点可求得A点坐标与一次函数的解析式,可求得B点坐标,用两点间距离公式可求得AB的长.
【详解】解:A为直线y=kx﹣3(k≠0)与双曲线y=﹣(x<0)的交点,可得A满足双曲线的解析式,可得:,解得:,即A点坐标为(-2,1),
A点再直线上,可得A点满足y=kx﹣3(k≠0),
可得:,解得:k=-2,
一次函数的解析式为:y=-2x﹣3,
B为直线与y轴的交点,可得B点坐标(0,-3),
由A点左边(-2,1),
可得AB的长为=,
故选A.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合,注意求出A、B两点坐标后用距离公式求解.
8. 如图,点为边延长线上一点,连接,,,且,若,点是线段上的动点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,正确的做出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
根据相似三角形的性质得到,得到线段和的长,进而求出与相等,过点作,根据勾股定理得出的长,只有时,的值最小,通过相似三角形对应线段成比例即可得到的最小值.
【详解】解:,
,
,
解得,(负值舍去),
,
,
,
,
,
,
,
,
过点作于点,如图所示,
,
,
,,
,
当时,的值最小,
,
,
,
即,
;
故选A.
9. 已知非负实数满足,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式,完全平方公式,非负数的性质,掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.根据,通过解不等式及完全平方公式的运算进行判断即可.
【详解】由得.
,
又为非负实数,
解得,
又
,
易得
,
A项、B项错误,C项正确.
当时,;
当时,由题可知
,
即.
由得
,
即,
D项错误.
故选:C
10. 在凸四边形中,,,点在线段(不与端点重合)上,且,连接,.则下列结论错误的是( )
A. B. 若,则
C. D. 若,则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理,根据题意添加合适的辅助线是解题关键.
A、证得,可推得,即可求解;
B、通过题意进行等量代换即可求解;
C、延长,作于点,证得四边形是矩形,结合直角三角形的斜边与两条直角边的关系即可求解;
D、结合C选项和勾股定理即可求解.
【详解】解:A、根据题意,如图所示:
在和中,
,
,
,
,
,
,
,故A选项正确,但不符合题意;
B、,,
,
,
,
,故B选项正确,但不符合题意;
C、如图,延长,作于点,
,
四边形是矩形,
,
是的斜边,
,
,
,故C选项正确,但不符合题意;
D、由C选项得:,
在中,,
无法判断和的大小,故D选项错误,但符合题意.
故选:D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分 20分)
11. 计算:___________.
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂,零指数幂,直接利用负整数指数幂和零指数幂的性质化简,进而计算得出答案.
【详解】解:,
故答案为:10.
12. 若二次函数的图象与轴有且只有一个交点,则的值为 __.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可知,方程只有一个实数根,再根据一元二次方程根的判断式,即可求出的值.
【详解】解:函数的图象与轴有且只有一个交点,
,
解得:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点和一元二次方程关系,一元二次方程根的判别式,解题关键是掌握①,方程有两个不相等的实数根,抛物线与轴有2个交点;②,方程有两个相等的实数根,抛物线与轴有1个交点;③,方程没有实数根,抛物线与轴没有交点.
13. 我国古代数学家赵爽巧妙的用“弦图”证明了勾股定理,标志着中国古代的数学成就,如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若直角三角形的斜边长为10.一条直角边长为8.则小正方形EFGH的边长为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度,然后结合图形求得小正方形的边长.
【详解】解:根据勾股定理,得DE===6.
所以HE=8﹣6=2.
故答案是:2.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度.
14. 如图,在直角坐标系中,正方形的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(,)的图象与正方形的两边分别交于点M、N,轴,垂足为D,连接.
(1)四边形面积与面积关系是_________;
(2)若,,则点C的坐标为_________.
【答案】 ①. 相等 ②.
【解析】
【分析】(1)利用反比例函数的性质得到与全等,利用,即可求解;
(2)过点作于点,如图所示,证得,利用全等三角形对应边相等得到,求出的值,确定出坐标,即可求解.
【详解】解:(1)∵轴,四边形是正方形,
∴,,
又∵,
∴
设正方形的边长为,则,,,,,
∴,,
∴在中,.
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形面积与面积相等,
故答案为:相等
(2)过点作于点,如图所示,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,,,,
∴,,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∴,即,
∴,即,
解得(舍去负值),
∴点的坐标.
故答案为:.
【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及反比例函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 解不等式:.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的解法,熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键;
根据一元一次不等式的解法进行求解即可
【详解】解:去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:.
16. 先化简,再求值:,其中.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把代入进行计算即可.
【详解】解:原式
,
当时,原式.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出以格点(网格线的交点)为端点的线段及格点O.
(1)将线段绕点O顺时针旋转得到线段(点A,B的对应点分别为C,D),请画出线段.
(2)以线段为一边,在网格内作出一个周长最大的等腰,点E在格点上.
【答案】(1)
如图,线段即为所求;
(2)如图,等腰即为所求.
【解析】
【分析】(1)根据旋转的性质即可将线段绕点O顺时针旋转90°得到线段;
(2)根据网格可得,,,此时等腰以线段为一边的周长最大,故可得解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换,等腰三角形的判定,解决本题的关键是掌握旋转的性质.
18. 观察下列等式:
第1个等式:12=13;
第2个等式:(1+2)2=13+23;
第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33;
第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出第n(n为正整数)个等式: (用含n的等式表示);
(3)利用上述规律求值:.
【答案】(1)(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53;
(2)(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3;
(3)265
【解析】
【分析】(1)根据前几个等式的变化规律解答即可;
(2)根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可;
(3)根据变化规律和平方差公式进行计算即可.
【小问1详解】
解:根据题意,第5个等式为(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53,
故答案为:(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53;
【小问2详解】
解:根据题意,第n个等式为(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3,
故答案为:(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3;
【小问3详解】
解:由(2)中(1+2+3+4+5+…+n)2=13+23+33+43+53+…+n3知,
(1+2+3+4+5+…+20)2=13+23+33+43+53+…+203①,
(1+2+3+4+5+…+10)2=13+23+33+43+53+…+103②,
①-②得:
(1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10)×(11+12+13+…+20)=113+123+133+…+203,
∴
=(1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10)
=265.
【点睛】本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题,理解题意,正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 学校无人机兴趣小组进行测量活动.如图,甲楼与乙楼之间的距离为72米.无人机升空后,在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和,点距地面的高度为50米.无人机沿水平方向由点飞行40米到达点,测得点的俯角为(结果保留整数).点均在同一竖直平面内.求乙楼的高度.(参考数据:,,.)
【答案】29米
【解析】
【分析】延长,分别交所在直线于点.过点作,垂足为点,设为米,在中,,由可得,在中,,由可得,由可求出的值,最后根据矩形的性质和解直角三角形即可得到答案.
【详解】解:延长,分别交所在直线于点.过点作,垂足为点,设为米,
在中,,
∵,
∴,
在中,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
在中,,
∵,
∴,
∵四边形MHDF是矩形,
∴,
∴.
答:乙楼的高度为29米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—俯角仰角问题,掌握俯角仰角的概念,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
20. 如图,内接于,过点C的切线交的延长线于点D,且,连接并延长交于点E.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)
证明:延长交圆于点,连接,
,
,
,
,
是的直径,
,
,
是的切线,
,
,
,
,
,
,
;
(2)
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,解决本题的关键是掌握切线的性质.
(1)延长交圆于点,连接,根据切线的性质证明,再利用圆周角定理证明,进而可以解决问题;
(2)结合(1)根据,,得,证明,可得,利用,求出的长,进而可以求的半径.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:,,
,
,,,
,
,
,
,
,
,
,
的半径为.
六、(本题满分12分)
21. 综合与实践
【项目背景】
在苹果收获的季节,班级同学前往某苹果种植农场开展综合实践活动,其中一个项目是在外部环境基本相同的条件下,对甲,乙两个品种苹果树的产量进行调查统计,为农场进一步发展提供一些参考.
【数据收集与整理】
按苹果树单棵的产量(单位:斤)从高到低各随机取5棵分别编为号,对它们的产量进行统计,并绘制出条形统计图如下:
(1)直接写出统计图中,的值.
(2)根据上图中的数据,补充完整下面的苹果树单棵产量统计分析表.
品种
平均数
中位数
众数
甲
85
85
乙
85
80
【数据分析与运用】
(3)哪个品种苹果树的单棵产量更稳定?请通过计算说明理由.
(4)该农场准备从以上随机选取的甲、乙两个品种苹果树中取出产量最高的,从中任选两棵进一步分析,求选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的概率.
【答案】(1),.
(2)填表如下:
品种
平均数
中位数
众数
甲
85
85
85
乙
85
80
100
(3)甲品种苹果树的单棵产量更稳定,理由如下:
∵;
,
∴,
∴甲品种苹果树的单棵产量更稳定;
(4)
【解析】
【分析】本题考查条形统计图,求中位数,众数和方差,利用列表法求概率:
(1)直接从条形图获取信息,作答即可;
(2)根据中位数和众数的计算方法,进行求解即可;
(3)求出方差,利用方差判断稳定性即可;
(4)利用列表法进行求解即可.
【详解】解:(1)由条形图可知:,.
(2)甲品种的5个数据,位于中间的一个是85,故中位数为85;
乙品种,出现次数最多的数据为:100,故众数为100;
(3)略
(4)由条形图可知,产量最高的为100,其中甲品种1棵,乙品种2棵,用表示甲品种,表示乙品种,列表如下:
,
,
,
,
,
,
共6种等可能的结果,其中选取的两棵苹果树分别来自与不同品种的结果有4种,
∴.
七、(本题满分12分)
22. 如图,在菱形中,为边的中点,连接交延长线于点,平分交于点,连接.
(1)如图1,求的大小;
(2)如图1,证明:点为线段的三等分点;
(3)如图2,连接交于点,若,,求的长.
【答案】(1)
(2)
证明:连接分别交、于点、,如图1所示.
四边形是菱形,
垂直平分,
由(1)得,,
∴,
,
,
为的中点,,
,,,
∴,
,
又,
∵,,
,即点为线段的三等分点;
(3)
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质.
(1)根据菱形的性质得到平分,根据角平分线的定义得到,于是得到结论;
(2)连接分别交、于点、,如图1所示.根据菱形的性质得到垂直平分,由(1)得,,求得,根据全等三角形的性质得到,得到,于是得到点为线段的三等分点;
(3)连接交于点,连接,如图2所示.根据菱形的性质得到垂直平分,根据相似三角形的性质得到,设,则,根据勾股定理即可得到结论.
【小问1详解】
解:四边形是菱形,
平分,
平分,
,
,
即:;
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解:连接交于点,连接,如图2所示.
四边形是菱形,
垂直平分,
又为的中点,
∴,
,
设,则,
在中,,
,
解得(负值舍去),
.
八、(本题满分14分)
23. 已知:如图,抛物线经过点和点
(1)求该抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;
(2)若直线轴,在第一象限内与抛物线交于点,与直线交于点,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点与点之间的距离的最大值或最小值,以及此时点,的坐标.
【答案】(1)抛物线的函数表达式是;直线AB的函数表达式是
(2)点与点之间的距离有最大值,此时点坐标为,点的坐标为.
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用待定系数法求得两函数解析式是解题的关键.
(1)由、的坐标,利用待定系数法即可求得函数解析式;
(2)设点的横坐标为,则可分别表示出、的纵坐标,从而表示出的长,利用二次函数的性质可求得其最大值,及此时的点、的坐标.
【小问1详解】
解:抛物线经过点和点,
,解得,
抛物线的函数表达式是;
设直线,
根据题意得,解得,
直线的函数表达式是;
【小问2详解】
解:如图,设点横坐标为,则点的坐标为,点的坐标是,
又点,在第一象限,
,
又,
当时,有最大值,最大值为,
即点与点之间的距离有最大值,
此时点坐标为,点的坐标为.
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