专题01 数据的集中趋势和离散程度17类题型（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题01 数据的集中趋势和离散程度17类题型 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一：求一组数据的平均数（常考点） 1 题型二：已知平均数求未知数据的值（重点） 3 题型三：利用已知的平均数求相关数据的平均数（重点） 3 题型四：利用平均数做决策求加权平均数（难点） 3 题型五：利用加权平均数求未知数据的值 4 题型六：运用加权平均数做决策 6 题型七：出错情况下的平均数问题 7 题型八：求中位数 9 题型九：利用中位数求未知数据的值（重点） 10 题型十：运用中位数做决策求众数 11 题型十一：利用众数求未知数据的值 12 题型十二：运用众数做决策（难点） 14 题型十三：求方差（常考点） 15 题型十四：利用方差求未知数据的值（难点） 15 题型十五：根据方差判断稳定性（常考点） 18 题型十六：运用方差做决策（难点） 19 题型十七：已知平均数求未知数据的值（重点） 21 B 综合攻坚 能力跃升 22 题型一：求一组数据的平均数（常考点） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）国家为了更好地了解某一地区居民一年收入情况，向100名群众共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图． 年收入统计 年收入（万元） 1 2 3 4 5 6 被调查人数 5 10 25 12 8   请根据以上信息，回答下列问题： (1)补全统计图和统计表； (2)年收入四万以上的人数占被调查人数的百分比为 ； (3)求被调查的居民平均每人的年收入为多少万元？ 2．（2025·江西萍乡·二模）为开阔数学视野，提高数学素养，小聪和小明决定合买《数学家的故事》和《生活中的数学》这两本数学课外读物，已知《数学家的故事》的单价比《生活中的数学》多元，购买本《生活中的数学》和本《数学家的故事》共需元． (1)求《数学家的故事》和《生活中的数学》两本书的单价． (2)若小聪和小明合买本《数学家的故事》和本《生活中的数学》，求他们购买这两本书平均每人花费的金额． 题型二：已知平均数求未知数据的值（重点） 3．（23-24八年级上·山东威海·期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 4．（2023·北京东城·二模）将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是 ； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是 ． 题型三：利用已知的平均数求相关数据的平均数（重点） 5．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）小英期末考试语文得88分，英语得94分，她想语文、数学、英语三科的平均分不低于93分，数学至少应得 分． 6．（22-23八年级上·山东济宁·期中）已知一组数据：，，，…，的平均数是2，则另一组数据：，，…，的平均数是 ． 题型四：利用平均数做决策求加权平均数（难点） 7．（23-24八年级上·山西忻州·期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）： 项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验 甲 乙 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”； (2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”． 8．某校为选拔一名选手参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按下图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）.下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况： 结合以上信息，回答下列问题： （1）求服装项目在选手考评中的权数； （2）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由. 题型五：利用加权平均数求未知数据的值 9．（2025·福建莆田·三模）4月23日是世界读书日．为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 (1)按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分．你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． (2)组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以上表选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 10．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 题型六：运用加权平均数做决策 11．（20-21八年级下·浙江·期末）学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 12．某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元检测 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 (1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； (2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 题型七：出错情况下的平均数问题 13．（2025·福建泉州·一模）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善．据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查某学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，某市教育局调查小组进行以下的研究： （一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄岁）提供的早餐食品包含：一盒的牛奶、一份的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表： 鸡蛋（每） 牛奶（每） 谷物食品（每） 能量 603 261 1310 蛋白质 25 3 8.1 脂肪 8.6 3.6 4.5 碳水化合物 24 4.5 58.1 （二）调查小组从食堂提供的鸡蛋中抽取了200个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示． （三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国14~17岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示． 能量需要量（千卡/天） 蛋白质摄入量（克/天） 可接受的脂肪含量（克/天） 男 2500 75 女 2000 60 国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占，午餐占，晚餐占，已知1千卡约等于． (1)请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量； (2)根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议． 14．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）某超市招聘收银员一名，对3名申请人进行了三项素质测试，下面是三名候选人的素质测试成绩： 素质测试 测试成绩 小赵 小钱 小孙 计算机 90 65 70 语言 75 55 50 商品知识 35 80 80 公司根据实际需要对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4、3、3，这三人中谁将被录用． 题型八：求中位数 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 16．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 题型九：利用中位数求未知数据的值（重点） 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请你根据调查结果判断三个厂家在广告中分别运用了平均数、众数和中位数的哪一种数据作代表． （2）如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土（取，结果精确到）． 题型十：运用中位数做决策求众数 19．（2024·内蒙古包头·中考真题）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c．本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求出的值； (2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ (3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 20．（2024·河北邯郸·模拟预测）对九年级某班学生进行体育测试，考试结束后，把得到的成绩（均为整数分，满分10分）进行整理，绘制了如图1所示的条形统计图和如图2所示的不完整的扇形统计图． (1)该班的总人数为______，______； (2)直接写出该班学生成绩的众数、中位数，并求出平均数； (3)若该班转来一名新同学，此同学经过补测，把得到的成绩与原来的成绩合并后，发现成绩的中位数变大了，求这名同学的成绩． 题型十一：利用众数求未知数据的值 21．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．数据收集（单位：万元） 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 a 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 b 问题解决： (1)填空：____，____． (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励． (3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 22．甲、乙两校组织参加全市初中生英语口语竞赛，参赛人数相等．比赛成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分)．依统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表∶ 甲校成绩统计表 (1)求甲校成绩统计表中的值，并将图2的统计图补充完整． (2)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请求出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析两个学校成绩． 题型十二：运用众数做决策（难点） 23．（2025·江西南昌·一模）为确保师生“吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监督职责，随机抽取8名教师和40名家长做评委，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行打分（百分制），并对他们的打分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a.教师打分：82    85    88    90    90    90    91    96 b.家长打分的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c.评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 89 90 m 家长评委 91 n 91 根据以上信息，回答下列问题： (1)①m的值为 ，n的值位于家长打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为x，则x 89（填“”“”或“”）. (2)新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多的了解，该校再组织这8名教师和40名家长考察乙配餐公司，并按教师打分（平均数）占，家长打分（平均数）占，确定配餐公司的最终得分，通过计算，甲配餐公司的最终得分为90.2分. ①求k的值； ②若教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均数分别为91分，89分，求乙配餐公司的最终得分，只比较两家配餐公司的最终得分，学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？ 24．（23-24八年级上·广东梅州·期末）某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲 1 6 12 11 15 5 乙 3 5 15 3 13 11 请根据表格提供的信息回答下列问题： (1)甲班众数为 ，乙班众数为 ； (2)甲班的中位数是 ，乙班的中位数是 ； (3)若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，则甲班的优秀率为 ，乙班的优秀率为 ； (4)从 看，你认为成绩较好的是 班． 题型十三：求方差（常考点） 25．（2022·贵州黔东南·模拟预测）五个正整数，中位数是，众数是，则这五个正整数的平均数是 ． 26．（20-21九年级上·河北·阶段练习）一组数据1，2，2，，4，4的众数是2，则 ． 题型十四：利用方差求未知数据的值（难点） 27．（24-25八年级上·山东泰安·期中）为了加强社区居民对反诈知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“反诈”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析、过程如下：收集数据： 甲小区 80 85 75 95 100 80 80 90 95 75 乙小区 90 75 80 90 80 85 95 90 100 90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 5 2 3 乙小区 a 5 2 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 b c 乙小区 90 90 (1)求、、、的值； (2)根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“反诈”专项知识掌握更好？说明理由． 28．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，） 种类 1 2 3 4 5 6 7 8 1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215 1.174 1.171 1.172 1.175 1.168 1.167 1.167 1.166 【实践探究】分析数据如下： 种类 平均数 中位数 众数 1.213 m 1.212 1.170 1.170 n 【问题解决】 （1）上述表格中，______，______． （2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由． （3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由． 题型十五：根据方差判断稳定性（常考点） 29．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______，______； (2)该校九年级学生共有900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 30．（2022·山东德州·中考真题）某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是 题型十六：运用方差做决策（难点） 31．（22-23八年级下·福建厦门·期末）已知一组数据4，4，4，x的方差为0，则这组数据的平均数为 ． 32．（22-23八年级下·福建莆田·期末）帆帆计算数据方差时，使用公式，则公式中 ． 33．（2025·江西抚州·一模）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图； 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩；其中三个得分分别是； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下： 选手/统计量 甲 乙 丙 平均数 m 9.0 8.9 中位数 9.2     9.0 n 方差 0.124 0.180 a 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：_______，_______，_______； (2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥得更好些（填“甲”或“丙”）； (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）我校举行八年级汉字听写大赛，每班各派五名同学参加（满分为100分）．其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如图所示： (1)根据条形统计图完成表格 平均数 中位数 众数 八（1）班 83 90 八（2）班 85 (2) 已知八（1）班参赛选手成绩的方差为56分2，请计算八（2）班参赛选手成绩的方差，并分析哪一个班级的成绩比较稳定． 题型十七：已知平均数求未知数据的值（重点） 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）琪琪爸爸决定在周六下午预约一所乒乓球俱乐部打乒乓球，现有两所俱乐部适合，琪琪收集了这两所俱乐部过去10周周六下午的预约人数： 俱乐部： 俱乐部： (1) 俱乐部 平均数 众数 中位数 方差 43.3 ② ③ 58.01 ① 25 47.5 354.04 (2)根据上述材料分析，琪琪爸爸应该预约哪所俱乐部？请说明你的理由． 36．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（    ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 2．（2024·山东滨州·模拟预测）某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（   ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·北京房山·期末）为传承发展中国优秀语言文化，厚植青少年家国情怀，某校开展了“诵读中国”经典诵读大赛．校学生会随机对该校20名同学一周内诵读中华经典的时间进行了调查，统计如下： 诵读时间/分钟 35 40 a 50 人数/人 4 6 7 3 若20名同学诵读时间的众数为45，则a为 ，中位数为 ． 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）甲、乙、丙、丁四名同学数学测验成绩分别为90分，90分，分，80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是 分． 6．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）设的平均数为，的平均数为，又的平均数为，若，则与大小关系 ． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）为了了解某小区青年对“高铁”、“扫码支付”、“网购”和“共享单车”新四大发明的喜爱程度，随机调查该小区一部分青年（每名青年只能选一个），并将调查结果制成如图所示扇形与条形统计图． (1)______； (2)求调查该小区青年中喜爱网购的人数，并补充完整条形统计图； (3)已知被调查喜爱“共享单车”的青年人，一周内使用共享单车的次数分别为：1，3，5，12，，若整数是这组数据的中位数，直接写出该组数据的平均数． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）高校航模比赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了各所高校学子报名参加，甲、乙两个学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩（单位：分，满分100分）如图所示． (1)根据条形统计图内容，补全下列表格内容． 平均数 中位数 众数 方差 甲学校 85 ______ 85 70 乙学校 ______ 80 ______ 160 (2)根据两个学校飞机航模五次成绩的平均数和中位数，简要分析哪个学校的飞机航模的成绩更好一些． (3)若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则______学校胜出比赛．（填“甲”或“乙”） 9．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 10．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数据的集中趋势和离散程度17类题型 目录 A 题型建模 专项突破 1 题型一：求一组数据的平均数（常考点） 1 题型二：已知平均数求未知数据的值（重点） 3 题型三：利用已知的平均数求相关数据的平均数（重点） 4 题型四：利用平均数做决策求加权平均数（难点） 5 题型五：利用加权平均数求未知数据的值 7 题型六：运用加权平均数做决策 9 题型七：出错情况下的平均数问题 11 题型八：求中位数 14 题型九：利用中位数求未知数据的值（重点） 15 题型十：运用中位数做决策求众数 17 题型十一：利用众数求未知数据的值 20 题型十二：运用众数做决策（难点） 22 题型十三：求方差（常考点） 25 题型十四：利用方差求未知数据的值（难点） 26 题型十五：根据方差判断稳定性（常考点） 29 题型十六：运用方差做决策（难点） 31 题型十七：已知平均数求未知数据的值（重点） 34 B 综合攻坚 能力跃升 37 题型一：求一组数据的平均数（常考点） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）国家为了更好地了解某一地区居民一年收入情况，向100名群众共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图． 年收入统计 年收入（万元） 1 2 3 4 5 6 被调查人数 5 10 25 12 8   请根据以上信息，回答下列问题： (1)补全统计图和统计表； (2)年收入四万以上的人数占被调查人数的百分比为 ； (3)求被调查的居民平均每人的年收入为多少万元？ 【答案】(1)见解析，12，40 (2) (3)万元 【易错点拨】（1）根据频数之和等于样本容量，计算所缺的频数，后完善统计图和统计表即可； （2）根据频数除以样本容量计算即可； （3）根据加权平均数的定义解答即可． 本题考查了频数与样本容量的关系，加权平均数的计算，熟练掌握关系和公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，，补图如下： ． （2）解：根据题意，得， 故答案为：． （3）解：（万元）． 答：被调查的居民平均每人的年收入为万元． 2．（2025·江西萍乡·二模）为开阔数学视野，提高数学素养，小聪和小明决定合买《数学家的故事》和《生活中的数学》这两本数学课外读物，已知《数学家的故事》的单价比《生活中的数学》多元，购买本《生活中的数学》和本《数学家的故事》共需元． (1)求《数学家的故事》和《生活中的数学》两本书的单价． (2)若小聪和小明合买本《数学家的故事》和本《生活中的数学》，求他们购买这两本书平均每人花费的金额． 【答案】(1)《数学家的故事》的单价为元，《生活中的数学》的单价为元； (2)他们购买这两本书平均每人花费的金额为元． 【易错点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． （）设《数学家的故事》的单价为元，《生活中的数学》的单价为元，由题意得，然后解方程组即可； （）由小聪和小明合买本《数学家的故事》和本《生活中的数学》共元，然后计算人均费用即可． 【规范解答】（1）解：设《数学家的故事》的单价为元，《生活中的数学》的单价为元， 由题意得，，解得：， 答：《数学家的故事》的单价为元，《生活中的数学》的单价为元； （2）解：∵《数学家的故事》的单价为元，《生活中的数学》的单价为元， ∴小聪和小明合买本《数学家的故事》和本《生活中的数学》共元， ∴他们购买这两本书平均每人花费的金额为（元）， 答：他们购买这两本书平均每人花费的金额为元． 题型二：已知平均数求未知数据的值（重点） 3．（23-24八年级上·山东威海·期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 【答案】 6 7 【易错点拨】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可． 【规范解答】解：由题意，得： ， 解得：． ∴． 4．（2023·北京东城·二模）将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3． （1）写出一种甲盘中小球的编号是 ； （2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是 ． 【答案】 1号，2号，3号，6号（答案不唯一） 7或5 【易错点拨】（1）根据每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3，列出一种情况即可得出答案； （2）通过设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数）即可得到方程组，进而问题可求解． 【规范解答】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球的平均值为3，且， ∴甲盘中小球的编号可能是：1号，2号，3号，6号； 故答案为1号，2号，3号，6号（答案不唯一）； （2）设甲盘中有x个球，乙盘有y个球，丙盘中有z个球（x、y、z都是不小于4的正整数），由题意得： ， 消去x得：，即， ∴当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时符合题意； 当时，则，此时不符合题意，舍去； ∴乙盘中小球的个数可以是7或5； 故答案为7或5． 【考点剖析】本题主要考查三元一次方程组的应用及平均数，熟练掌握三元一次方程组的应用及平均数是解题的关键． 题型三：利用已知的平均数求相关数据的平均数（重点） 5．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）小英期末考试语文得88分，英语得94分，她想语文、数学、英语三科的平均分不低于93分，数学至少应得 分． 【答案】97 【易错点拨】本题考查计算平均分，根据“平均成绩×科目的数量=总成绩”算出语文、数学、科学三门功课的总成绩，进而用“语文、数学、科学三门功课的总成绩分别减去语文和科学两门功课的成绩即可求出数学成绩． 【规范解答】解：数学至少应得分， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·山东济宁·期中）已知一组数据：，，，…，的平均数是2，则另一组数据：，，…，的平均数是 ． 【答案】4 【易错点拨】根据数据：，，，…，的平均数是2，得出数据，，…，的平均数是，再根据每个数据都减2，即可作答． 【规范解答】解：∵数据，，，…，的平均数是2， ∴数据，，…，的平均数是， ∴数据，，…，的平均数． 故答案为：4． 【考点剖析】本题考查的是算术平均数的求法．一般地设有n个数据，，，…，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化． 题型四：利用平均数做决策求加权平均数（难点） 7．（23-24八年级上·山西忻州·期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）： 项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验 甲 乙 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”； (2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”． 【答案】(1)乙； (2)甲． 【易错点拨】（）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； （）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； 本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，掌握算术平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：甲的平均分为， 乙的平均分为， ∵， ∴乙将成为“小青荷”； （2）解：甲的平均分为， 乙的平均分为， ∵， ∴甲将成为“小青荷”． 8．某校为选拔一名选手参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按下图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）.下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况： 结合以上信息，回答下列问题： （1）求服装项目在选手考评中的权数； （2）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽江门，我为侨乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由. 【答案】(1)10%;(2)见解析. 【易错点拨】（1）所有项目所占的总权数为100%，从100%中减去其它几个项目的权数即可， （2）计算李明、张华的总成绩，即加权平均数后，比较得出答案． 【规范解答】解：（1）服装权数是 （2）选择李明参加比赛 理由如下： 李明的总成绩 张华的总成绩 选择李明参加比赛. 【考点剖析】考查加权平均数的意义及计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是解决问题的关键． 题型五：利用加权平均数求未知数据的值 9．（2025·福建莆田·三模）4月23日是世界读书日．为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 (1)按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分．你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． (2)组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以上表选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 【答案】(1)方案二更合理，见解析 (2)见解析 【易错点拨】本题考查了求平均数、加权平均数，熟练掌握计算公式是解此题的关键． （1）根据平均数的计算公式分别计算即可； （2）根据题意设计方案专业老师1至4号评委的平均分占， 优秀学生5至10号评委去掉一个最高分和一个最低分后的平均分占比例，再由加权平均数的计算公式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：方案一小涛的最后得分（分）， 方案二小涛的最后得分：（分）， 方案二更合理，理由：因为平均数受极端值的影响较大，所以去掉极端值的平均数更接近实际水平． （2）解：由题意可得： 设计方案：专业老师1至4号评委的平均分占， 优秀学生5至10号评委去掉一个最高分和一个最低分后的平均分占比例， 最终得分为：（分）， 理由是：突出专业老师权威性，同时适当考虑学生评委意见并减少极端值影响． 10．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【易错点拨】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 题型六：运用加权平均数做决策 11．（20-21八年级下·浙江·期末）学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 【答案】（1）89分；（2）86；（3）见解析 【易错点拨】（1）根据平均数的计算公式直接进行计算即可； （2）根据丙的综合成绩为87.6分列出方程，然后求解即可； （3）根据加权平均数的计算公式分别求出其余三名候选人的综合成绩，比较即可． 【规范解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的平均数是：（88+92+90+86）÷4=89（分）； （2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6， 解得，x=86， 则表中x的值为86分； 故答案为：86分； （3）因为甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分）， 乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分）， 丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分）， 所以以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙． 【考点剖析】本题考查的是中位数、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键． 12．某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元检测 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 (1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； (2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】(1)80分 (2)小王在期末应该至少考85分才能达到优秀 【易错点拨】本题主要考查了平均数、加权平均数、解分式方程等知识点，掌握平均数、加权平均数的定义成为解题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）先根据小张期末评价成绩及小张三项成绩求出期末考试成绩的权重．根据加权平均数列一元一次不等式求解即可． 【规范解答】（1）解:小张的期末评价成绩． 答：小张的期末评价成绩是80分． （2）解：由题意可得：，解得：， 经检查，是所列方程的解． 设小王期末考试分数为x，依题意得： ， 解得：． 答：小王在期末应该至少考85分才能达到优秀． 题型七：出错情况下的平均数问题 13．（2025·福建泉州·一模）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善．据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查某学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，某市教育局调查小组进行以下的研究： （一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄岁）提供的早餐食品包含：一盒的牛奶、一份的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表： 鸡蛋（每） 牛奶（每） 谷物食品（每） 能量 603 261 1310 蛋白质 25 3 8.1 脂肪 8.6 3.6 4.5 碳水化合物 24 4.5 58.1 （二）调查小组从食堂提供的鸡蛋中抽取了200个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示． （三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国14~17岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示． 能量需要量（千卡/天） 蛋白质摄入量（克/天） 可接受的脂肪含量（克/天） 男 2500 75 女 2000 60 国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占，午餐占，晚餐占，已知1千卡约等于． (1)请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量； (2)根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议． 【答案】(1)学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克 (2)不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议见解析 【易错点拨】本题考查的是频数分布直方图和加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知：鸡蛋的单个平均质量，计算即可； （2）不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量． 【规范解答】（1）解：根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知：鸡蛋的单个平均质量为： （克）， 答：学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克． （2）解：根据表1可知，早餐中： 能量：； 蛋白质； 脂肪：； 其中，能量：（千卡）， 将表（三）中的表格数据乘，可得早餐区间： 男：能量为；蛋白质为；脂肪为； 女：能量为；蛋白质为；脂肪为； 对比数据可得：对于男生来说，能量摄入过低；对于初二学生来说，蛋白质摄入过高， ∴不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求； 建议是：适当减低少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量， 答：不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量． 14．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）某超市招聘收银员一名，对3名申请人进行了三项素质测试，下面是三名候选人的素质测试成绩： 素质测试 测试成绩 小赵 小钱 小孙 计算机 90 65 70 语言 75 55 50 商品知识 35 80 80 公司根据实际需要对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4、3、3，这三人中谁将被录用． 【答案】小赵被录用 【易错点拨】本题考查加权平均数，根据表格中数据分别算出三人各自的加权平均数，并进行比较，即可解题． 【规范解答】解：根据题意可得： 小赵总成绩为：， 小钱总成绩为：， 小孙总成绩为：， ， 小赵被录用． 题型八：求中位数 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【易错点拨】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【规范解答】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 16．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【易错点拨】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【规范解答】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 题型九：利用中位数求未知数据的值（重点） 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（）如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 最高气温 27 32 27 28 29 29 29 则这7天最高气温的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点拨】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得． 【规范解答】解：将这组数据从小到大进行排序为， 则这7天最高气温的中位数是29， 故选：C． 18．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请你根据调查结果判断三个厂家在广告中分别运用了平均数、众数和中位数的哪一种数据作代表． （2）如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土（取，结果精确到）． 【答案】（1）见解析；（2）浇制一节这样的管道约需要的混凝土． 【易错点拨】（1）平均数的求法：用所有数据相加的和除以数据的个数；中位数的求法：将数据按大小顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；据此分别求出每组数据的平均数和中位数即可判断； （2）利用圆柱的体积公式，浇制一节这样的管道需要的混凝土为，然后分解因式，把，，代入计算，把结果精确到即可． 【规范解答】（1）解：对甲分析：出现的次数最多，故运用了众数； 对乙分析：既不是众数，也不是中位数， 平均数，故运用了平均数； 对丙分析：共个数据，最中间的是与，故其中位数是，即运用了中位数． （2）解：由题意得： ， 当，，时， 原式 ． 答：浇制一节这样的管道约需要的混凝土． 【考点剖析】此题考查圆柱体体积，分解因式以及统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义． 题型十：运用中位数做决策求众数 19．（2024·内蒙古包头·中考真题）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c．本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求出的值； (2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ (3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 【答案】(1) (2)乙同学的测试成绩是 (3)见解析 【易错点拨】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率成绩为优秀的人数除以总人数即可求解； （2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解； （3）根据优秀率和平均数的意义说明即可． 【规范解答】（1）解：本次测试的总人数为：（人）， 成绩为优秀的人数为：40人， 则优秀率为：； （2）解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228， 则， 答：乙同学的测试成绩是； （3）解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7， 本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为， ， 从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好； 从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平； 建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数． 20．（2024·河北邯郸·模拟预测）对九年级某班学生进行体育测试，考试结束后，把得到的成绩（均为整数分，满分10分）进行整理，绘制了如图1所示的条形统计图和如图2所示的不完整的扇形统计图． (1)该班的总人数为______，______； (2)直接写出该班学生成绩的众数、中位数，并求出平均数； (3)若该班转来一名新同学，此同学经过补测，把得到的成绩与原来的成绩合并后，发现成绩的中位数变大了，求这名同学的成绩． 【答案】(1)40，10 (2)9，， (3)9分或10分 【易错点拨】本题主要考查了中位数、条形统计图和扇形统计图等知识点，根据条形统计图和扇形统计图得到所需信息是解答本题的关键． （1）将每个得分的人数相加即可求得总人数，求得6分学生所占的百分比即可求得m的值； （2）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解即可； （3）根据中位数的定义求出原来成绩的中位数，进而可得合并成绩后第21名的成绩大于8.5分，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：该班的总人数为； 6分学生所占的百分比为：，即：． 故答案为：40，10． （2）解：这组数据9分出现次数最多，则众数为9； 这组数据的中位数为数据从小到大排列后的第20和第21个数据的平均数8分和9分，中位数为； 这组数据的平均数为：． （3）解：将原来的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第20名和第21名的成绩为8分和9分，中位数为8.5， 该名同学补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数，成绩的中位数变大了，第21名的成绩大于8.5分，则这名同学的成绩为9分或10分． 题型十一：利用众数求未知数据的值 21．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．数据收集（单位：万元） 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 a 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 b 问题解决： (1)填空：____，____． (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励． (3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【答案】(1)4； (2)12 (3)见解析 【易错点拨】本题主要考查了数据与统计，数据的分析与整理，平均数，众数，中位数与频数，熟练掌握上述数据的特征是解题的关键． （1）利用频数和中位数的定义解答即可； （2）利用表格一的信息解答即可； （3）利用中位数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：， 将20个数据按由大到小的顺序排列如下： 位置在中间的两个数为，它们的平均数为， 这组数据的中位数为， ． 故答案为：4；； （2）解：由20个数据可知：不低于7万元的个数为12， 若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有12名员工获得奖励， 故答案为：12； （3）解：由（1）可知：20名员工的销售额的中位数为7.7万元， 名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元， 公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得， 而员工甲的销售额是7.6万元，虽然比平均数万元高，但低于中位数7.7万元， 员工甲不能拿到奖励． 22．甲、乙两校组织参加全市初中生英语口语竞赛，参赛人数相等．比赛成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分)．依统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表∶ 甲校成绩统计表 (1)求甲校成绩统计表中的值，并将图2的统计图补充完整． (2)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请求出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析两个学校成绩． 【答案】(1)，图见解析 (2)平均数为8.3，中位数为7，分析见解析 【易错点拨】本题考查统计图和统计表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）用乙成绩为9分的人数除以所占的比例求出总人数，求出8分的人数补全条形图，根据两校的参赛人数相同，得到甲校参加竞赛的人数，进而求出的值； （2）利用平均数和中位数的公式进行求解，再进行比较即可得出结果． 【规范解答】（1）解：参赛人数为， ∴； 乙校成绩为8分的人数为，补全条形图如图： （2）甲校的平均分为：分； 第10个和第11和数据均为7， ∴中位数为7， ∵乙校的平均分是8.3分，中位数是8分， ∴两个学校的平均数相同，但是甲校的中位数小于乙校的中位数， ∴乙校的成绩要比甲校好． 题型十二：运用众数做决策（难点） 23．（2025·江西南昌·一模）为确保师生“吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监督职责，随机抽取8名教师和40名家长做评委，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行打分（百分制），并对他们的打分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a.教师打分：82    85    88    90    90    90    91    96 b.家长打分的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c.评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 89 90 m 家长评委 91 n 91 根据以上信息，回答下列问题： (1)①m的值为 ，n的值位于家长打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为x，则x 89（填“”“”或“”）. (2)新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多的了解，该校再组织这8名教师和40名家长考察乙配餐公司，并按教师打分（平均数）占，家长打分（平均数）占，确定配餐公司的最终得分，通过计算，甲配餐公司的最终得分为90.2分. ①求k的值； ②若教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均数分别为91分，89分，求乙配餐公司的最终得分，只比较两家配餐公司的最终得分，学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？ 【答案】(1)①90，3；② (2)①；②学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务. 【易错点拨】本题考查频数分布直方图，加权平均数、众数、中位数． （1）①根据众数以及中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义求出其余6名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）①根据加权平均数的意义解答即可； ②根据加权平均数的意义求解即可． 【规范解答】（1）解：①由题意得，教师评委打分中90出现的次数最多，故众数， 40名家长评委打分数据的中位数是第20、21个数的平均数， 故n的值位于家长评委打分数据分组的第3组； 故答案为：90；3； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为： ， 故答案为：； （2）解：①， 解得； ②（分）， ∵， ∴学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务． 24．（23-24八年级上·广东梅州·期末）某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲 1 6 12 11 15 5 乙 3 5 15 3 13 11 请根据表格提供的信息回答下列问题： (1)甲班众数为 ，乙班众数为 ； (2)甲班的中位数是 ，乙班的中位数是 ； (3)若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，则甲班的优秀率为 ，乙班的优秀率为 ； (4)从 看，你认为成绩较好的是 班． 【答案】(1)90，70 (2)80，80 (3)， (4)优秀率，甲 【易错点拨】本题考查了中位数和众数的定义及意义．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． （1）分别找出甲、乙两班出现次数最多的成绩，结合众数的概念即可得到甲、乙两班学生成绩的众数，此时即可解答； （2）求出甲班和乙班学生的人数，并分别将这两班学生的成绩按从小到大的顺序排列，应用中位数的概念求解即可； （3）分别统计出甲乙两班成绩在80分及以上的人数，再根据总人数即可求解； （4）根据优秀率即可求解． 【规范解答】（1）由于甲班得90分的学生人数最多，乙班得70分的学生人数最多， 所以甲班众数为90分，乙班众数为70分， 故答案为：90，70； （2）根据提供的信息可知， 甲班学生的总人数为： （人）， 乙班学生的总人数为： （人）， 分别将甲、乙两班学生的成绩按从小到大的顺序排列， 甲班学生成绩排第25、26名的是80分，故甲班成绩的中位数是80分， 乙班学生成绩排第25、26名的是80分，故乙班成绩的中位数是80分； 故答案为：80，80； （3）甲班的优秀率为， 乙班的优秀率为， 故答案为：，； （4）从优秀率看，甲班的优秀率大于乙班的优秀率，则甲班成绩较好． 故答案为：优秀率，甲． 题型十三：求方差（常考点） 25．（2022·贵州黔东南·模拟预测）五个正整数，中位数是，众数是，则这五个正整数的平均数是 ． 【答案】或或 【易错点拨】首先根据众数与中位数的意义，推出这五个数据，再由平均数的意义得出结果． 【规范解答】解：据题意得，此题有三个数为，，； 又因为一组数据由五个正整数组成， 所以另两个为，或，或，； 所以这五个正整数的平均数是， 或， 或． 故答案为：或或． 【考点剖析】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时要注意理解题意，要细心，不要漏解．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中出现次数最多的数． 26．（20-21九年级上·河北·阶段练习）一组数据1，2，2，，4，4的众数是2，则 ． 【答案】2 【易错点拨】根据众数的定义直接求解即可． 【规范解答】解：∵数据1，2，2，x，4，4的众数是2， ∴x=2； 故答案为：2． 【考点剖析】本题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现了次数最多的数． 题型十四：利用方差求未知数据的值（难点） 27．（24-25八年级上·山东泰安·期中）为了加强社区居民对反诈知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“反诈”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析、过程如下：收集数据： 甲小区 80 85 75 95 100 80 80 90 95 75 乙小区 90 75 80 90 80 85 95 90 100 90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 5 2 3 乙小区 a 5 2 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 b c 乙小区 90 90 (1)求、、、的值； (2)根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“反诈”专项知识掌握更好？说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)乙小区对“反诈”专项知识掌握更好，理由见解析 【易错点拨】（1）找出乙小区中分数在的人数即可求解；根据中位数的定义可求b的值，根据众数的定义即可求出c的值，根据平均数的计算公式可求d的值； （2）比较甲小区、乙小区平均数、中位数、众数，即可得到答案； 【规范解答】（1）解：乙小区中分数在的有75分，80分，80分，共3人， ∴； 将甲小区数据从小到大排列为：75，75，80，80，80，85，90，95，95，100， ∵数据的个数是偶数， ∴中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数， ∴中位数； ∵甲小区数据中出现次数最多的数据是80， ∴众数； 乙小区平均数； （2）解：乙小区对“反诈”专项知识掌握更好．理由如下： 甲、乙小区随机抽取的10名人员中，“反诈”专项知识的答卷成绩中乙的平均分大于甲的平均分，乙的中位数90大于甲的中位数，乙的众数90大于甲的众数80； ∴乙小区对“反诈”专项知识掌握更好； 【考点剖析】本题考查了平均数、众数、中位数和统计表综合运用，掌握中位数、众数和平均数的计算方法是解题关键． 28．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，） 种类 1 2 3 4 5 6 7 8 1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215 1.174 1.171 1.172 1.175 1.168 1.167 1.167 1.166 【实践探究】分析数据如下： 种类 平均数 中位数 众数 1.213 m 1.212 1.170 1.170 n 【问题解决】 （1）上述表格中，______，______． （2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由． （3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由． 【答案】（1），；（2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成，理由见解析；（3）小明同学说法合理，理由见解析 【易错点拨】本题考查了平均数、中位数、众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． （1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据计算烧制前与烧制后的高度比解答即可； （3）根据平均数，中位数，众数解答即可． 【规范解答】（1）解：在中这8个数据中，1.167出现了2次，出现的次数最多，即这组数据的众数是； 中将这8个数据按从小到大的顺序排列，其中第4个数是1.212，第5个数是1.214， ∴这组数据的中位数是． 故答案为：1.213，1.167； （2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成． 理由：因为．而1.175更接近紫沙瓷土烧制前与紫沙瓷土烧制后的高度比，所以这种瓷器更可能由紫沙瓷土烧制而成． （3）小明同学说法合理． 理由：若瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为至，则瓷坯烧制前与烧制后的高度比就约为至，而， 所以此时瓷坏烧制前与烧制后的高度比约为1.205至1.220， 故从白瓷瓷土烧制前与白瓷瓷土烧制后的高度比的平均数，中位数，众数来看，刚好均与之相近，所以小明同学的说法合理． 题型十五：根据方差判断稳定性（常考点） 29．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______，______； (2)该校九年级学生共有900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】(1)，，， (2)108 (3)，九年级更稳定 【易错点拨】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． （1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可； （2）用900乘以满分人数所占的百分比，即可； （3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩， 故答案为：8；8；8． （2）解：人， ∴估计满分有108人； （3）解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定． 30．（2022·山东德州·中考真题）某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是 【答案】C 【易错点拨】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，根据以上定义分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：由数据可得，众数是，故选项错误； 数据由小到大排列为， ∴中位数为，故选项错误； 数据的平均数为，故选项正确； ∴数据的方差为，故选项错误； 故选：． 题型十六：运用方差做决策（难点） 31．（22-23八年级下·福建厦门·期末）已知一组数据4，4，4，x的方差为0，则这组数据的平均数为 ． 【答案】4 【易错点拨】根据方差公式、偶次方的非负性即可得． 【规范解答】解：设这组数据的平均数为， 由题意得：， 由偶次方的非负性得：， 解得， 即这组数据的平均数为4， 故答案为：4． 【考点剖析】本题主要考查了方差，熟记方差公式是解题关键． 32．（22-23八年级下·福建莆田·期末）帆帆计算数据方差时，使用公式，则公式中 ． 【答案】 【易错点拨】根据方差的定义即可求解． 【规范解答】∵， ∴这组数据为：1、2、5、7、9， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了方差的定义，熟练地掌握“方差是各个数据与平均数差的平方的平均数”是解题的关键． 33．（2025·江西抚州·一模）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图； 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩；其中三个得分分别是； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下： 选手/统计量 甲 乙 丙 平均数 m 9.0 8.9 中位数 9.2     9.0 n 方差 0.124 0.180 a 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：_______，_______，_______； (2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥得更好些（填“甲”或“丙”）； (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1) (2)甲 (3)应该推荐甲，理由见解析 【易错点拨】本题考查了统计图的应用，平均数，中位数，方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；（3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【规范解答】（1）解：丙的方差是： 甲的平均数是：， 把丙的成绩这些数从小到大排列为：， 丙的中位数； 故答案为：； （2）解：由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲平均成绩好发挥得更好些．故答案为：甲； （3）解：应该推荐甲，理由如下： 甲、乙的平均数相等，甲的中位数比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，所以应该推荐甲选手． 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）我校举行八年级汉字听写大赛，每班各派五名同学参加（满分为100分）．其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如图所示： (1)根据条形统计图完成表格 平均数 中位数 众数 八（1）班 83 90 八（2）班 85 (2)已知八（1）班参赛选手成绩的方差为56分2，请计算八（2）班参赛选手成绩的方差，并分析哪一个班级的成绩比较稳定． 【答案】(1)85，85，85 (2)70，八（1）班成绩比较稳定 【易错点拨】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义及计算方法，熟练掌握这些统计量的意义和计算方法是解决问题的关键． （1）根据中位数、众数、平均数的意义分别求出，填入表格即可， （2）计算八（2）班的方差，通过比较得出答案． 【规范解答】（1）八（1）班的成绩从大到小排列为70，80，85，90，90，处于第三位的是85，因此中位数为85， 八（2）班平均数为，出现次数最多的数是85， 所以表格中依次填写85，85，85． 平均数 中位数 众数 八（1）班 83 85 90 八（2）班 85 85 85 （2）八（2）班的方差：， ∵， ∴八（1）班成绩比较稳定， 答：八（1）班成绩比较稳定． 题型十七：已知平均数求未知数据的值（重点） 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）琪琪爸爸决定在周六下午预约一所乒乓球俱乐部打乒乓球，现有两所俱乐部适合，琪琪收集了这两所俱乐部过去10周周六下午的预约人数： 俱乐部： 俱乐部： (1) 俱乐部 平均数 众数 中位数 方差 43.3 ② ③ 58.01 ① 25 47.5 354.04 (2)根据上述材料分析，琪琪爸爸应该预约哪所俱乐部？请说明你的理由． 【答案】(1)，48，48 (2)琪琪爸爸应该预约俱乐部A，理由见解析 【易错点拨】（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据方差判断稳定性，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：①； ②数据中出现次数最多的是48，故众数为48； ③数据排序后，排在中间两位的数据为，故中位数为：； 填表如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 A 43.3 48 48 58.01 B 48.4 25 47.5 354.04 （2）琪琪爸爸应该预约俱乐部A，理由如下： 俱乐部A的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的场地进行锻炼． 【考点剖析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 36．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)8，8，8，10 (2)2， (3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【易错点拨】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【规范解答】（1）解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． （2）解：； ． （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（    ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】C 【易错点拨】本题主要考查平均数、方差、中位数和众数，根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：由于17岁和18岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定， 因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：， 所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数． 故选：C． 2．（2024·山东滨州·模拟预测）某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（   ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数 【答案】D 【易错点拨】本题考查了中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法．通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时将这组数据按顺序排列，不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，但影响数据的平均数和方差，即可解题． 【规范解答】解：这组数据中本数为2、3的人数和为：， 则这组数据中出现次数最多的本数为8本，即众数为8，与遮盖的数据无关； 将这组数据按从小到大的顺序排列，第15、16个数据分别为7、7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关； 但影响数据的平均数和方差； 故选：D． 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【易错点拨】根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解． 【规范解答】解：甲：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 而为奇数，不符合条件， 故甲结论正确； 乙：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 为奇数，符合题意， 故乙结论正确； 丙：若是4的倍数，设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 可知为奇数，符合题意， 故丙结论正确； 丁：设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，，，是奇数， 条件③可得，， 得，且m为奇数 ， ，，的平均数为， ，的平均数为， ，，的平均数与，的平均数之和可表示为， 是正整数且为奇数， 是10的倍数， 故丁结论正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查列代数式、奇偶数的定义、解一元一次方程，解题的关键是分别表示出5个符合结论和题干的数，然后利用5个数的特点进行求解． 4．（23-24七年级下·北京房山·期末）为传承发展中国优秀语言文化，厚植青少年家国情怀，某校开展了“诵读中国”经典诵读大赛．校学生会随机对该校20名同学一周内诵读中华经典的时间进行了调查，统计如下： 诵读时间/分钟 35 40 a 50 人数/人 4 6 7 3 若20名同学诵读时间的众数为45，则a为 ，中位数为 ． 【答案】 45 【易错点拨】本题主要考查了求众数和求中位数，把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数，出现最多的数据是众数．根据众数和中位数的定义，即可求解． 【规范解答】解：若20名同学诵读时间的众数为45，由表格可知出现次数最多数据是a，共出现了7次， ∴众数是a，即a为45， 根据题意得：把这20个数据从大到小排列后，位于第10位和第11位分别为40，45， ∴这20名同学这天完成作业时间的中位数是 故答案为：45， 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）甲、乙、丙、丁四名同学数学测验成绩分别为90分，90分，分，80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是 分． 【答案】90 【易错点拨】本题主要考查了众数、中位数、平均数等知识，正确确定的值是解题关键．首先确定这组数据的众数为90，进而根据平均数的定义确定的值，然后根据中位数的定义求解即可． 【规范解答】解：根据题意，四名同学数学测验成绩中出现次数最多的是90分，不少于3次， 故这组数据的众数为90， 因为这组数据的众数与平均数恰好相等， 所以，可有， 解得， 所以，将这组数据按照从小到大的顺序排列，为80，90，90，90，100， 其中排在第3位的是90， 所以，这组数据的中位数是90分． 故答案为：90． 6．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）设的平均数为，的平均数为，又的平均数为，若，则与大小关系 ． 【答案】/ 【易错点拨】本题考查了平均数，有理数的大小比较，由平均数的定义分别求出，再利用作差法即可比较出它们的大小，掌握平均数的定义及作差法是解题的关键． 【规范解答】解：∵的平均数为， ∴， ∵的平均数为， ∴， ∵的平均数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）为了了解某小区青年对“高铁”、“扫码支付”、“网购”和“共享单车”新四大发明的喜爱程度，随机调查该小区一部分青年（每名青年只能选一个），并将调查结果制成如图所示扇形与条形统计图． (1)______； (2)求调查该小区青年中喜爱网购的人数，并补充完整条形统计图； (3)已知被调查喜爱“共享单车”的青年人，一周内使用共享单车的次数分别为：1，3，5，12，，若整数是这组数据的中位数，直接写出该组数据的平均数． 【答案】(1)30 (2)20人，图见解析 (3)当时，该组数据的平均数为；当时，该组数据的平均数为5；当时，该组数据的平均数为 【易错点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数和平均数等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用1减去其他3个节目所占的百分比即可得； （2）先求出调查该小区青年的总人数，再利用调查该小区青年的总人数乘以喜爱网购的人数所占的百分比即可得调查该小区青年中喜爱网购的人数，据此补全条形统计图即可得； （3）先根据中位数的定义可得或或，再利用平均数的公式计算即可得． 【规范解答】（1）解：， 则， 故答案为：30． （2）解：调查该小区青年的总人数为（人）， 则调查该小区青年中喜爱网购的人数为（人）， 则补充完整条形统计图如下： ． （3）解：∵数据1，3，5，12，的中位数是整数， 或或， 当时，这组数据的平均数为； 当时，这组数据的平均数为； 当时，这组数据的平均数为； 综上，当时，该组数据的平均数为；当时，该组数据的平均数为5；当时，该组数据的平均数为． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）高校航模比赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了各所高校学子报名参加，甲、乙两个学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩（单位：分，满分100分）如图所示． (1)根据条形统计图内容，补全下列表格内容． 平均数 中位数 众数 方差 甲学校 85 ______ 85 70 乙学校 ______ 80 ______ 160 (2)根据两个学校飞机航模五次成绩的平均数和中位数，简要分析哪个学校的飞机航模的成绩更好一些． (3)若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则______学校胜出比赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】(1)85，85，100 (2)甲学校成绩较好，分析见解析 (3)甲 【易错点拨】（1）根据平均数、中位数及众数的定义及求解公式直接求解即可得到答案； （2）两个学校成绩的平均数相同，甲学校成绩的中位数高，即可得到答案； （3）比较方差即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题图可知，甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩分别为85，75，80，85，100； 乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩分别70，100，100，75，80； 乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的平均数为； 甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩按从小到大的顺序排列为75，80，85，85，100； 故甲学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的中位数是85； 乙学校设计的飞机模型在一次飞机模型运输比赛中的五次成绩的众数为100； 填表如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲学校 85 85 85 70 乙学校 85 80 100 160 故答案为：85，85，100 （2）解：甲学校成绩较好， 两个学校成绩的平均数相同，甲学校成绩的中位数高， 在平均数相同的情况下，中位数高的甲学校成绩较好； （3）在平均数相同的情况下，甲学校的方差小于乙学校的方差， ∴若成绩更稳定的飞机航模胜出比赛，则甲学校胜出比赛． 故答案为：甲 【考点剖析】本题考查统计综合，涉及平均数、中位数、众数及方差等知识，熟练掌握相关统计量的定义、求法是解决问题的关键． 9．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【易错点拨】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【规范解答】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【考点剖析】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 10．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； 甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值） （2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ； （3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小． 【易错点拨】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案； （2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案； （3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案． 【规范解答】（1）， 因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8 因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9； 故答案为a、b、c的值分别是8、8、9； （2）， ∴甲的方差较小，成绩比较稳定， ∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛； ∵乙的中位数是9，众数也是9， ∴获奖可能性较大， ∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛； （3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8， ∴平均数不变． ∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10， ∴处于中间位置的数为8，9， ∴中位数为 ， ∴中位数变小． 后来的方差为， ∴方差变小． 【考点剖析】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$