专题03 圆中动点与新定义型综合问题（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题03 圆中动点与新定义型综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆中的动点综合问题 1 题型二、圆中的新定义型综合问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆中的动点综合问题 方法总结 1. 动态转化静态：抓住动点运动中的不变量（如半径、定角），确定临界位置（如极值点、特殊点），将动态问题转化为静态图形分析。 2. 几何性质结合：利用圆的切线、垂径定理、圆周角等性质，建立动点与定点的关系，用代数式表示线段长度或角度。 3. 分类讨论情形：按动点运动范围（如优弧/劣弧、圆内/外）分类，避免遗漏特殊位置，结合函数或方程求解最值、轨迹等问题。 1．如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置； (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理； （1）连接，如图，利用勾股定理得，利用垂线段最短得到当时，最小； （2）根据（1）得出、重合进而根据，求出即可． 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 2．如图，正方形内接于，P是上一动点，连接与交于点Q． (1)如图1，连接，则______；若，则点O到的距离的长为______． (2)如图1，若P为的中点，求证：． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)，1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和圆周角定理可求得；根据垂径定理可求得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求解； （2）根据等弧所对的弦相等可证得结论； （3）先根据等边对等角得到，进而利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，由圆周角定理得，利用含30度角的直角三角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴， 故答案为：；1； （2）证明：∵四边形正方形， ∴，则， ∵P为的中点， ∴， ∴，则； （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理、垂径定理、弦和弧的关系、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、三角形的内角和定理等知识，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．如图，在中，是直径上的动点，过点作弦（点在点的左边），过点作弦，垂足为点，连接，已知． (1)求证：． (2)当点在半径上时，且，求的值． (3)连接，若． ①求的长． ②如图，延长至点，使得，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，则，再根据，则，最后根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据，则，设，根据勾股定理，求出，根据垂径定理，则，即可； （3）根据垂径定理，则，根据，则，根据等量代换，则，，求得，根据，则，根据，，求出的值，再根据勾股定理求出，即可； 根据，，则点，点是线段，的中点，根据三角形的中位线定理，则，；根据，，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 连接 ∴在中， ∵为的直径，， ∴， ∴ （3）①连接OE，如图， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴点，点是线段，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴中边上的高等于的长， ∴的面积为：． 题型二、圆中的新定义型综合问题 方法总结 1. 吃透新定义内涵：紧扣题干对新概念的描述（如“圆中某点满足特定距离关系”），结合圆的基本性质（半径、圆心距等），将新定义转化为熟悉的几何条件（如线段相等、角度关系）。 2. 建立几何模型：根据新定义画出图形，标注已知量（半径、定点坐标等），明确动点或图形的约束条件，将问题转化为求轨迹、面积或最值等常规问题。 3. 验证特殊情形：用特殊位置（如圆心、直径端点）检验是否符合新定义，排除错误理解，结合圆的对称性、切线性质等简化计算，确保逻辑严谨。 1．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 2．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3② 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果； （2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证； （3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可； ②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是中的好望角， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴是中的好望角； （3）①∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵是中的好望角， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴为圆的直径， 取的中点，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴， ∴，，， ∴， 设的半径为，则：，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的半径为； ②连接， ∵平分，平分， ∴是的好望角， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴为直径时，最大，此时， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点_______重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为2，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中 ，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或 【分析】（1）当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，则有点A的临界值，由对称性可得点A在y轴左侧时的值取得且，①结合点和的横坐标即可判断；②可求得点A的横坐标的最小值； （2）由题意可得线段和除过点A为不能有交点，当线段除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当线段除点A外不与有交点，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当点C在圆内时，即；②当点C在圆外时，，过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T，证得四边形是矩形，进一步证得，则有，，结合题意可知，则有，，求得，③当与相切时，由和，得点B与点O重合，此时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 当点A在y轴右侧时，过点C作的切线，连接，则，， ∴， 过点A作轴于H，则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得，， 综上所述，且； ①∵点的横坐标为，而， ∴点A不能与点重合， ∵点的横坐标为，而， ∴点A能与点重合， 故答案为：； ②由前面所求可知点A的横坐标的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除点A外不能与有交点， 当线段除点A外不与有交点，且当与相切时， ∴轴，此时， ∵点A的横坐标为2， ∴点C的横坐标为2，即， ∴时，线段除点A外不与有交点， 当点B在处时，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴或（舍去）， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点， 综上所述，可知当时，为的“点A关联三角形”； （3）解：①当点C在圆内时，当时，即， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 如图，过点A作轴于E，过点B作交延长线于D， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点B此时一定在圆外， ∴此时与圆只有一个交点， ∴时，符合题意； ②当点C在圆外时，当时， 如图4， 过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点A在直线上， ∴点A到x，y轴的距离相等是， ∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上， ∴， 当点B在上时，，， ∴， ∴， ③当与相切时，则， ∵， ∴点B与点O重合，此时， ∴， 综上所述，r的取值范围是：或． 一、解答题 1．如图，点C为外接圆上的一动点（点C不在弧上，且不与点B，D重合）， (1)求证：是该外接圆的直径； (2)连接，试探究三者之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若关于直线的对称图形为，连接，直接写出，，三者之间满足的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明是该外接圆的直径，只需要证明是直角即可，又因为，所以需要证明； （2）在延长线上截取，连接，只需要证明是等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点M作于点M，过点A作于点A，与交于点F，证明是等腰三角形后，可得出，，然后再证明可得出，最后根据勾股定理即可得出三者之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是外接圆的直径； （2）解：． 证明：在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：过点M作于点M，过点A作于点A，与交于点F，连接， 由对称性可知：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形． 2．已知的半径为5，B、C是上两定点，点A是上一动点，且． (1)①尺规作图：做的平分线交于点D． ②证明：点D为上一定点； (2)过点D作的平行线交的延长线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①与相切，理由见解析；② 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图法作图即可；②由的平分线交于点D，，可得，结合B、C是上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，根据垂径定理证明，结合，可得，从而可得结论；②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接、，当时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①以点A为圆心，合适的长度为半径画弧，分别交，于两点，再分别以这两点为圆心，合适的长度为半径画弧，交于一点H，连接交于点D． ②证明：连接，，如图： ∵，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴的度数是， ∵B为定点， ∴D为上一定点； （2）解：①与相切，理由如下： 连接，，，如图： ∵的平分线交于点D， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； ②当为直角时，连接交于M，如图： ∵， ∵， ∴，为的直径， ∵的半径为5， ∴，， ∴，由①知，． ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴； 当为直角时，连接，，如图： ∵，， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； 由图可知，当A由运动到（不包括，）时，是锐角三角形， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，垂径定理，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）连接，取的中点G，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则当点F在上时，线段的长最小，连接，过点G作于N，交于点M，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理得到，，，利用勾股定理求得，则结论可求． 【详解】解：（1）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图，    ∵正方形的边长为400，是的直径， ∴，的半径为200， ∴， ∵G是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，100为半径的圆， ∵点G为定点， ∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的最小值是． 即存在符合设计要求且长度最短的长廊，最短长廊的值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，点的轨迹，添加适当的辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 4．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可； （2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关系推出，设，结合，记交于点，得到，，再根据整理，即可得解； ②由①知，，，结合等腰三角形性质，“近似矩形”定义，即可证得结论． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ； ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形性质，正确理解新定义是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点给出如下定义：若点在弦的垂直平分线上，且点关于直线的对称点在上，则称点是弦的“关联点”． (1)直线与交于，两点．写出一个弦的“关联点”的坐标为_______； (2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (3)已知点，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】根据轴对称的性质可知，当“关联点”关于弦的对称点在直线的上方时，“关联点”恰好是原点，当“关联点”关于弦的对称点在直线的下方时，“关联点”的坐标是； 点是弦的“关联点”，根据垂径定理和“关联点”的定义可知弦轴，当点关于弦的对称点是时，利用勾股定理可以求出；当点关于弦的对称点是时，利用勾股定理可以求出； 当点在线段上时，因为的半径，当越小时，的值越大，根据垂线段最小，可以计算出的最小值是，所以的最大值是，根据“关联点”的定义可知，所以，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可得到；点越接近点，的长度越接近，所以可得：点在线段上时，当点与点重合时，可知点 关于弦的对称点的是，从而可求，利用勾股定理求出，根据垂径定理可得；当点与点重合时，可知，所以． 【详解】（1）解：如下图所示，原点关于弦的对称点是在上， 点是弦的“关联点”； 点关于弦的对称点是在上， 点是弦的“关联点”； 综上所述，弦的“关联点”的坐标是或， 故答案为：或； （2）解：由垂径定理可知弦的垂直平分线过圆心， 又点在弦的垂直平分线上， 弦轴， 点关于弦的对称点是或， 如下图所示， 当点关于弦的对称点是时， 直线是， 设点的坐标是， 的半径为， ， 解得：， 点的坐标是或， ； 如下图所示， 当点关于弦的对称点是时， 直线是， 设点的坐标是， 的半径为， ， 解得：， 点的坐标是或， ， 综上所述，的长为或； （3）解：如下图所示，设交于点， 当于点时，设交于点，作线段的垂直平分线交于点、，交于点，连接， 点，， ，， ， ， ， 解得：， ， 点是的中点， ， ， 在中，， ； 当点运动越接近点 ，则越接近， ； 如下图所示，当点运动到点的位置时， ， ， 在中，， ； 如下图所示，当运动到点的位置时， ； ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了垂径定理、轴对称的性质、中点坐标、勾股定理等知识．解决本题的关键是根据垂径定理、轴对称的性质找到边之间的关系，利用中点坐标和勾股定理计算边的长度． 6．综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【答案】 【素材】 【实践探索】证明见解析 【迁移运用】 【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算． 利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标． 【详解】如下图， 设线段与圆弧交于点C，连接，则， 又，所以，， 故答案为：． 【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示． ∵， ∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大． 【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大． 连结， 作，垂足为点M． ∵点A为的切点，为圆的半径， ∴， ∵， ∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形） 由点，点知，，则， ∴，即， 在直角三角形中，， 由矩形对边相等知，， ∴． 7．【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】 （1）①根据类型一的学习，可求得 °； ②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①根据圆周角定理即可求解；②先判断出，进而得到，进而判断出点在上，即可求出答案； （2）由正方形性质可证可得，可得，，由余角的性质可证，由题意可得点的运动路径是以为直径的圆弧，，由弧长公式可求解． 【详解】（1）①是所对的圆心角，而是所对的圆周角，， ， 故答案为：； ②， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点） 如图2，连接交于点，此时最小， ， ， 在中，，， ， ， 最小值为； （2）四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 如图4，连接，交于点， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆弧， 点的运动路径长为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆中动点与新定义型综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆中的动点综合问题 1 题型二、圆中的新定义型综合问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆中的动点综合问题 方法总结 1. 动态转化静态：抓住动点运动中的不变量（如半径、定角），确定临界位置（如极值点、特殊点），将动态问题转化为静态图形分析。 2. 几何性质结合：利用圆的切线、垂径定理、圆周角等性质，建立动点与定点的关系，用代数式表示线段长度或角度。 3. 分类讨论情形：按动点运动范围（如优弧/劣弧、圆内/外）分类，避免遗漏特殊位置，结合函数或方程求解最值、轨迹等问题。 1．如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 2．如图，正方形内接于，P是上一动点，连接与交于点Q． (1)如图1，连接，则______；若，则点O到的距离的长为______． (2)如图1，若P为的中点，求证：． (3)如图2，若，求的值． 3．如图，在中，是直径上的动点，过点作弦（点在点的左边），过点作弦，垂足为点，连接，已知． (1)求证：． (2)当点在半径上时，且，求的值． (3)连接，若． ①求的长． ②如图，延长至点，使得，连接，求的面积． 题型二、圆中的新定义型综合问题 方法总结 1. 吃透新定义内涵：紧扣题干对新概念的描述（如“圆中某点满足特定距离关系”），结合圆的基本性质（半径、圆心距等），将新定义转化为熟悉的几何条件（如线段相等、角度关系）。 2. 建立几何模型：根据新定义画出图形，标注已知量（半径、定点坐标等），明确动点或图形的约束条件，将问题转化为求轨迹、面积或最值等常规问题。 3. 验证特殊情形：用特殊位置（如圆心、直径端点）检验是否符合新定义，排除错误理解，结合圆的对称性、切线性质等简化计算，确保逻辑严谨。 1．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 2．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 3．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点_______重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为2，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中 ，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 一、解答题 1．如图，点C为外接圆上的一动点（点C不在弧上，且不与点B，D重合）， (1)求证：是该外接圆的直径； (2)连接，试探究三者之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若关于直线的对称图形为，连接，直接写出，，三者之间满足的等量关系． 2．已知的半径为5，B、C是上两定点，点A是上一动点，且． (1)①尺规作图：做的平分线交于点D． ②证明：点D为上一定点； (2)过点D作的平行线交的延长线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 3．【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 4．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 5．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点给出如下定义：若点在弦的垂直平分线上，且点关于直线的对称点在上，则称点是弦的“关联点”． (1)直线与交于，两点．写出一个弦的“关联点”的坐标为_______； (2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (3)已知点，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 6．综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 7．【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】 （1）①根据类型一的学习，可求得 °； ②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$