专题10 相似三角形中的动点问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题10 相似三角形中的动点问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 压轴专练 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 例1．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【变式1-1】如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例2．如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【变式2-1】如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【变式2-2】如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 例3．如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【变式3-1】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为 ． 【变式3-2】如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 例4．如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【变式4-1】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论不正确的是（ ） ①在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有4个． ②当时，． ③当时，． ④当时，． A．① B．② C．③ D．④ 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例5．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【变式5-1】如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 【变式5-2】如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 例6．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【变式6-1】【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【变式6-2】（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接，填空： ①的值为_____________    ②的度数为___________            图1                  图2 （2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接，请判断的值及的度数，并说明理由． （3）结论应用：如图2，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 一、单选题 1．如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 2．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 6．如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 7．如图，在矩形中，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交于E，将沿翻折到平面内，使点C恰好落在边上的点F，则长为 ． 8．如图，中，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到点的对应点是点，若点始终在边上，当、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ． 三、解答题 9．已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 10．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）． 若P、Q两点同时移动； (1)当运动几秒时，的面积为． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 11．如图，在矩形中，点E为线段上一个动点，过点E作交线段于点F，，，． (1)求的长； (2)连接交于点G，求的长． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 13．在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； (2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 14．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 15．【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是___________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与的数量关系，并证明． 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，当经过点D时，则矩形的面积是___________．（直填答案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形中的动点问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 压轴专练 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 例1．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 【变式1-1】如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【答案】12或16或21 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， 当时，， 即， 解得：或； 当时，时， 即， 解得：． ∴或16或21． 故答案为：12或16或21． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例2．如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】1或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，折叠的性质，分情况讨论是解题的关键．（1）当点G在菱形对角线上时，由折叠的性质得，证出，得出，从而得到．（2）当点P在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得 ，，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则从而求出，，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：分两种情况：（1）当点G在菱形对角线上时，如图 由折叠的性质得， ∴垂直平分， ∵四边形是菱形， ， 又∵在菱形中，， ∴； （2）当点P在菱形对角线上时，如图 ∵，， ∴， 设， 由折叠的性质得 ，， 又∵在菱形中，， ∴ ，， 即 ，， 又∵ ， 解得或(不符合题意，舍去) ∴， 综上所述，的长为1或 故答案为：1或． 【变式2-1】如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【变式2-2】如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出的长，再分①时，是的中位线，然后求出的长度，再分点在上和在上两种情况列出方程求解即可；②时，利用相似三角形的判定及性质求出，然后分点在上和在上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ①时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是的中位线， ∴（）， ∴点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， ∴（舍去）； ②时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即 ∴（）， 点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， （舍去）， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，难点在于分情况讨论． 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 例3．如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 如图所示，在的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在与垂直的上运动， 当的值最小时，在上，最小值为的长 ∴当时，即时，最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式3-1】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．先求出，，的长度，当，即时，的值最小，证明，根据相似三角形的性质即可求出最小值． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 是的中点， ， 当，即时，的值最小， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 4 【知识点】垂线段最短、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 连接，，，交于，由四边形是正方形，得，，，，，证明，得，点在上，从而根据垂线段最短可得解． 【详解】解：如图，连接，，，交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 当与重合时，，此时最小，最小值， 当与重合时，此时最大，最大值， 故答案为：，． 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 ①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）； ②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）； ③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）； ④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）. 例4．如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 【变式4-1】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-2】如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论不正确的是（ ） ①在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有4个． ②当时，． ③当时，． ④当时，． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由图②可知：当时，点两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动；由点两点的运动速度为，所以可得，利用四边形是矩形可知；当时，且保持不变，说明点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，可得，即点为的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 【详解】解：如图，当点在的垂直平分线上时，为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当时，为等腰三角形，如图： 当时，为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有4个． ∴正确； 过点作于点，如图， 由题意：， 由图②可知：点两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动，如图， ∵点两点的运动速度为1cm/s， cm， ∵四边形是矩形， cm． ∵当s时，cm2， ． ． ∵当时，且保持不变， ∴点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒， cm，即点为的中点． ． ， 为等边三角形． ． 在中， ， ， ． ∴正确； 当时，，如图， 由知：， ． ， ， ． ， ． ， ． ∴正确； 当时，此时点在边上，如图， 此时， ． ∴不正确； 故选：D． 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 ①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成90度，棱长关系固定） ②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周长，高度等于圆柱高度） ③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长） 例5．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式5-1】如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】（）根据正方形的形性质可得，即得，进而由，可得，即可求证； （）①由得，进而可得，得到，再根据线段垂直平分线的性质得，得到，由平行线的性质得，即得到，即可证，即可求证；②由得，即可得，进而由得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点. 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割点等，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式5-2】如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由题意得，，，，再分和两种情况解答即可求解； （）当为等腰三角形时，是轴对称图形，分、、三种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解； （）解：过作于点，交于点，先证明可得，即得，，，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 在中，，，， ∴， 当时，有， 即， 解得； 当时，有， 即， 解得； 综上，若与相似，的值为或； （2）解：当为等腰三角形时，是轴对称图形，分以下三种情况解答： ①当时，有， 解得； ②当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； ③当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或或时，是轴对称图形； （3）解：过作于点，交于点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 例6．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式6-1】【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式6-2】（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接，填空： ①的值为_____________    ②的度数为___________            图1                  图2 （2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接，请判断的值及的度数，并说明理由． （3）结论应用：如图2，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1）①；②．（2）；；理由见解析（3）或． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，，进而证明，由此得到答案． （2）通过证明，得到，，由此得到的度数． （3）通过（2）的条件，在中，利用勾股定理可以得到线段的长． 【详解】解：（1），， ， ， ，且， ， ， ， ． 故答案为：①；②． （2）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． （3）由（2）知： ， ， ， ， ， 在中， ，， ， 即， 解得：或． 一、单选题 1．如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，如图，连接，取的中点，连接，勾股定理求出的长，证明得到斜边上的中线得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵正方形，边长为2， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为． 故选：A． 2．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质； 过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，证明∽，求出，可得，然后证明四边形是矩形，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当是与交点时，， 故的最小值为， 故选：B． 3．如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象得，再由勾股定理得，由中位线的性质得，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，根据对称的性质得，，再由已知得出，进而得，，再得，得，即，进而可得，最后由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵图象右端点的横坐标为， ∴， ∵为矩形， ∴， ∴在中，， ∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 的周长， ∴取最小值时，y最小，即为a， 如图，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即， ∵点E，点P关于对称， ∴，， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 4．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 二、填空题 5．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】1或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 6．如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交于E，将沿翻折到平面内，使点C恰好落在边上的点F，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形和相似三角形的性质和判定，证得三角形的全等和相似是解题的关键．解法一：作于，如图，设，则，利用等角的余角相等得到，则根据相似三角形的判定得到，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明，利用相似比得到，在中，根据勾股定理即可求解． 解法二：过点A作于M，由折叠得，则，，进一步证明，则，，令，则，，，证得为等腰三角形，有，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：解法一：作于，如图，设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即． ∴． ∵沿翻折到位置，使点落到上， ∴，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即． ∴， 在中，∵， ∴，解得，， ∴的长为或1． 解法二：过点A作于M． ∵由翻折得到， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵，AP=AP， ∴， ∴，， 令，则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴或． 故答案为：或1． 8．如图，中，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到点的对应点是点，若点始终在边上，当、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和折叠的性质．设，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，讨论：若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长；若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长． 【详解】解：， ， 设， 沿折叠得到，点的对应点是点， ， 若，， ，， ， ，即， 解得； 若， ，， ， ，即， 解得； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 【答案】最小值为12， 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，此时，四边形周长，四边形周长最小值，利用勾股定理求出的长即可；再证明，得，从而求得，即可求出的长． 【详解】解：作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，如图， 则，，，，， ∴，则最小值为 ， ∵， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小值， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）． 若P、Q两点同时移动； (1)当运动几秒时，的面积为． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)移动3秒时，的面积为 (2)移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）设当移动t秒时，的面积为，则，，，再根据的面积为列二元一次方程求解即可； （2）设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似，然后根据相似三角形的判定定理列比例式求解即可． 【详解】（1）解：设当移动t秒时，的面积为，则，， ， 的面积为， ， ，解得：， ∴移动3秒时，的面积为． （2）解：设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似， ， 或， 或， 解得：或3， 所以移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似． 11．如图，在矩形中，点E为线段上一个动点，过点E作交线段于点F，，，． (1)求的长； (2)连接交于点G，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，结合勾股定理，解答即可． （2）过点E作交于点H，得到，，，解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据题意先求出的面积，再设，，分两种情况①当时和②当时求出点G的坐标即可； （3）当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或，分类求解即可． 【详解】（1）解：由得：，， ∵点， 设直线的解析式为，将点B，C的坐标代入得： ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 设，， 分以下两种情况： ①当时，即， ∴， 解得， ∴； ②当时，即， ∴， 解得， ∴． 综上，点G的坐标为或； （3）解：当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或， 分以下两种情况讨论： 当时，如图， 则且， 即且， ∵D是的中点， 则， 则点； 当时，如图， 则， 则， 过点P作交y轴于点H，则，则点，则点N是的中点， ∵的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 联立和的表达式得：， 则， 即点， ∵点N是的中点， 则由中点坐标公式得：点， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形相似等，熟练掌握分类讨论是关键． 13．在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； (2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 【答案】(1)①；② (2)18， 【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可； ②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答； （2）当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①如图， 过作于H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠得：，，，， 如图， ∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大， 由（1）同理可求， ∴， ∴， ∴的面积为， 即面积的最大值为18． 如图， ∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为． 故答案为：18，． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 14．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 15．【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是___________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与的数量关系，并证明． 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，当经过点D时，则矩形的面积是___________．（直填答案） 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或8 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． （1）根据正方形的性质和等量变换可得，然后证明，然后即可求解； （2）根据矩形的性质和等量变换可得，再通过所给的线段数值得到比例关系，证得：，然后即可求解； （3）设，则，通过三角形相似可得，然后再根据勾股定理求得或，再根据比例关系求得，最后根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由（2）知，， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得：或（负值已舍去）， 经检验，，都是原方程的解， 当时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，矩形的面积是或8， 故答案为：或8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$