专题08 相似三角形实际应用的七大类型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题08 相似三角形实际应用的七大类型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用影长测量物体的高度 题型二、利用平面镜测量物体的高度 题型三、利用标杆测量物体的高度 题型四、利用相似测量宽度或距离 题型五、利用相似测量九章算术问题 题型六、三角形内接矩形问题 题型七、利用相似解决其它实际应用问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用影长测量物体的高度 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用中的高度与影长的关系，过作交于，结合矩形的性质，由影长与高度之间的关系得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， 长的竹竿竖直放置时影长， ， ， 解得， （）， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 【答案】5米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作于点，交于点，则可得，米，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意得：，米，米， ∴， ∵点为光源，与胶片的距离为米， ∴米， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：投影机光源离屏幕大约为5米． 7．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 题型二、利用平面镜测量物体的高度 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A．6m B．8m C．18m D．24m 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解. 因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【详解】由题意可知， ， 即，解得． 故答案选：B. 9．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 10．如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 11．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      【答案】 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】证明：， 故，即， ， ， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又 ， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 12．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为． 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】解：由题意可得：， 则， ∴， 即， 解得：， ∵ ∴， ∵光在镜面反射中的反射角等于入射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形，列出比例式是解题关键． 13．某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 【答案】30米 【分析】此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可；采用乙方案，连接，则，，根据，可得，即可求解；采用丙方案，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：采用甲组方案， 在和中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用乙方案， 如图，连接，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用丙方案， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解． 题型三、利用标杆测量物体的高度 14．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得， 故选：C． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛点与标杆顶端点、旗杆顶端点在同一条直线上，点也在同一条直线上．已知该测量人员眼睛到地面的距离1.6m，标杆高，且，则旗杆的高度为（    ） A．9m B．10.5m C．11.2m D．14m 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用；通过构造相似三角形，相似三角形对应边成比例是解决问题的关键. 【详解】如图，作于点，交于点． 易知四边形和四边形均为矩形， ，即，解得 故选：C. 16．如图，某同学在平地上利用标杆测量一棵大树的高度，移动标杆，使标杆、大树顶端的影子恰好落在地面的同一点A，标杆EC的高为2m，此时测得BC＝3m，CA＝1m，那么树DB的高度是（　　） A．32m B．8m C．6m D．0.125m 【答案】B． 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长． 【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB， ∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°， 在Rt△ACE和Rt△ABD中， ∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°， ∴Rt△ACE∽Rt△ABD， ∴，即， 解得：BD＝8m． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例． 17．（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， ，，，， ，，，， ， 关于x的函数解析式为， 故答案为： 18．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度． 【答案】（11）m． 【分析】利用直角三角形的性质可得DF，CF的长，也就求得了BE，BF的长；由已知可得AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得AB的长． 【详解】解：作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． 则四边形BFDE是矩形， ∴BE＝DF， ∵DC＝6m，∠DCF＝30°， ∴DF＝3m， ∴BE＝DF＝3m， CF3m， ∴ED＝BF＝BC+CF＝（16+3）m． ∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， ∴光线与水平线的夹角相等， 又∵标竿与影长构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角， ∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ∴， 解得AE＝（8）m， ∴AB＝AE+BE＝（11）m． 答：AB的长为（11）m． 【点睛】考查相似三角形的应用．作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键． 题型四、利用相似测量宽度或距离 19．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又 （米）， （米）． 故答案为：5.2． 21．（2024春·安徽安庆·九年级统考期中）如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 米． 【答案】 【分析】根据题意，利用相似三角形的判定定理可得，再由其性质：相似三角形高的比等于相似比进行求解即可得． 【详解】解：如图， ∵北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住， ∴，， ∵， ∴， ， ∵，P到AB的距离即， ∴， 解得：， ∴河宽为36米， 故答案为：36． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 22．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 23．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】米 【分析】延长交的反向延长线于点，由∽求得，再由∽求得，即可解决问题， 【详解】解：延长交的反向延长线于点， 则四边形是矩形， ，， ， ∵， ∽， ， ， ， ，米，米， （米）， ，， ∴， ∽， ， ， ， （米）， 答：河宽是米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造和证明三角形相似是解题的关键． 24．（24-25八年级下·山东泰安·期末）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，某学校数学老师组织部分学生在校园内开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在校园某处，他们发现一训练馆前有一堵围墙，学生们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处照进训练馆地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点D处照进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】围墙的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得：，， ， ， ， ，即， ， ，即， ， 解得：， 围墙的高度为． 题型五、利用相似测量九章算术问题 25．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 26．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于，尺，根据以上条件，可求得井深为多少尺？（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由可得，再根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 27．《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 【答案】C 【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例． 【详解】设小城的边长为x步，根据题意， Rt△CAF∽Rt△CDM， ∴， 即， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长． 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 29．《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 米． 【答案】25 【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米， ∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6， ∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上， ∴AE∥BC， ∴△FDE∽△FCB， ∴， 即：， ∴ED=15， ∴AE=AD+ED=25米， 故答案为：25． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质的实际应用，准确判断出相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 30．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 题型六、三角形内接矩形问题 31．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为， 则， 解得， 所以另一段长为， 因为，所以是第5张． 故选：A． 32．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 33．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 34．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，用的代数式表示 ，由，可得，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得 ． 拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时， ． 【答案】 48 【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设，则，，进行求解即可； 【详解】设，则， ， ∵PN∥BC， ∴， ∴， 即，解得， ∴， 拓展：设，则， ， ∵PN∥BC， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 故答案是：；48；． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键． 35．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 题型七、利用相似解决其它实际应用问题 36．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 37．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 38．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．由题意得：，可得，，进而判定，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 39．小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．设，在中，由勾股定理可得，由已知条件可证得，则有即，解出此时，使反射点沿方向下降后，同理可得，设，，则有即，在中，利用勾股定理可解得，，，由此即可求得点A移动的距离． 【详解】解：设，在中， 由勾股定理可得：， 即， ， 则， 由题意得：， ，， ， 即， ， 如图，反射点沿方向下降后， ，， 同理可知此时， 设，， 则即， ， 在中，， 即， 将代入得：， 解得， 则，， 点A移动的距离为：． 故选：D． 40．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 41．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 42．向阳中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为20cm的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1：3，中间小正方形的边长为4cm． 小芳：如图2，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为1：5． （1）求小明的方案中矩形①的面积． （2）求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】（1）24cm2；（2）96m. 【分析】（1）设矩形①的长为x cm，宽为y cm．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1：3，得到矩形②的长为3x cm，宽为3y cm，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为1：5，且大正方形边长为20cm，得到正方形EFGH的边长为4cm，设BE＝a，AE＝b，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）设矩形①的长为x cm，宽为y cm． ∵矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1：3， ∴矩形②的长为3x cm，宽为3y cm， 由图可知，x+3x﹣4＝20，y+3y+4＝20， 解得 x＝6，y＝4， ∴矩形①的面积为 4×6＝24cm2； （2）∵小正方形与大正方形的相似比为1：5，且大正方形边长为20cm， ∴正方形EFGH的边长为4cm， 设BE＝a，AE＝b， ∴a2+b2＝400，a﹣b＝4， ∴a2+（a﹣4）2＝400， 整理可得（a﹣2）2＝196， 解得 a1＝16a2＝﹣12（ 负数舍去）， ∴b＝12cm， ∴小直角三角形的周长是16+12+20＝48（cm）． ∴每个小三角形的实际周长为0.48×（40÷0.2）＝96（m）． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，进行的性质，正方形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 即小明射击到的点偏离目标点B的长度为0.15米， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 3．（2025·广东深圳·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用；根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：由题意可得，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：B； 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，推出，得到，接着证明是等腰直角三角形，得到，然后代入和，解方程即可算得，最后算得． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， （）， 米，米， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （）， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长. 【详解】解：，， ， ． 根据题意，得尺，尺， 解得， 第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 6． （24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标 杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度 为 ． 【答案】13.5 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 答：旗杆的高为． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】河流的宽度为10米 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质的应用，过点E作，垂足为H，先证，得出，再证得出，求出结论． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ， ， ． ，， ． ， ， ，即 ． 答：河流的宽度为10米． 9．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 【答案】(1)20 (2)灞河支流这段的宽度为200米 【分析】本题考查平均数，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数的定义计算，即可解答； （2）延长交MN于点B，易得分别为的高．由，得到， 可证 ，求出，即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：20． （2）延长交MN于点B，如图． 易得分别为的高． 河两岸互相平行， ， ，                   ，         ， 解得米， 米， 即灞河支流这段的宽度为200米． 10．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【答案】矩形的长为，宽为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作交于点，交于点，用勾股定理求出的长，再证明，从而求出；然后证明，设，则，由矩形的长与宽的比为可知，根据相似列比例式求解即可，判断三角形相似，并列出比例式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点． ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，． ． ． 设，则，由矩形的长与宽的比为可知． ． 解得． ． 答：矩形的长为，宽为． 11．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形实际应用的七大类型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用影长测量物体的高度 题型二、利用平面镜测量物体的高度 题型三、利用标杆测量物体的高度 题型四、利用相似测量宽度或距离 题型五、利用相似测量九章算术问题 题型六、三角形内接矩形问题 题型七、利用相似解决其它实际应用问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用影长测量物体的高度 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 3．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 7．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 题型二、利用平面镜测量物体的高度 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A．6m B．8m C．18m D．24m 9．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 10．如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 11．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      12．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 13．某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 题型三、利用标杆测量物体的高度 14．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛点与标杆顶端点、旗杆顶端点在同一条直线上，点也在同一条直线上．已知该测量人员眼睛到地面的距离1.6m，标杆高，且，则旗杆的高度为（    ） A．9m B．10.5m C．11.2m D．14m 16．如图，某同学在平地上利用标杆测量一棵大树的高度，移动标杆，使标杆、大树顶端的影子恰好落在地面的同一点A，标杆EC的高为2m，此时测得BC＝3m，CA＝1m，那么树DB的高度是（　　） A．32m B．8m C．6m D．0.125m 17．（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 18．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝6m，BC＝16m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度． 题型四、利用相似测量宽度或距离 19．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 21．（2024春·安徽安庆·九年级统考期中）如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 米． 22．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 23．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？ 24．（24-25八年级下·山东泰安·期末）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，某学校数学老师组织部分学生在校园内开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在校园某处，他们发现一训练馆前有一堵围墙，学生们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处照进训练馆地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A 经窗户点D处照进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 题型五、利用相似测量九章算术问题 25．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于，尺，根据以上条件，可求得井深为多少尺？（  ） A． B． C． D． 27．《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 29．《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 米． 30．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 题型六、三角形内接矩形问题 31．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 32．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 33．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 34．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，用的代数式表示 ，由，可得，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得 ． 拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时， ． 35．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 题型七、利用相似解决其它实际应用问题 36．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 37．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 38．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面的宽度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 40．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 41．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 42．向阳中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为20cm的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1：3，中间小正方形的边长为4cm． 小芳：如图2，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为1：5． （1）求小明的方案中矩形①的面积． （2）求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 3．（2025·广东深圳·一模）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为 米． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 6． （24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标 杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度 为 ． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 9．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 10．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 11．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $