专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 类型二、同向双“A”字模型 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 压轴专练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 例1．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 【变式1-1】如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 类型二、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． （1）同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例2．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 例3．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式3-1】如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 【变式3-2】如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式3-3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 例4．如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 【变式4-1】如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 【变式4-2】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 【变式4-3】如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段． 证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 2．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故选：C. 3．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵为的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴； ∴； 故选C． 二、填空题 5．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 6．如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，则可判定，从而可得比例式，结合，及，可得答案，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，、分别是的边、上的点，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 先证明， 可求， 由等腰三角形的性质可求，通过证明， 可得，可求，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ， ， 则， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 10．如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． (1)若，求的长； (2)若的面积为16，则的面积为______． 【答案】(1)12 (2)36 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）证明，推出，求出可得结论； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的面积为 16 ， ∴的面积． 故答案为： 36 ． 11．如图，D，E，F是三边上的点，，． (1)求证：； (2)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，结合已知条件等量代换得到，则，即可证明相似； （2）根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 12．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知． (1)求证：； (2)求这个正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形边长为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质及矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的对边平行即可证明； （2）设正方形的边长为，交于点M，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴； ∵正方形的边在上， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，交于点M，如图； ∵， ∴； ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 即正方形的边长为． 14．如图，在中，为上一点，为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ）和性质（对应边成比例 ）是解题的关键． （1）要证明，需找到两组对应角相等．利用等腰三角形性质（）得出角相等，再结合已知，推导对应角相等 ． （2）先根据（1）的相似结论，得到对应边成比例关系，再结合已知线段长度，设未知数求解的长 ． 【详解】（1）证明：， ． ，， ． 又， ． （2）解：，，设， ∴． 由（1）知， ．即， ∴， ． ， 解得或（边长不能为负，舍去 ）． ． 15．如图，在中，点，，，分别在，，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求的长； (2)若的面积为，求的面积； (3)【拓展提升】若的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)的面积为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，根据平行四边形的性质可得，，求得，根据平行线的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求得，通过的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故． （2）解：由（1）可得，， ∴和的相似比是， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的面积为． （3）解：由（2）可得， ∵的面积为， 故， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即和的相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的面积． 16．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 17．如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）由为的中点，得到，得到，根据相似三角形的性质得到； （3）过作于，由，，，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 18．如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， （ⅰ）求证：，并求出的值； （ⅱ）如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的性质得到相等的边和角，然后证明即可得出结论； （2）（ⅰ）根据正方形的性质得出相等的角，求出相关边长，证明，，然后利用相似三角形的性质即可得出结论，利用勾股定理即可求解； （ⅱ）延长，交于点E，证明，，利用相似三角形的性质得出，继而得出，最后根据等量代换得出可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：（ⅰ）由（1）知， ， 四边形为正方形， ，，， ， ∴， ∴，， ，， ， 在中，，，由勾股定理得， ， ； （ⅱ）如图，延长，交于点E， 四边形为正方形， ，， ， 同上易得，，， ，， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 即平分． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 类型二、同向双“A”字模型 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 压轴专练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 例1．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【变式1-1】如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 类型二、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． （1）同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例2．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式2-1】如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 例3．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【变式3-1】如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【变式3-2】如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【变式3-3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 例4．如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式4-1】如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【变式4-2】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【变式4-3】如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 一、单选题 1．如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 2．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 3．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，，，，则的长 ． 6．如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 7．如图，、分别是的边、上的点，，若，则 ． 8．如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 三、解答题 9．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 10．如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． (1)若，求的长； (2)若的面积为16，则的面积为______． 11．如图，D，E，F是三边上的点，，． (1)求证：； (2)若，则的长为 ． 12．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 13．如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知． (1)求证：； (2)求这个正方形的边长． 14．如图，在中，为上一点，为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．如图，在中，点，，，分别在，，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求的长； (2)若的面积为，求的面积； (3)【拓展提升】若的面积为，求的面积． 16．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 17．如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 18．如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， （ⅰ）求证：，并求出的值； （ⅱ）如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$