精品解析：河南省南阳市南召县留山镇初级中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子：，，，，，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、该式子的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，不符合题意； B、该式子的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，不符合题意； C、该式子的分子、分母中不含有除1之外的其他公因式，是最简分式，符合题意； D、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 4. 把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ） A. 为原分式值的 B. 为原分式值的 C. 为原分式值的10倍 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解． 【详解】解：x、y均缩小为原来的10倍后， ， ∴分式的值为原分式值的10倍， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键． 5. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分式方程变形得：， 去分母得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母之前要找对各分母的最简公分母． 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 7. 张开大拇指和中指，两端的距离为“一拃”，据统计，通常情况下，人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：，则下列关于变量和常量的说法正确的是(　　) A. 是变量，是常量 B. 是变量，是常量 C. 与是变量，与是常量 D. 与是变量，与是常量 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意以及函数的定义即可求解． 【详解】解：人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：， ∴与是变量，与是常量， 故选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的定义，熟练掌握变量和常量的意义是解题的关键． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相等，可建立方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为， 根据题意得：， 故选：C． 9. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 10. 下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 12. 已知点P位于第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为__． 【答案】（4，﹣2） 【解析】 【分析】已知点P在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标． 【详解】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点P到x轴和y轴的距离分别是2和4， 所以点P的坐标为（4，﹣2）． 故答案为（4，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，点到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，理解点到坐标轴的距离是解题关键． 13. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②位置是，现在轮到黑棋走，你认为黑棋放在______位置就可获胜． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【详解】解：∵白①的位置是，黑②的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三角形位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得，可求出m的值． 【详解】， 去分母，得， 解得． ∵原方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） ①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了 ③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：体育场离张强家，①正确； 王强在体育场锻炼了，②错误； 王强吃早餐用了，③正确； 王强骑自行车的平均速度是，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共6个小题，75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂、分式的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先算正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算即可； （2）先把括号内通分、除法运算转换为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （1）请你帮他找出这道题从第_______步开始出错； （2）请完整地解答此分式方程； （3）通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条） 【答案】（1）② （2） ， 去分母得：， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． （3） 解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母； 解分式方程要检验． 【解析】 【分析】（1）根据去分母，两边同时乘，即可确定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验； （3）从求解的每一步分析，得出需要注意的地方． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）选择乙同学的解法． . ． 选择甲同学的解法： 原式 【解析】 【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了． （2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可． 【小问1详解】 解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算， 通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：②． 乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法， 故答案为：③． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键． 19. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元 （2）20个 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（40-m）个B品牌足球，由题意：该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元， 依题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x＋30＝80． 答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元； 【小问2详解】 设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（50﹣m）个B品牌足球， 依题意得：50 m＋80（40﹣m）≤2600， 解得：m≥20． 答：该中学此次至少可购买20个A品牌足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出相应方程及不等式． 20. 枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： （人） … … （元） … … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）______是自变量； （2）观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损； （3）请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______； （4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？ 【答案】（1）每天的乘车人数 （2） （3） （4）乘车人数为人时，利润为元 【解析】 【分析】（1）在变化过程中，哪个变量是随着哪个交量的变化而变化的，从而确定自变量； （2）由表中数据可知，当时，，当时， ，进行解答即可； （3）由表中数据可知，当乘坐人数为人时，利润为元，每增加人，利润就增加元，然后列出关系式即可解答； （4）把代入（3）中的关系式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在这个变化关系中，自变量是：每天的乘车人数． 故答案为：每天的乘车人数． 【小问2详解】 观察表中数据可知，当时，，当时， ， ∴当乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损． 故答案为：． 【小问3详解】 由题意得：， ∴公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：． 故答案为：； 【小问4详解】 把代入，得： ， 解得：． 答：当乘车人数为人时，利润为元． 【点睛】本题考查函数的意义，理解两个变量的变化关系和变化趋势，会用表格、关系式表示函数，掌握函数的表示方法．理解表格中两个变量的变化关系是解答的关键． 21. 如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示． （1）请求出长方形的长和宽； （2）当时，求S与t之间的关系式； （3）若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 【答案】（1）长是，宽是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可得到，再根据在上运动时，的面积为，结合三角形面积公式得到，据此即可求出答案； （2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走，则，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意可求出a的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案． 【小问1详解】 解：观察图像可知，机器人从B点走到C点用了3分钟，从C点走到走到D点用了6分钟 ∵机器人是匀速运动 ∴， 又从图像可知， ∴， ∴长方形的长是，宽是． 【小问2详解】 解：由（1）可知，机器人3分钟走了的路程， ∴机器人的速度为每分钟走， ∴， ∴当时，S与t之间的关系式为： 【小问3详解】 解：由题意可得 ∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子：，，，，，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ） A. 为原分式值的 B. 为原分式值的 C. 为原分式值的10倍 D. 不变 5. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 张开大拇指和中指，两端的距离为“一拃”，据统计，通常情况下，人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：，则下列关于变量和常量的说法正确的是(　　) A. 是变量，是常量 B. 是变量，是常量 C. 与是变量，与是常量 D. 与是变量，与是常量 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 已知点P位于第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为__． 13. 同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②位置是，现在轮到黑棋走，你认为黑棋放在______位置就可获胜． 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 15. 已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号） ①体育场离王强家 ②王强在体育场锻炼了 ③王强吃早餐用了 ④王强骑自行车的平均速度是 三、解答题（本大题共6个小题，75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 17. 同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （1）请你帮他找出这道题从第_______步开始出错； （2）请完整地解答此分式方程； （3）通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条） 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 20. 枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： （人） … … （元） … … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）______是自变量； （2）观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损； （3）请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______； （4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？ 21. 如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示． （1）请求出长方形的长和宽； （2）当时，求S与t之间的关系式； （3）若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $