第二十二章 二次函数 单元测试 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元测试 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题 1．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(　　) A． B． C． D． 3．函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2-4ax＋2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（　　） A．t≥1 B．t≤0 C．t≥1或t≤0 D．t≥1或t≤-1 5．二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．关于的次多项式，其中系数，，，，均为正整数，且，，下列说法正确的是（　　）个 ①若，则为四次五项式； ②若是二次三项式，，则无论取什么值时，的最小值为； ③若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，则方程的两根． A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论： ①abc＜0；②b＞a+c；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知点，若抛物线与线段有2个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．或 B．或 C． D．或 9．如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（　　） A．7 B．9 C．10 D．8 10．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（　　） A．21元 B．22元 C．23元 D．24元 二、填空题 11．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 12．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”） 13．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为　 　m． 14．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于　 　． 15．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为　 　． 16．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 17．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 　． 18．将二次函数 化为 的形式，则 　 　． 19．已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是　 　． 20．二次函数的顶点坐标是　 　． 21．二次函数的图像开口向　 　(填“上”或“下”) 22．写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式　 　． 三、解答题 23．如图， 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． （1）当点落在边上时， ； （2）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 24．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）． （1）求二次函数解析式； （2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 26．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 若，求的最大值． 若，且时，始终有，求的值． 27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足二次函数关系．已知，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（）与飞行时间（秒） 具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，；当他在点着陆时，飞行时间为秒． ①求与的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值． 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．B 11．450 12．不能 13．10 14． 15． 16． 17．（答案不唯一） 18． 19． 20． 21．下 22． 23．（1）； （2）； （3）． 24．（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得9a﹣1=﹣4， 解得a=﹣ ． 所以二次函数解析式为y=﹣ （x﹣3）2﹣1； （2）解：∵a=﹣ ＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点为（3，﹣1），∴点（0，﹣4）对称点为（6，﹣4）， ∴函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6 25．（1）直线 （2）或 26．（1）函数，， 二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为， 二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大， ， （2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 时，有最大值； ， ， ， ， ， 整理得，， 即， ，， 时，始终有， 的值不会随的变化而变化， 27．（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 28．（1）解：根据题意，得，，代入，得， 解得：， ∴与的函数表达式是； （2）①解：设， 根据题意得过点（0，0），（5，30），代入得， 解得：， ∴x与t的函数表达式为； ②解：由题意得，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得：， ∴当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他飞行时间的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$