精品解析：福建省莆田市城厢区顶墩实验学校2024－2025学年九年级下学期第一次月考数学试题A卷

顶墩实验学校2024—2025年度下学期九年级第一次数学质量监测（A卷） （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 取一切实数 5. 下列由相同的小正方体搭成的几何体中，其主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 兴化府历史文化街一家文创店分三批采购书签，其中花费200元采购第二批书签，比第一批少30份；花费600元采购第三批书签，比第一批多50份．依题意可列方程为，其中未知数表示（ ） A. 书签的单价 B. 第一批书签的数量 C. 第二批书签的数量 D. 第三批书签的数量 9. 我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 多项式分解因式的结果为________． 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 13. 不等式组：的解集是_____． 14. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 15. 如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度. ​ 16. 抛物线的顶点P在四边形区域内（含边界），其中，，，，且该抛物线经过原点，则a的取值范围是______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，已知，，与相交于点，求证：． 21. 目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？ （2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 22. 数学兴趣小组用无人机测量一幢楼前的椰子树的高度如图，已知楼高44米楼底端B与椰树底D的水平距离为20米当无人机从地面F点，竖直起飞到正上方50米E点处时，测得楼的顶端A和椰子树的顶端C的俯角分别为和（点B，F，D三点在同一直线上）． （1）求楼底B到地面F点的距离； （2）求椰树的高度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 23. 某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． （1）求甲、乙两种鲜花的进价； （2）根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 24. 项目主题：《人工智能视觉识别》 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习： 在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： ①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ． ②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为，其目标矩形的纵横比k= ． 任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比，求m 的值． 25. 如图，“心形”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． （1）求m的值及的长； （2）求的长； （3）若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顶墩实验学校2024—2025年度下学期九年级第一次数学质量监测（A卷） （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方、单项式乘以单项式、负整数指数幂，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 取一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零进行解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 故选：B． 5. 下列由相同的小正方体搭成的几何体中，其主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图是全等图形的选项即可． 【详解】解：A、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； B、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； C、主视图从左往右2列正方形的个数依次为1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； D、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；左视图3列正方形的个数依次为2，1，1，符合题意． 故选：D． 6. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 7. 若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，且，进而得，且，，据此可得出的形状． 【详解】解：∵，，， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴是等边三角形， 故选：C． 8. 兴化府历史文化街一家文创店分三批采购书签，其中花费200元采购第二批书签，比第一批少30份；花费600元采购第三批书签，比第一批多50份．依题意可列方程为，其中未知数表示（ ） A. 书签的单价 B. 第一批书签的数量 C. 第二批书签的数量 D. 第三批书签的数量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．200元和600元分别代表第二批书签的总价和第三批书签的总价，根据和分别表示第二批和第三批书签的份数，即可判断出表示的含义． 【详解】解：依题意可知，表示第一批书签的份数， 故选：B． 9. 我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案． 【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为或， 即或， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 多项式分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 13. 不等式组：的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为. 故答案为：． 14. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 方程根的判别式，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 15. 如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度. ​ 【答案】90 【解析】 【详解】解：如图∠A，∠B，∠C可分别看成是的圆周角， 而， 所以∠A＋∠B＋∠C=90° 考点：圆周角与圆心角的关系 点评：本题考查圆周角与圆心角的关系，本题看出这三个角的圆心角是一个平角是解本题的关键 16. 抛物线的顶点P在四边形区域内（含边界），其中，，，，且该抛物线经过原点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得当顶点P与B点重合时，顶点坐标为，则抛物线解析式，把点代入求得a的值，结合图象可知当对称轴越靠近y轴时，抛物线的开口越小，即a趋向于无穷大，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，当顶点P与B点重合时，顶点坐标为，则抛物线解析式， ∵该抛物线经过原点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在四边形内部， 且当对称轴越靠近y轴时，抛物线的开口越小，即a趋向于无穷大， ∴． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 【答案】（1） 证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 20. 如图，已知，，与相交于点，求证：． 【答案】 证明： ∵， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解． 21. 目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？ （2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 【答案】（1）200 （2）， 补图如下： （3） 【解析】 【分析】题目主要考查根据折线统计图与扇形统计图获取相关信息，包括满足条件的人数，圆心角度数，列表法或树状图法求概率等，理解题意，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据B类的人数及扇形统计图中所占的百分比即可得出调查的总人数； （2）先求出D、C类在扇形统计图中所占的百分比，然后用乘以C类百分比即为圆心角，用总人数乘以百分比即为C类的人数，然后补全折线统计图即可； （3）利用树状图法表示出所有可能，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：共调查的中学生家长数是：（人）； 【小问2详解】 D类所占百分比为：， 扇形C所对的圆心角的度数是：， C类的人数是：（人）， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中2人来自不同班级共有8种， ∴选出的2人来自不同班级的概率． 22. 数学兴趣小组用无人机测量一幢楼前的椰子树的高度如图，已知楼高44米楼底端B与椰树底D的水平距离为20米当无人机从地面F点，竖直起飞到正上方50米E点处时，测得楼的顶端A和椰子树的顶端C的俯角分别为和（点B，F，D三点在同一直线上）． （1）求楼底B到地面F点的距离； （2）求椰树的高度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）椰树的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定： （1）如图所示，过点A作于G，则四边形是矩形，可得，进而求出，再即可得到答案； （2）如图所示，过点C作于H，则四边形是矩形，可得，再得到，则，即椰树的高度为． 【小问1详解】 解；如图所示，过点A作于G，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， 在中，； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于H，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，， 在中，， ∴， ∴椰树的高度为． 23. 某花店为迎接节日，计划购进甲、乙两种鲜花．若从批发商处购进10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；若购进10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元． （1）求甲、乙两种鲜花的进价； （2）根据以往节日销售数据，为满足顾客需求，花店计划购进90束鲜花，其中甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍．甲种鲜花每束定价50元，乙种鲜花每束定价40元．考虑到运输、保鲜、损坏等成本，甲种鲜花每束成本为元，乙种鲜花每束成本为a元，其中，请规划利润最大的进货方案，并说明理由． 【答案】（1）甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束 （2）当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束，根据“进货10束甲种鲜花和5束乙种鲜花，需支付350元；进货10束甲种鲜花和10束乙种鲜花，需支付450元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种鲜花m 束，则购进乙种鲜花束，根据购进甲种鲜花不少于乙种鲜花的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设甲种鲜花的进价是x元/束，乙种鲜花的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种鲜花的进价是25元/束，乙种鲜花的进价是20元/束； 【小问2详解】 解：设购进甲种鲜花m束，则购进乙种鲜花束， 根据题意得：， 解得：． 设购进的鲜花全部售出后的总利润为w元，则， ∴． 当，即时，w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束； 当，即时，， ∴当时，销售利润为定值； 当，及时，w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束． 答：当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花90束；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种鲜花60束，乙种鲜花30束． 24. 项目主题：《人工智能视觉识别》 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习： 在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： ①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ． ②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为，其目标矩形的纵横比k= ． 任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比，求m 的值． 【答案】任务一：①1;②; 任务二：； 任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的综合应用，待定系数法，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 任务一：①根据新定义得到 ②根据目标矩形的纵横比的定义，得到线段的目标矩形纵横比； 任务二：由题意得到，再用待定系数法求出解析式即可； 任务三：求出，根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：任务一：①∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比 故答案为：1； ②根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比； 故答案为：； 任务二：如图： ∵最高点C与水面的距离为5米， ∴ ∵抛物线目标矩形的纵横比 ∴， ∵抛物线关于y轴对称， ∴ 设抛物线的表达式为 把代入得： 解得 任务三：如图： 根据题意， ∵目标矩形的纵横比， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解； ∴m的值为． 25. 如图，“心形”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“心形”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． （1）求m的值及的长； （2）求的长； （3）若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并结合了图象对称，线段的长度和最值，体现了方程和数形结合的思想． （1）把点D的坐标代入得m，； （2）联立与，求出交点E、F，再求的长； （3）设过点P与平行的直线为，根据图形可知当直线与只有1个交点时最大，联立与，利用求出m，进而求出P、Q，最后求的最大值；当点与点E、F重合时最小． 【小问1详解】 解：把点D的坐标代入，得， 由对称性得， ∴； 【小问2详解】 解：联立与得， ∴，即， ∴或， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，设过点P与平行的直线为，当直线与只有1个交点时最大． 由得， ∴， ∴，， 把代入得，， ∴， ∵点P、点Q关于直线对称， ∴， ∴， 由对称性得点Q的坐标为时亦满足题意， ∴的最大值为， 当点与点E、F重合时最小．最小值为0， 综上，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $