1.3勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册 一、选择题 如图，长为 的橡皮筋放置在 轴上，固定两端 和 ，然后把中点 向上拉升 至 点，则橡皮筋被拉长了 A． B． C． D． 如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口 同时出发， 号舰沿南偏东 方向以 节（ 节 海里/小时）的速度航行， 号舰以 节的速度航行，离开港口 小时后它们分别到达 ， 两点且相距 海里，则 号舰的航行方向是 A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，树顶落在离树干底部 处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是 A． B． C． D． 一架 的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 ，若梯子的顶端下滑 ，则梯足将滑动 A． B． C． D． 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 米，那么小巷的宽度为 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 如图，有两棵树分别用线段 和 表示，树高 米， 米，两树间的距离 米，一只鸟从棵树的树梢（点 ）飞到另一棵树的树梢（点 ），则这只鸟飞行的最短距离 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 已知蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方形纸箱的 点沿纸箱爬到 点，那么它所行的最短路线的长是 A． B． C． D． 二、填空题 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了 ，乙往南走了 ，这时两人相距 ． 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路（假设 步为 ），却踩伤了花草． 如图，台阶 处的蚂蚁要爬到 处搬运食物，它爬的最短距离是 ． 如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了 米，教练把绳子的下端拉开 米后，发现其下端刚好接触地面，则此攀岩墙的高度是 米． 我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为 尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面 尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为 尺． 如图，圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径为 ． 三、解答题 如图，从帐篷支撑竿 的顶部 向地面拉一根绳子 固定帐篷，帐篷支撑竿 的高是 米，地面固定点 到帐篷支撑竿底部 的距离是 米，求绳子 的长度是多少米？ 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一 处需要爆破．已知点 与公路上的停靠站 的距离为 米，与公路上另一停靠站 的距离为 米，且 ，如图，为了安全起见，爆破点 周围半径 米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路 段是否有危睑，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 铁路上 ， 两站（视为直线上的两点）相距 ，， 为两村庄（视为两个点）， 于点 ， 于点 （如图）．已知 ，，现在要在铁路 上建一个土特产收购站 ，使得 ， 两村庄到收购站 的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站 到 站的距离． 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑话欢嬉，良工高师素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文的大意是：如图，秋千静挂时，踏板 离地的高度是 尺，现在晃出两步（两步算作 尺，故 尺）的水平距离到 的位置，有人记录踏板离地的高度为 尺；仕女佳人争着荡秋千，一整天都欢声笑语，工匠师傅们好奇的是秋千绳索有多长呢？请你来解答工匠师傅们的困惑，求出秋千绳索 的长度． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】A 2. 【答案】D 3. 【答案】C 【解析】由题意得 ，． 在直角三角形 中，根据勾股定理得： 米． 大树的高度是 米． 4. 【答案】B 【解析】在 中，，，． 由勾股定理，得 ， ， ． 在 中，，，． 由勾股定理，得 ， ， ． ． 5. 【答案】C 【解析】由题意得梯子长为 ， 所以梯子底端到右墙角距离为 ， 所以小巷宽为 ． 6. 【答案】C 7. 【答案】C 8. 【答案】B 【解析】将点 和点 所在的两个面展开， 则矩形的长和宽分别为 和 ， 故矩形对角线长 ， 即蚂蚁所行的最短路线长是 ． 二、填空题（共6题） 9. 【答案】 10. 【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】 【解析】设水池深度为 尺，且芦苇在正方形水池中央， ， 解得 ． 14. 【答案】 【解析】如图（图中数据的单位：），将杯子的侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 , 易知 的长为所求的最短路程，根据勾股定理得 ， 所以 ， 即所求的最短路程为 ． 三、解答题（共4题） 15. 【答案】在 中， 米， 米； 由勾股定理，得： 米， 答：绳子 的长度是 米． 16. 【答案】如图，过点 作 于点 ， 因为 ， 所以 ， 因为 米， 米， 所以 （米）， 因为 ， 所以 ， 所以 （米）， 因为 ， 所以公路 段没有危险． 17. 【答案】连接 ，， 设 ，则 ， 在 中，， ， 在 中，， ， 又 ， ， 解得 ， 收购站 到 站的距离为 ． 18. 【答案】已知 尺， 尺， 尺， 过 作 于 ， 则 ，， ， 设 ，则 ，， 在 中，， ， 解得 ， 绳过 的长度为 尺． 学科网（北京）股份有限公司 $$