专题03：角的度量（解决问题讲义）数学人教版四年级上册

人教版四年级数学上册解决问题 专题03：角的度量 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点1：线段、直线、射线的认识和特征 1、线段：有两个端点，可测量长度，不能向两端无限延伸（如直尺边缘、黑板边框）。 2、射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，不可测量长度（如手电筒射出的光线、太阳光）。 3、直线：没有端点，可向两端无限延伸，不可测量长度（如笔直的铁轨向两端无限延伸的想象线）。 【名师点拨】判断时紧扣端点数量：有2个端点是线段，1个端点是射线，0个端点是直线，避免因图形画法（如射线画得短）误判。 考点2：角的认识 1、角是由一个公共端点（顶点）和两条从顶点出发的射线（边）组成的图形。理解角的构成：“一个顶点+两条射线”，两条边是无限延伸的。 2、可通过操作感知：用活动角转动一条边，观察角的大小变化，明确角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 【名师点拨】角的两条边必须是射线（无限延伸），不能画成线段（易误将边画短并认为角的大小与边长短有关）。 考点3：角的度量 用量角器测量角的步骤： 1、点点重合：量角器的中心与角的顶点重合。 2、线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 3、读准度数：看角的另一条边所对的量角器刻度（若0°刻度线在里圈，读里圈刻度；在外圈，读外圈刻度）。 例如，测量一个锐角时，若一条边与外圈0°刻度线重合，另一条边对向外圈30°，则角的度数为30°。 【名师点拨】 （1）量角器的中心必须与顶点完全重合，避免因偏移导致读数错误。 （2）明确内外圈刻度：当角的一条边与内圈0°刻度线重合时，读内圈；与外圈0°重合时，读外圈，防止读反（如误将130°读成50°）。 （3）若角的边太短，可延长边后再测量（不改变角的大小）。 考点4：角的分类 根据角的度数范围分类： 锐角：大于0°且小于90°（如30°、85°）。 直角：等于90°（如课本的角，标注直角符号“┐”）。 钝角：大于90°且小于 180°（如100°、170°）。 平角：等于180°（两条边在同一直线上，方向相反）。 周角：等于360°（一条边绕顶点旋转一周后与另一条边重合）。 【名师点拨】 （1）可结合图示记忆，明确各角的度数界限，如直角是90°，平角是2个直角，周角是4个直角。 （2）区分“锐角”和“钝角”的范围：锐角必须“小于 90°”，钝角必须“大于 90°且小于180°”，避免将90°归为锐角或钝角，180°归为钝角。 （3）平角和周角是特殊角：平角不是一条直线（有顶点和两条边），周角不是一条射线（有两条重合的边）。 考点5：画角 用量角器画指定度数角的步骤： 1、画一条射线，作为角的一条边，确定顶点。 2、量角器中心与顶点重合，0°刻度线与射线重合。 3、在量角器对应刻度处点一个点。 4、连接顶点和这个点，画出另一条边，标注角的度数。 例如，画60°角：先画射线，重合量角器后在60°刻度处点一点，连线即可。 【名师点拨】 （1）画射线时要清晰，确保量角器中心与顶点完全重合。 （2）刻度选择准确：画120°角时，若用内圈0°刻度线，应找内圈120°；若用外圈，找外圈60°（避免混淆内外圈导致度数错误）。 （3）最后标注角的度数，确保边画直，角的开口方向正确。 考点1：线段、直线、射线的认识和特征 【典型例题1】如图，小华从学校到商店买文具，然后回家，他最少要走（     ）米。 A．660 B．1000 C．1025 D．1030 【典型例题2】如图所示。小星从学校出发到宁波书城有三条路可以走（如图），她想尽快到书城，你建议她走（ ）号线。你的理由（ ）。        【练习1】两只蚂蚁夺旗，它们的位置如图所示。 【练习2】手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作（     ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 考点2：角的认识 【典型例题1】一个木工师傅把方桌锯掉一个角后还剩下几个角？把全部可能的答案都写下来，并画图说明。 答案一：还剩（     ）个角。 如下图： 答案二：还剩（     ）个角。 如下图： 答案三：还剩（     ）个角。 如下图： 【典型例题2】妈妈早上出门时看了看钟表，8时整。当她回来时，发现时针已转动了90°，妈妈回来时是（ ）时。 【练习1】如图，在一次军事演习中，某炮兵发现一架“敌机”，如果现在发射炮弹，正好能命中“敌机”，这时炮筒枪与地面形成40°的角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）40°（填“大于”“小于”或“等于”）；如果“敌机”向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）40°（填“大于”“小于”或“等于”）。 【练习2】老师在黑板上画一个50°的角，和同学们在纸上画一个50°的角相比，（     ）。 A．老师画的角大 B．学生画的大 C．一样大 D．无法比较 考点3：角的度量 【典型例题1】风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（     ），乙的风筝线与地面的夹角是（     ）。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？ 【典型例题2】小花用三个同样大的正方形硬纸板摆成了如下图所示的图案。已知，，请你计算的度数。 【练习1】生活中的数学。 当光照射到物体表面时，有一部分光会被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图所示，用激光笔照射一块平面镜时，光会发生反射。 （1）量一量，（     ）度，（     ）度。 （2）通过刚刚的度量，你发现激光的光线与平面镜所形成的与反射后的光线与平面镜所形成的的大小有什么关系？ 【练习2】在一次考试中，小明的量角器被弄破了，他做一道测量角的题时，用如图所示的方法测角的大小，你认为小明测量的这个角的度数是（     ）。 A．尺子破了无法测量 B．55° C．110° D．65° 考点4：角的分类 【典型例题1】将一张正方形纸对折后，出现一条折痕，将正方形的两个角折到刚刚的折痕上，如图。如果形成的∠1＝60°，那么∠2＝ °。    【典型例题2】2时整，钟面上时针和分针形成的角是（ ）角；6时整，钟面上时针和分针形成的角是（ ）角。 【练习1】丁丁在折纸，图（     ）中没有折出45°的角。 A． B． C． D． 【练习2】折纸艺术起源于中国，折纸不仅具有极高的艺术性，还可以启发人们的创造力和逻辑思维，促进手脑的协调。小明用一张长方形纸折一个正方形，如图所示，求∠1的度数。 考点5：画角 【典型例题1】张叔叔喜欢打台球，他发现当台球撞向桌边时就会向另一个方向弹走，如下图所示： （1）已知∠l＝45°，∠3＝20°，请你量一量，∠2＝（       ），∠4＝（        ）。 （2）你发现（                                      ）。 （3）请运用你发现的规律画出下面台球向另一个方向弹走的角度和路线。 【典型例题2】一个三角板．60°和90°的角都已经破损，只有一个30°的角是完好的，怎样用它来画出一个150°的角呢？ 【练习1】下面是小丽用一副三角尺拼的角，150°的角是（     ）。 A． B． C． 【练习2】小明发现：当光照射到物体上时，会有一部分光被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图： （1）量一量∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°，∠3＝（     ）°，∠4＝（     ）°。 我发现： （2）想一想，如果光照射到物体上时的角度如图，那么反射出来的光线有没有可能照到狗身上？（请你说明理由或画图表示） 夯实基础 1．用一副三角板不能画出下面（     ）的角。 A．105° B．25° C．15° D．135° 2．广场上进行放风筝比赛，规定用40米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝和地面所形成的角如图，那么（     ）放得最高。 A．A线 B．B线 C．C线 D．一样高 3．妙想同学用5倍的放大镜看一个角，看到的角是30度，原来这个角度是（     ）度。 A．30 B．6 C．150 D．不确定 4．从12：30到13：00，分针旋转了（     ）。 A．30° B．90° C．180° D．60° 5．若以F为顶点、射线FE为一边画一个钝角，下面（     ）符合要求。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 6．小明用量角器分别量出了下面四个角的度数，其中错误的是（     ）。 A．30度 B．  70度 C．  110度 D．  40度 7．如图，从A地到B地，（ ）号路线最短。 8．看一看，比一比。 （1）观察每个钟面，并写出时针和分针所形成的角的名称。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是（     ）＞（     ）＞（     ）。（填角的名称） 9．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形。已知∠1＝30°，∠2的度数是（ ）。 10．4时整时针和分针组成的角是（ ）角；6时整时针和分针组成的角是（ ）角。 11．如图，两副三角尺拼成的角中：∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 12．用一副三角板拼角，下图的拼法可以得到一个（ ）°的角；用一副三角板中的两个角，可以拼出的最大的角是（ ）°，它是（ ）角（填角的种类）。 13．6月1日上午8：30学校举行庆“六一”活动，那时钟面上的时针和分针组成的夹角是（ ）度。 14．如图是一副三角板拼起来的图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 15．如下图，小明用一副三角尺拼摆出∠1，则∠1＝（ ）°。 培优拔高 16．如图，把两把三角尺叠起来，图中的∠1和∠2相等吗？请判断并写出理由。    17．下面是一张长方形纸片，它的四个角都是（     ）角，四个角的和是（     ）°。当将其一边向上折后（如下图所示），量得∠1＝40°，你能算出∠2的度数吗？ 18．1.9万名志愿者是冬奥会最温暖的光。小明准备做一些蝴蝶结送给他们，设计图如下。请量出蝴蝶结中所标角的度数，并指出它们分别是什么角。 （1）∠1＝（     ），是（     ）角。∠2＝（     ），是（     ）角。 （2）过蝴蝶结∠1的顶点画一条直线，并在直线上截取一段长4厘米的线段。 19．暖暖用一个钝角和一个锐角正好组成一个平角．小刚用三个相同的锐角也组成了一个平角．暖暖手中的锐角与小刚手中的锐角哪个大？请画图说明． 20．小亮星期天想到少年宫游玩，他可以有几种走法？把最近的路线在图上画出来。 他可以有（     ）种走法。 21．小乐用一副三角尺在一块长方形纸板上拼出了下面的图形（图中的阴影部分），爸爸说∠1＝30°，请求出∠2的度数。 思维拓展 22．操作。 有几条边 2 3 4 5 6 有几个角 1 3 6 （1）仔细观察，发现规律后再填表； （2）我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据边数直接求出角的个数。如果角的边数是10，角的个数是（ ）。 23．如图，将图①折成图②，如果∠1＝50°，那么∠2＋∠3是多少度？写出计算过程。 24．画一画，填一填。 （1）∠1＝（     ），∠2＝（     ），∠3＝（     ）。 （2）我发现：这三个角的大小（     ）。因此，角的大小跟角两边的（     ）无关，跟角两边（     ）有关。 （3）过A点作∠2的其中一条边的平行线，过B点作这条线的垂线，垂足为点C。 25．我们知道，通过两点可以画一条直线，请你根据如表仔细探索点子数与所画直线数量的关系。按这样继续画下去，10个点可以画出（ ）条直线。 点子数 2个 3个 4个 5个 … 图示 …… 直线条数 1条 3条 6条 10条 … 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版四年级数学上册解决问题 专题03：角的度量 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点1：线段、直线、射线的认识和特征 1、线段：有两个端点，可测量长度，不能向两端无限延伸（如直尺边缘、黑板边框）。 2、射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，不可测量长度（如手电筒射出的光线、太阳光）。 3、直线：没有端点，可向两端无限延伸，不可测量长度（如笔直的铁轨向两端无限延伸的想象线）。 【名师点拨】判断时紧扣端点数量：有2个端点是线段，1个端点是射线，0个端点是直线，避免因图形画法（如射线画得短）误判。 考点2：角的认识 1、角是由一个公共端点（顶点）和两条从顶点出发的射线（边）组成的图形。理解角的构成：“一个顶点+两条射线”，两条边是无限延伸的。 2、可通过操作感知：用活动角转动一条边，观察角的大小变化，明确角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 【名师点拨】角的两条边必须是射线（无限延伸），不能画成线段（易误将边画短并认为角的大小与边长短有关）。 考点3：角的度量 用量角器测量角的步骤： 1、点点重合：量角器的中心与角的顶点重合。 2、线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 3、读准度数：看角的另一条边所对的量角器刻度（若0°刻度线在里圈，读里圈刻度；在外圈，读外圈刻度）。 例如，测量一个锐角时，若一条边与外圈0°刻度线重合，另一条边对向外圈30°，则角的度数为30°。 【名师点拨】 （1）量角器的中心必须与顶点完全重合，避免因偏移导致读数错误。 （2）明确内外圈刻度：当角的一条边与内圈0°刻度线重合时，读内圈；与外圈0°重合时，读外圈，防止读反（如误将130°读成50°）。 （3）若角的边太短，可延长边后再测量（不改变角的大小）。 考点4：角的分类 根据角的度数范围分类： 锐角：大于0°且小于90°（如30°、85°）。 直角：等于90°（如课本的角，标注直角符号“┐”）。 钝角：大于90°且小于 180°（如100°、170°）。 平角：等于180°（两条边在同一直线上，方向相反）。 周角：等于360°（一条边绕顶点旋转一周后与另一条边重合）。 【名师点拨】 （1）可结合图示记忆，明确各角的度数界限，如直角是90°，平角是2个直角，周角是4个直角。 （2）区分“锐角”和“钝角”的范围：锐角必须“小于 90°”，钝角必须“大于 90°且小于180°”，避免将90°归为锐角或钝角，180°归为钝角。 （3）平角和周角是特殊角：平角不是一条直线（有顶点和两条边），周角不是一条射线（有两条重合的边）。 考点5：画角 用量角器画指定度数角的步骤： 1、画一条射线，作为角的一条边，确定顶点。 2、量角器中心与顶点重合，0°刻度线与射线重合。 3、在量角器对应刻度处点一个点。 4、连接顶点和这个点，画出另一条边，标注角的度数。 例如，画60°角：先画射线，重合量角器后在60°刻度处点一点，连线即可。 【名师点拨】 （1）画射线时要清晰，确保量角器中心与顶点完全重合。 （2）刻度选择准确：画120°角时，若用内圈0°刻度线，应找内圈120°；若用外圈，找外圈60°（避免混淆内外圈导致度数错误）。 （3）最后标注角的度数，确保边画直，角的开口方向正确。 考点1：线段、直线、射线的认识和特征 【典型例题1】如图，小华从学校到商店买文具，然后回家，他最少要走（     ）米。 A．660 B．1000 C．1025 D．1030 【答案】B 【分析】小华从学校到商店买文具，有三种走法，两点之间线段最短，则选择520米的两点之间的距离。再从商店到家有两种走法，第一种是圆弧是480米，第二种先向南走185米，再向西走300米。一个需要走485米，对比两种走法，第一种的距离少走。再将路程相加即可。 【详解】300＋185＝485（米） 480＜485 480＋520＝1000（米） 最少要走1000米。 故答案为：B 【典型例题2】如图所示。小星从学校出发到宁波书城有三条路可以走（如图），她想尽快到书城，你建议她走（ ）号线。你的理由（ ）。        【答案】 ② 两点之间，线段最短 【分析】两点之间，线段最短，即在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最短，据此解答。 【详解】根据分析，观察图片 可知②号线最短，理由是：两点之间，线段最短。 【练习1】两只蚂蚁夺旗，它们的位置如图所示。 【答案】不公平，因为乙蚂蚁与旗的距离短一些。 【分析】甲、乙两只蚂蚁夺旗，要想游戏规则公平，甲、乙蚂蚁与旗的距离必须相等，由图可知距离长短，据此解答。 【详解】答：由图可以看出，不公平，因为乙蚂蚁与旗的距离短一些。 【练习2】手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作（     ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 【答案】B 【分析】线段有两个端点，不能延伸，可以测量长度；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度；直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度；据此解答即可。 【详解】手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作射线。 故答案为：B 考点2：角的认识 【典型例题1】一个木工师傅把方桌锯掉一个角后还剩下几个角？把全部可能的答案都写下来，并画图说明。 答案一：还剩（     ）个角。 如下图： 答案二：还剩（     ）个角。 如下图： 答案三：还剩（     ）个角。 如下图： 【答案】3；作图见详解 4；作图见详解 5；作图见详解 【分析】根据角的特征，从一点引出两条射线所形成的图形叫做角，进行分析。 【详解】答案一：还剩3个角。 如下图： 答案二：还剩4个角。 如下图： 答案三：还剩5个角。 如下图： 【典型例题2】妈妈早上出门时看了看钟表，8时整。当她回来时，发现时针已转动了90°，妈妈回来时是（ ）时。 【答案】11 【分析】钟表上分针每转动一周，时针转动1小时，已知时针经过1小时，转动的角度是30度，所以转动90度，经过了3小时，由此解答即可。 【详解】90°÷30＝3（小时） 回来时：8＋3＝11时 【练习1】如图，在一次军事演习中，某炮兵发现一架“敌机”，如果现在发射炮弹，正好能命中“敌机”，这时炮筒枪与地面形成40°的角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）40°（填“大于”“小于”或“等于”）；如果“敌机”向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（ ）40°（填“大于”“小于”或“等于”）。 【答案】 大于 小于 【分析】根据题意，如果敌机继续往前飞，角的开口会变大，那么炮筒枪应该与地面的角度就大于40°；如果“敌机”向后方逃跑，角的开口会变小，那么炮筒枪与地面的角度就小于40°，据此解答。 【详解】如图，在一次军事演习中，某炮兵发现一架“敌机”，如果现在发射炮弹，正好能命中“敌机”，这时炮筒枪与地面形成40°的角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（大于）40°（填“大于”“小于”或“等于”）；如果“敌机”向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（小于）40°（填“大于”“小于”或“等于”）。 【练习2】老师在黑板上画一个50°的角，和同学们在纸上画一个50°的角相比，（     ）。 A．老师画的角大 B．学生画的大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】角的大小与两边张口的大小有关，张口越大，角越大，张口越小，角越小，和两边的长短无关；老师在黑板上画一个50°的角，只是角的两边比同学们在纸上画的50°的角的两边长，角的大小和角的两边张开的大小程度有关，和角的两边的长短无关，所以两个50°的角一样大，据此解答即可。 【详解】老师在黑板上画一个50°的角，和同学们在纸上画一个50°的角相比，角的度数一样大。 故答案为：C 考点3：角的度量 【典型例题1】风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（     ），乙的风筝线与地面的夹角是（     ）。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？ 【答案】（1）65°；40° （2）同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高 （3）他的风筝比甲、乙飞得低 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。 （2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可； （3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。 【详解】（1）经过测量可知：甲的风筝线与地面的夹角是65°；乙的风筝线与地面的夹角是40°。 （2）经过测量发现，同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高。 （3）35°＜40°＜65°，即他的风筝没有甲、乙飞得高，即比甲、乙飞得低。 【典型例题2】小花用三个同样大的正方形硬纸板摆成了如下图所示的图案。已知，，请你计算的度数。 【答案】55° 【分析】根据正方形的性质可知，∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠3＝90°，因为∠1＝∠3，∠2＝20°，用90°减去∠2，再除以2，即可求出∠3的度数，再用90°减去∠3的度数，即可求出∠4的度数，据此解答即可。 【详解】∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠1＝∠3 ∠3＝（90°－∠2）÷2＝（90°－20°）÷2＝70°÷2＝35°； ∠4＝90°－35°＝55°。 【练习1】生活中的数学。 当光照射到物体表面时，有一部分光会被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图所示，用激光笔照射一块平面镜时，光会发生反射。 （1）量一量，（     ）度，（     ）度。 （2）通过刚刚的度量，你发现激光的光线与平面镜所形成的与反射后的光线与平面镜所形成的的大小有什么关系？ 【答案】（1）30，30；（2） 【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。 （2）通过测量可知，度，据此解答即可。 【详解】（1）30度，30度。 （2） 【练习2】在一次考试中，小明的量角器被弄破了，他做一道测量角的题时，用如图所示的方法测角的大小，你认为小明测量的这个角的度数是（     ）。 A．尺子破了无法测量 B．55° C．110° D．65° 【答案】B 【分析】角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差。 【详解】110°－55°＝55° 小明测量的这个角的度数是55°。 故答案为：B 考点4：角的分类 【典型例题1】将一张正方形纸对折后，出现一条折痕，将正方形的两个角折到刚刚的折痕上，如图。如果形成的∠1＝60°，那么∠2＝ °。    【答案】120 【分析】观察上图可知，∠3、∠4是正方形的两个角，所以都等于90°，∠1、∠2、∠3和∠4组成一个周角，故∠2等于360°减∠1、∠3、∠4的度数，据此即可解答。 【详解】∠3、∠4是正方形的两个角，所以∠3＝90°，∠4＝90°。 ∠2＝360°－∠3－∠4－∠1 ＝360°﹣90°﹣90°﹣60° ＝180°－60° ＝120° 【典型例题2】2时整，钟面上时针和分针形成的角是（ ）角；6时整，钟面上时针和分针形成的角是（ ）角。 【答案】 锐 平 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；2时整，时针指向2，分针指向12，相差2个大格，夹角为30°×2＝60°，大于0°小于90°的角是锐角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针相差6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°的角是平角。 【详解】30°×2＝60° 30°×6＝180° 2时整，钟面上时针和分针形成的角是锐角；6时整，钟面上时针和分针形成的角是平角。 【练习1】丁丁在折纸，图（     ）中没有折出45°的角。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方形的四个角都是直角，直角为90°；六边形围着中心点一圈是一个周角，周角为360°；圆围着中心点一圈是一个周角，周角为360°；直角三角形有一个角是直角，直角为90°；根据各个认识的角的度数，以及对折后平均分的份数计算出有没有45°的角。 【详解】根据分析： A．正方形一个角对折后，也就是将90°角平均分成2份，一份为：90°÷2＝45°，所以折出了45°的角； B．折痕沿着六边形的中心平均分成了6份，一份为：360°÷6＝60°，而六边形的每个角都不是直角，所以平均分成2份后，其中一个角并不会是45°，所以没有折出45°的角； C．折痕沿着圆的中心平均分成了8份，一份为：360°÷8＝45°，所以折出了45°的角； D．三角形左下角是一个直角，将直角平均分成2份，一份为：90°÷2＝45°，所以折出了45°的角。 故答案为：B 【练习2】折纸艺术起源于中国，折纸不仅具有极高的艺术性，还可以启发人们的创造力和逻辑思维，促进手脑的协调。小明用一张长方形纸折一个正方形，如图所示，求∠1的度数。 【答案】135° 【分析】先将对折的两个角表明∠2、∠3（如下图所示），根据题意可知，∠2＝∠3，由于折成的是正方形，∠2＋∠3＝90°，那么∠3＝90°÷2，∠1＝90°＋∠3，依此计算。 【详解】∠3＝90°÷2＝45° ∠1＝90°＋∠3＝90°＋45°＝135° 考点5：画角 【典型例题1】张叔叔喜欢打台球，他发现当台球撞向桌边时就会向另一个方向弹走，如下图所示： （1）已知∠l＝45°，∠3＝20°，请你量一量，∠2＝（       ），∠4＝（        ）。 （2）你发现（                                      ）。 （3）请运用你发现的规律画出下面台球向另一个方向弹走的角度和路线。 【答案】（1）45°；20° （2）台球撞向桌边与桌边形成的角的度数与弹出后与桌边所形成的角的度数相等 （3）图见详解 【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。 （2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。 （3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。 【详解】（1）通过测量：∠2＝45°，∠4＝20°。 （2）根据量出的各角度数，可以发现：台球撞向桌边与桌边形成的角的度数与弹出后与桌边所形成的角的度数相等。 （3）作图如下： 【典型例题2】一个三角板．60°和90°的角都已经破损，只有一个30°的角是完好的，怎样用它来画出一个150°的角呢？ 【答案】先画一条射线．用30°角量出另一条射线的位置．以刚画的射线为一边，用30°角量出另一条射线的位置，依次类推，画出5个30°角，为150°． 或将已画好的一个30°角的一条边反向延长，得出150°角． 如图 【详解】先画一条射线，用完好的30°角量出另一条射线的位置，画出一个30°的角，再将已画好的30°角的一条边反向延长，得出150°的角，如图。（方法不唯一） 【练习1】下面是小丽用一副三角尺拼的角，150°的角是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】把组成角的两个角的度数相加，求出拼成角的度数即可解答；一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；依此选择。 【详解】A．60°＋90°＝150°         B．90°＋45°＝135°         C．60°＋45°＝105° 所以A拼成的角是150°。 故答案为：A 【练习2】小明发现：当光照射到物体上时，会有一部分光被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图： （1）量一量∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°，∠3＝（     ）°，∠4＝（     ）°。 我发现： （2）想一想，如果光照射到物体上时的角度如图，那么反射出来的光线有没有可能照到狗身上？（请你说明理由或画图表示） 【答案】（1）50；50；30；30；入射角和反射角的度数一样大。 （2）反射出来的光线不可能照到狗身上。 【分析】（1）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。然后比较发现入射角和反射角的度数一样大。 （2）根据上面光反射的特点，作图解答即可。 【详解】（1）量一量∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝30°，∠4＝30° 我发现：入射角和反射角的度数一样大。 （2）根据图示可知，反射出来的光线不可能照到狗身上。 夯实基础 1．用一副三角板不能画出下面（     ）的角。 A．105° B．25° C．15° D．135° 【答案】B 【分析】一副三角板有30°、60°、45°、90°的角，利用加一加，减一减的方法解答。 【详解】A．60°＋45°＝105°，用一副三角板能画出105°的角； B．用一副三角板不能画出25°的角； C．45°－30°＝15°，用一副三角板能画出15°的角； D．90°＋45°＝135°，用一副三角板能画出135°的角。 故答案为：B 2．广场上进行放风筝比赛，规定用40米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝和地面所形成的角如图，那么（     ）放得最高。 A．A线 B．B线 C．C线 D．一样高 【答案】B 【分析】与地面所形成的较小角越大的那根线的风筝放得越高，观察上图可知，三条线中，B线与地面形成的较小角最大，所以B线放得最高，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，B线与地面形成的较小角最大，B线放得最高。 故答案为：B 3．妙想同学用5倍的放大镜看一个角，看到的角是30度，原来这个角度是（     ）度。 A．30 B．6 C．150 D．不确定 【答案】A 【分析】角的度数的大小，只与两边叉开的大小有关，所以用一个5倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度。 【详解】据分析可知： 妙想同学用5倍的放大镜看一个角，看到的角是30度，原来这个角度是30度。 故答案为：A 4．从12：30到13：00，分针旋转了（     ）。 A．30° B．90° C．180° D．60° 【答案】C 【分析】根据分针1小时即60分钟旋转1周，12：30的时候，分钟旋转至“6”的位置，13：00的时候，分钟旋转到“12”的位置，根据对钟面的认识，分针旋转了180°。据此解答。 【详解】12：30的时候，分钟旋转至“6”的位置，13：00的时候，分钟旋转到“12”的位置 所以从12：30到13：00，分针旋转了180°。 故答案为：C 5．若以F为顶点、射线FE为一边画一个钝角，下面（     ）符合要求。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】D 【分析】先找出以F为顶点、射线FE为一边画的钝角，再根据钝角的定义，钝角为大于90度而小于180度的角，根据对图中信息的观察，找出符合条件的角，据此解答。 【详解】根据题意：以F为顶点、射线FE为一边的角有∠3和∠4，再根据钝角的定义，钝角为大于90度而小于180度的角，则符合条件的只有∠4。 故答案为：D 6．小明用量角器分别量出了下面四个角的度数，其中错误的是（     ）。 A．30度 B．  70度 C．  110度 D．  40度 【答案】D 【分析】根据角的测量方法，用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数。如果角的两个边没有和0刻度线重合，圆点和角的顶点重合，用两条射线对着的度数相减即可，据此解答即可。 【详解】A．   30度；根据量角器的测量方法，这个角的度数是30度，测量正确。 B．   70度；量角器的两条刻度线一个对准30度，一个对准100度，100度－30度＝70度，所以测量正确。 C．   110度；根据量角器的测量方法，这个角的度数是110度，测量正确。 D．   40度，量角器的圆点没有对齐角的顶点；测量错误。    ；量角器的测量中，量角器的圆点和角的顶点没有重合，所以是错误的。 故答案为：D 7．如图，从A地到B地，（ ）号路线最短。 【答案】③ 【分析】根据两点之间线段最短选择。 【详解】从A到B地，线路1和4是曲线，线路2是折线，只有线路3是线段。 故③号路线最短。 8．看一看，比一比。 （1）观察每个钟面，并写出时针和分针所形成的角的名称。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是（     ）＞（     ）＞（     ）。（填角的名称） 【答案】（1）见详解 （2）平角；直角；锐角。 【分析】（1）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角。钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，1点整时，时针和分针的夹角是一个大格，也就是30°，是锐角；3点整时，时针和分针的夹角是三个大格，也就是30×3＝90°，是直角；6点整时，时针和分针的夹角是六个大格，也就是30×6＝180°，是平角。 （2）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角。平角＞直角＞锐角 【详解】（1）图一：360÷12＝30°，是锐角； 图二：30×3＝90°，是直角； 图三：30×6＝180°，是平角。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是平角＞直角＞锐角。 9．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形。已知∠1＝30°，∠2的度数是（ ）。 【答案】30°/30度 【分析】长方形中四个角都是直角，直角＝90°，根据图形折叠的特点可知，∠1＋∠1＋∠2＝90°，因此∠2＝90°－∠1－∠1，依此计算。 【详解】∠2＝90°－30°－30°＝60°－30°＝30°，即∠2的度数是30°。 10．4时整时针和分针组成的角是（ ）角；6时整时针和分针组成的角是（ ）角。 【答案】 钝 平 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。钟面上4时整，时针和分针之间有4个大格，则时针和分针的夹角是4×30°。6时整，时针和分针之间有6个大格，则时针和分针的夹角是6×30°。再判断两个角的类型。 【详解】4×30°＝120° 6×30°＝180° 4时整，时针和分针组成的角是钝角；6时整，时针和分针组成的角是平角。 11．如图，两副三角尺拼成的角中：∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 105 105 【分析】一副三角板的度数分别90°、45°、45°、90°、60°和30°，根据图示，∠1的度数等于60°与45°的和，∠2的度数等于180°减去30°再减去45°，据此计算。 【详解】∠1＝60°＋45°＝105° ∠2＝180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° 12．用一副三角板拼角，下图的拼法可以得到一个（ ）°的角；用一副三角板中的两个角，可以拼出的最大的角是（ ）°，它是（ ）角（填角的种类）。 【答案】 75 180 平 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此计算并根据角的分类标准填空即可。 【详解】30°＋45°＝75° 90°＋90°＝180° 图中的拼法可以得到一个75°的角；用一副三角板中的两个角，可以拼出的最大的角是180°，它是平角。 13．6月1日上午8：30学校举行庆“六一”活动，那时钟面上的时针和分针组成的夹角是（ ）度。 【答案】75 【分析】钟面有12个大格，一周是360度，所以每一个大格对应的夹角是360÷12＝30度。 8：30时，时针指在数字8和9的正中间，那么时针与数字8的夹角是30度的一半；此时分针指在数字6，分针与数字8之间有2个大格，即分针与数字8的夹角是2个30度；把两个角度相加，即可求出此时时针和分针组成的夹角。 【详解】30÷2＋30×2 ＝15＋60 ＝75（度） 那时钟面上的时针和分针组成的夹角是75度。 14．如图是一副三角板拼起来的图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 105 135 【分析】一副三角板中包含的角的度数有30°、45°、60°、90°，据此观察图形可知，∠1＝60°＋45°，∠2与一个45°的角组成平角，据此进一步求出∠2的度数。 【详解】∠1＝60°＋45° ＝105° ∠2＝180°－45° ＝135° 所以，如图是一副三角板拼起来的图，∠1＝105°，∠2＝135°。 15．如下图，小明用一副三角尺拼摆出∠1，则∠1＝（ ）°。 【答案】15 【分析】等腰三角尺的两个锐角都是45°，另一个三角尺较小的角为30°，用减法计算得出∠1的度数；据此解答。 【详解】根据分析：45°－30°＝15°，所以∠1＝15°。 培优拔高 16．如图，把两把三角尺叠起来，图中的∠1和∠2相等吗？请判断并写出理由。    【答案】相等，理由见详解 【分析】根据题图可知，这两把三角尺都是直角三角形，有一个直角，∠1与重叠的角组成一个直角，∠1＝90°－重叠的角的度数。∠2与重叠的角组成一个直角，∠2＝90°－重叠的角的度数。也就是∠1和∠2相等，都等于90°与重叠的角的度数的差。 【详解】相等，因为∠1与重叠的角的和为90°，∠2与重叠的角的和为90°，所以∠1与∠2相等。 17．下面是一张长方形纸片，它的四个角都是（     ）角，四个角的和是（     ）°。当将其一边向上折后（如下图所示），量得∠1＝40°，你能算出∠2的度数吗？ 【答案】直；360；70° 【分析】长方形的四个角都是直角，四个角的内角和是360°。将长方形的一边对折后，∠2是∠3对折得到的，所以∠3＝∠2。而且∠1、∠2和∠3构成了一个平角，据此解答。 【详解】90°×4＝360° （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 答：长方形纸片，它的四个角都是直角，四个角的和是360°。∠2的度数为70°。 18．1.9万名志愿者是冬奥会最温暖的光。小明准备做一些蝴蝶结送给他们，设计图如下。请量出蝴蝶结中所标角的度数，并指出它们分别是什么角。 （1）∠1＝（     ），是（     ）角。∠2＝（     ），是（     ）角。 （2）过蝴蝶结∠1的顶点画一条直线，并在直线上截取一段长4厘米的线段。 【答案】（1）60°；锐；120°；钝 （2）见详解 【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度与角的一条边重合，再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此先用量角器量出各角的度数，再根据锐角、钝角和直角的定义解答。 （2）用直尺经过顶点画一条直线，再在这条线上量出4厘米长的线段，标出两个端点，据此解答即可。 【详解】（1）∠1＝（ 60° ），是（ 锐 ）角；∠2＝（ 120° ），是（ 钝 ）角。 （2）过蝴蝶结∠1的顶点画一条直线，并在直线上截取一段长4厘米的线段，如下： 19．暖暖用一个钝角和一个锐角正好组成一个平角．小刚用三个相同的锐角也组成了一个平角．暖暖手中的锐角与小刚手中的锐角哪个大？请画图说明． 【答案】不一定 举例： ∠1=180°-160°=20°＜60° ∠2=180°-120°=60°=60° ∠3=180°-100°=80°＞60° 【详解】答：不一定谁大。 举例： ∠1＝180°－160°＝20°＜60° ∠2＝180°－120°＝60°＝60° ∠3＝180°－100°＝80°＞60° 20．小亮星期天想到少年宫游玩，他可以有几种走法？把最近的路线在图上画出来。 他可以有（     ）种走法。 【答案】画图见详解；6 【分析】小亮经过超市时，有2条路可到少年宫；经过银行时，也有2条路可到少年宫；小亮也可直接到邮局后，再直接到少年宫；还可以直接到邮局后，再经过图书馆到少年宫；两点之间，线段距离最短，依此解答。 【详解】最近的线路图如下： 2＋2＋1＋1＝6（条），即他可以有6种走法。 21．小乐用一副三角尺在一块长方形纸板上拼出了下面的图形（图中的阴影部分），爸爸说∠1＝30°，请求出∠2的度数。 【答案】45° 【分析】根据题图可知，∠1、∠2和三角尺中60°、45°的角组成一个平角，则∠2＝180°－∠1－60°－45°。 【详解】∠2＝180°－∠1－60°－45°＝180°－30°－60°－45°＝45° 思维拓展 22．操作。 有几条边 2 3 4 5 6 有几个角 1 3 6 （1）仔细观察，发现规律后再填表； （2）我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据边数直接求出角的个数。如果角的边数是10，角的个数是（ ）。 【答案】 10 15 45 【分析】（1）角的概念：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；据此可知，从一点出发的两条射线组成一个角，从一点出发的3条射线组成（1＋2）个角（即由单个小角组成的角有2个、有2个小角组成的角有1个）；从一点出发的4条射线组成（1＋2＋3）个角；从一点出发的5条射线组成（1＋2＋3＋4）个角；从一点出发的6条射线组成（1＋2＋3＋4＋5）个角……我发现规律是，从一点出发的n条射线就组成[（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1]个角。 （2）当角的边数是10时，就有（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）个角。 【详解】（1）4＋3＋2＋1＝10（个） 5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 填空如下： 有几条边 2 3 4 5 6 有几个角 1 3 6 10 15 （2）9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 所以，当角的边数是10，角的个数是45。 23．如图，将图①折成图②，如果∠1＝50°，那么∠2＋∠3是多少度？写出计算过程。 【答案】100° 【分析】如下图所示： 根据折叠可知，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∠5＋∠7＝180°－50°＝130°，所以∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝130°×2＝260°。因为∠2＋∠4＋∠5＝180°，∠3＋∠6＋∠7＝180°，所以∠2＋∠3＝180°＋180°－260°＝100°。 【详解】（180°－50°）×2 ＝130°×2 ＝260° ∠2＋∠3＝180°＋180°－260°＝100° 答：∠2＋∠3是100度。 24．画一画，填一填。 （1）∠1＝（     ），∠2＝（     ），∠3＝（     ）。 （2）我发现：这三个角的大小（     ）。因此，角的大小跟角两边的（     ）无关，跟角两边（     ）有关。 （3）过A点作∠2的其中一条边的平行线，过B点作这条线的垂线，垂足为点C。 【答案】（1）55°；55°；55° （2）相等；长短；叉开的大小 （3）见详解 【分析】（1） 用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数。 （2） 根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此解答即可。 （3）把三角板的一条直角边与∠2的一条边重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和∠2一条边重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可；把三角板的一条直角边与这条直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。 【详解】（1） ∠1＝（55°），∠2＝（55°），∠3＝（55°） （2） 我发现：这三个角的大小（相等）。因此，角的大小跟角两边的（长短）无关，跟角两边（叉开的大小）有关。 （3） 过A点作∠2的其中一条边的平行线，过B点作这条线的垂线，垂足为点C，画图如下： 25．我们知道，通过两点可以画一条直线，请你根据如表仔细探索点子数与所画直线数量的关系。按这样继续画下去，10个点可以画出（ ）条直线。 点子数 2个 3个 4个 5个 … 图示 …… 直线条数 1条 3条 6条 10条 … 【答案】45 【分析】两个点可以画1条直线，3个点可以画3×（3－1）÷2条直线，即3条直线。4个点可以画4×（4－1）÷2条直线，即6条直线。5个点可以画5×（5－1）÷2条直线，即10条直线。则10个点可以画10×（10－1）÷2条直线。据此解答。 【详解】10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（条） 10个点可以画出45条线段。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$