精品解析：上海市复旦中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二上 第一次数学测验（直线） 一、填充题（1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为__________． 2. 直线和直线的夹角为__________． 3. 直线：与直线：的距离为______． 4. 过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为__________． 5. 过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 6. 已知集合，，且，则实数的值为_________ 7. 直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为__________. 8. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 9. 集合，且为单元素集，则实数的取值范围是_________． 10. 已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 11. 若x，y满足，则的取值范围__________． 12. 若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________． 二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 直线(－)·x＋y＝3和直线x＋(－)y＝2的位置关系是(　　) A. 相交但不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 14. 以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（ ）． A. B. C. D. 15. 已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（ ）． A. B. C. D. 16. 已知定直线及其外一点，则方程表示直线（ ） A. 过P且与定直线相交 B. 过P且与定直线垂直 C. 过P且与定直线平行 D. 可能不过P点 三、解答题 17. 分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： （1）点与点到直线l的距离相等； （2）直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 18. 直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是， （1）设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； （2）试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上 第一次数学测验（直线） 一、填充题（1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化一般式为斜截式，结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线化为斜截式得，该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，即. 故答案为： 2. 直线和直线的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程确定对应的倾斜角，即可得. 【详解】由的倾斜角为，的斜率为，即倾斜角为， 所以两直线的夹角为. 故答案为： 3. 直线：与直线：的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化为，利用平行直线间距离公式求得结果. 【详解】直线方程可变为： 与之间距离 故答案为： 【点睛】本题考查平行直线间距离的求解，关键是能够统一两条直线的和的值，进而利用公式求得结果. 4. 过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角的概念与计算式，结合三角函数的诱导公式与反三角函数化简列方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 解得. 故答案为：. 5. 过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 6. 已知集合，，且，则实数的值为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可. 【详解】由，可得直线与平行， 故，解得， 故答案为： 7. 直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 8. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 9. 集合，且为单元素集，则实数的取值范围是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由为单元素集可知集合表示的图像仅有一个交点，由此求解实数的取值范围即可. 【详解】由可知集合表示经过定点的直线上的点， 由可知集合表示表示第一、二象限的角平分线（含原点）上的点， 因为为单元素集，所以与的图像仅有一个交点， 即直线与两条射线中的一条相交或经过原点， 所以或， 故答案为：或 10. 已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合等差数列定义可得，由此可得直线过定点，推出点到直线的距离，由此可得结论. 【详解】因为，，成等差数列，所以，即， 方程可化为，即， 所以直线过定点， 设点到直线的距离为，则，当且仅当与直线垂直时等号成立， 所以当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离等于， 所以点到直线的最大距离是， 故答案为：. 11. 若x，y满足，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据已知不等式组画出可行域，然后分析的几何意义，通过求出可行域边界上的特殊点与定点连线的斜率，进而确定的取值范围 【详解】根据已知不等式组画出可行域，如图： 的几何意义为与连线的斜率，所以由图知与连线的斜率为， 与连线的斜率为，所以的取值范围为 故答案为： 12. 若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围． 【详解】原方程可变形为，∴① 显然，时，； 当时，①式右边有两值，则直线不唯一； 当时，①式右边一正一负，负值不满足， 故所求的取值范围是或． 故答案为或． 【点睛】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．化简或者变形时，注意变形前后的方程的等价性. 二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 直线(－)·x＋y＝3和直线x＋(－)y＝2的位置关系是(　　) A. 相交但不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意可得，所以两直线互相垂直，故选B. 14. 以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 15. 已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，为最小，可求解． 【详解】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 16. 已知定直线及其外一点，则方程表示直线（ ） A. 过P且与定直线相交 B. 过P且与定直线垂直 C. 过P且与定直线平行 D. 可能不过P点 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想可判断两直线斜率相同，截距不同，且经过点P，即可作出判断. 【详解】由定直线及其外一点，可知， 又因为把点代入方程可得： ，即点代入方程的直线上， 因为，所以直线方程与直线方程不相同， 所以它们的斜率相同，截距不同，即两直线相互平行. 故选：C. 三、解答题 17. 分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： （1）点与点到直线l的距离相等； （2）直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）法1：分直线过线段的中点和直线与直线平行两种情况分类讨论即可；法2：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【小问1详解】 法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 18. 直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是， （1）设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； （2）试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为， （2）直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得直线的斜率为，结合两点斜率公式列方程求，可得结论； （2）结合（1）可得，，表示三角形面积，结合基本不等式求其最值及此时点的坐标. 【小问1详解】 因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， 【小问2详解】 由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $