12.8《角平分线的性质与判定》—— 角平分线的判定 课件 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.8角的平分线的性质 —— 角平分线的判定 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 一 【符号语言】 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上 角平分线的判定定理 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）． 角平分线的判定 位置关系 数量关系 B A D O P E 推进新课 　　如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 思考 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 　　交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论成立吗？ 角平分线的性质定理的逆定理的证明 知识点1 ∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点 P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）． 几何语言： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 你能证明这个结论的正确性吗？ 这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等． 　　这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？ 角相等 角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系. 角的平分线的性质 角平分线性质定理的逆定理 线段相等 这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路. ∴PM = PN， 同理PN = PQ， ∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 随堂演练 证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC 于N，PQ⊥AB于Q. ∵CE为∠MCN的平分线， Q N M 如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 课堂小结 角平分线的判定 内容 作用 结论 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 判断一个点是否在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 随堂演练 1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 基础巩固 D 2.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC. 综合应用 证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N. ∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上， ∴PM = PQ，PN = PQ，∴PM = PN. N Q M 又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC. 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论． 拓展延伸 解：AD垂直平分EF .证明如下： ∵AD是△ABC的角平线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，DE = DF. ∴△AED≌△AFD（AAS）. 1.如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. 当堂练习 2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 当堂练习 3.如图所示，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F,且BD=CD. 求证：AD是∠BAC的平分线. E A B C ¬ D ¬ F 当堂练习 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证： （1）AM平分∠DAB； （2）试说明线段DM与线段AM有怎样的位置关系？ D A B C M 当堂练习 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 1.角平分线的判定： 2.三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点. 3.角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段. 小 结 感谢大家的聆听！ $$