精品解析：上海市零陵中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期高三年级数学学科期中考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、填空题：（本大题共12题，1--6题每题4分，7--12题每题5分，满分54分．） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故答案为：. 2. 不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】原不等式可化为，结合一元二次不等式解法求结论. 【详解】原不等式等价于， 则或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或 3. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令真数大于零，分母不为零，即可得到结果. 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴函数的定义域是 故答案为 【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查指数函数的单调性，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知是关于x的方程的一个根，则q=____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的乘法运算求出. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以时方程的另一个根， 则. 故答案为：4. 5. 已知某球体的半径为，当扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的______倍． 【答案】 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式计算可得结果. 【详解】球的半径为时，球的表面积为， 球的半径扩大为后，球的表面积为， 所以，即表面积变为原来的倍. 故答案为：. 6. 已知，，则向量在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量投影定义公式计算. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. 7. 设，若为偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义代值进行判断即可求出答案． 【详解】解：由题可知，当时，，满足， ∴是偶函数； 当时，不满足， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 8. 已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】分别考虑相交或平行时，是否存在满足条件的直线得解. 【详解】，， 当与相交或平行时，都能找到且， 故答案为：平行或相交 9. 双十一快要到了，某商家推出三种优惠券，分别是满399元减60元，满699元减100元，满1000元减150元.优惠券的使用规则：这些优惠券之间不可叠加使用，但它们可以与满200元减30元的购物津贴同时使用.此外，这两类优惠券有使用顺序，必须先使用商家优惠券，再使用购物津贴.作为消费者的你，在使用这些优惠方案时会考虑哪些因素：_______________（写出两个，多写的只参考前两个）. 【答案】消费金额和优惠率（答案不唯一） 【解析】 【分析】从消费金额和优惠率两个方面分析. 【详解】满399元减60元，优惠率是略大于； 满699元减100元，优惠率是约为； 满1000元减150元，优惠率为， 从优惠率来说，消费金额接近于399的倍数最好，每次只使用满399元减60元的优惠卷， 同时考虑满200元减30元的购物津贴，故消费金额应该是400的倍数，优惠率最高. 故答案为：消费金额和优惠率. 10. 若函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 则函数在上的零点至少有______个. 【答案】2 【解析】 【分析】由题得函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点，即得解. 【详解】由表得， 因为函数的图像是连续不断的， 所以函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点， 所以函数在上的零点至少有两个. 故答案为2 【点睛】本题主要考查函数的零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 12. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】设BC的中点为O. 因为动点满足，所以, 即点P落在以O为球心，以为半径的球上. 因为, 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以， 在三角形中，,. 取AD的中点为E,OE⊥AD， 所以在上的投影向量的模为， 所以. 设， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识. 二、选择题：（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助不等式的性质判断即可. 【详解】对A：因为，可能，故错误； 对B：当时，若，则，故错误； 对C：当，时，则，故错误； 对D：若，，则，故正确. 故选：D. 14. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 15. 若，且，则有 A. 最大值64 B. 最小值 C. 最小值64 D. 最小值 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，故选C. 16. 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点、、， 设点，，，， 且，则，可得， 由于点在正内，则，可得，则， 可得，， ， 所以当时，取最小值. 故选：C. 三、解答题（本大题共78分，14+14+14+18+18=78） 17. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 由知，方程为， 即， 解得，即. 【小问2详解】 不等式即， 原不等式可化为对于一切都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 故当时，， 所以. 18. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解. 【小问1详解】 由题意知，直线与平面的夹角，即为， 易知，，又，故，进而有，， 由圆柱的表面积为，可得， 故，故直线与平面的夹角为． 【小问2详解】 设点A到平面的距离为h， 则，， ， 因为平面ABP，， 所以BP⊥平面，即， 在中，， 故， 所以，即点A到平面的距离为． 19. 平面向量，，函数． （1）若，求的值域； （2）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后利用整体法求值域； （2）由已知先求得，进而利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 由，可得， 可得， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 因为，所以，所以，即， 因为，所以， 整理得，解得或(舍去）， 所以的面积为. 20. 设全集，已知命题p：集合或．命题q：集合． （1）若时，求集合； （2）若且，求实数a的取值范围； （3）若是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简集合，再结合集合的运算规律即可求解； （2）先化简集合，再通过集合交运算的性质，即可得到答案； （3）由是的真子集即可得出答案． 【小问1详解】 因为，所以， 故或， 【小问2详解】 由题意得：，又因为， 所以，得，所以实数的取值范围． 【小问3详解】 ， 因为是的充分非必要条件， 即是（）的真子集， 所以，解得：, 所以实数的取值范围． 21. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求b的值； （2）设常数，求函数的最大值和最小值； （3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由. 【答案】（1）4； （2）的最小值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为. （3）当为奇数时，在，上单调递增，在，上单调递减；当为偶数时，在，上单调递增，在，上单调递减. 理由为：设，， 因为为正整数，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 的定义域为，关于原点对称，当为奇数时，，所以此时为奇函数，当为偶数时，，所以此时为偶函数， 所以当为奇数时，在，上单调递增，在，上单调递减； 当为偶数时，在，上单调递增，在，上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到的单调性，然后根据单调性和端点处函数值的大小求最值即可； （3）利用单调性的定义和奇偶性的性质判断单调性即可. 【小问1详解】 ，所以由题可知，，解得. 【小问2详解】 因为，所以，所以在上单调递减，上单调递增，所以， 又，，所以当时，最大值为； 当时，最大值为， 综上所述，的最小值为， 当时，的最大值为， 当时，的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高三年级数学学科期中考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、填空题：（本大题共12题，1--6题每题4分，7--12题每题5分，满分54分．） 1. 已知集合，，则______． 2. 不等式的解集为______． 3. 函数的定义域是__________. 4. 已知是关于x的方程的一个根，则q=____________. 5. 已知某球体的半径为，当扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的______倍． 6. 已知，，则向量在方向上的数量投影为______． 7. 设，若为偶函数，则______． 8. 已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 9. 双十一快要到了，某商家推出三种优惠券，分别是满399元减60元，满699元减100元，满1000元减150元.优惠券的使用规则：这些优惠券之间不可叠加使用，但它们可以与满200元减30元的购物津贴同时使用.此外，这两类优惠券有使用顺序，必须先使用商家优惠券，再使用购物津贴.作为消费者的你，在使用这些优惠方案时会考虑哪些因素：_______________（写出两个，多写的只参考前两个）. 10. 若函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 则函数在上的零点至少有______个. 11. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 12. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________． 二、选择题：（本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 若，且，则有 A. 最大值64 B. 最小值 C. 最小值64 D. 最小值 16. 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 三、解答题（本大题共78分，14+14+14+18+18=78） 17. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 18. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 19. 平面向量，，函数． （1）若，求的值域； （2）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 20. 设全集，已知命题p：集合或．命题q：集合． （1）若时，求集合； （2）若且，求实数a的取值范围； （3）若是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 21. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求b的值； （2）设常数，求函数的最大值和最小值； （3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $