7.3 平行线的证明 教案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第2课时　平行线的性质 1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于同一条直线的两条直线平行. 2.了解性质定理与判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程. 3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，培养演绎推理能力. 重点：理解和简单应用平行线的性质定理. 难点：平行线的性质和判定的区别以及应用它们进行简单的推理. 如图所示，工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山，为了降低施工难度，工程师决定绕过这座山.如果第一个弯是左拐30°，那么第二个弯应朝什么方向拐，才能不改变原来的方向？ 探究点一　平行线的性质 类型一　两条直线平行，同位角相等 【例1】如图①所示的是大众汽车的图标，图②反映其中直线间的关系，并且AC∥BD，AE∥BF.∠A与∠B相等吗？请证明. 【解析】首先判断两个角是否相等，再根据平行线的性质说明理由即可. 【解】∠A与∠B相等. 证明：∵AC∥BD，AE∥BF（已知）， ∴∠A＝∠DOE，∠DOE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠A＝∠B（等量代换）， 即∠A与∠B相等. 类型二　两条直线平行，内错角相等 【例2】如图，AB∥CD，∠B＝∠D.求证：AD∥BC. 【解析】根据平行线的性质得出∠B＋∠C＝180°，求出∠D＋∠C＝180°，根据平行线的判定推出即可. 【解】如图，连接BD（构造一组内错角）. ∵AB∥CD（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）. ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B－∠1＝∠D－∠4（等式的性质）， 即∠2＝∠3， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）. 类型三　两条直线平行，同旁内角互补 【例3】如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED的度数为　　　　. 【解析】根据平行线的性质得出∠BAE＋∠AED＝180°，∠BAC＋∠C＝180°.求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，即可得出答案. 【解】115° 探究点二　平行线的性质定理和判定定理的综合运用 【例4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2.求证：∠B＝∠ADG. 【解析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程. 【解】∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）， ∴∠CDE＝∠FEB＝90°（垂直的定义）， ∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BCD＝∠1（等量代换）， ∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B＝∠ADG（两直线平行，同位角相等）. 1.如图所示，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（　　） A.140° B.60° C.50° D.40°第1题图　　　第2题图 2.如图所示，AB∥ED.若∠A＝135°，∠ACD＝80°，则∠CDE的度数为　　　　. 第2课时　平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补； 4.平行于同一条直线的两条直线平行. 通过本节课的学习，掌握了平行线的性质的应用，规范了证明题的语言表达和运用.知道几何证明题的三种语言. 　　通过本节课的学习，使学生进一步掌握平行线的性质的应用，规范证明题的语言表达和运用，知道几何证明题的三种语言，即文字语言、符号语言和图形语言及它们之间的相互转换，让学生清楚将图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功，画图时按要求将符合题意的图形画出来，图形力求准确，便于观察，这样有利于解题. 答案 课堂训练 1.D　2.35° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　平行线的证明 第1课时　平行线的判定 1.初步了解证明的基本步骤和书写格式. 2会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用这些结论. 3.在证明过程中，培养初步的演绎推理能力. 重点：了解并掌握平行线的判定公理和定理. 难点：掌握证明题的书写步骤及推理依据. 请找出图中的平行线，并说一说它们为什么平行. 探究点一　平行线的判定方法 类型一　同位角相等，两直线平行 【例1】如图，直线l1，l2分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，∠2＝105°.当∠1的度数是　　　　时，l1∥l2. 【解析】如图.∵∠4＝30°，∠2＝105°， ∴∠3＝180°－∠2－∠4＝180°－105°－30°＝45°， ∴当∠1＝∠3＝45°时，l1∥l2. 【解】45° 类型二　内错角相等，两直线平行 【例2】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°.求证：DE∥BC. 【解析】依据同角的余角相等，即可得到∠EDC＝∠2，即可得出DE∥BC. 【解】如图.∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1＋∠3＝90°（垂直的定义）. ∵∠1＋∠2＝90°（已知）， ∴∠3＝∠2（同角的余角相等）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）. 类型三　同旁内角互补，两直线平行 【例3】如图所示，已知∠OEB＝130°，OF平分∠EOD，∠FOD＝25°.求证：AB∥CD. 【解析】根据角平分线的定义先求出∠EOD的度数，再利用同旁内角互补，两直线平行即可证明AB∥CD. 【解】∵OF平分∠EOD，∠FOD＝25°（已知）， ∴∠EOD＝50°（角平分线的定义）. ∵∠OEB＝130°（已知）， ∴∠EOD＋∠OEB＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）. 探究点二　运用平行线的判定定理解决实际问题 【例4】如图所示，已知∠2是直角，再测量出∠1或∠3的度数就可以知道两条铁轨是否平行. （1）若量得∠3＝90°，结合∠2情况，说明理由. （2）若量得∠1＝90°，结合∠2情况，说明理由. 【解析】在两条铁轨与左边的枕木构成的“三线八角”中，∠1和∠2是同位角，∠2和∠3是同旁内角，结合平行线的判定定理进行说明即可. 【解】（1）∵量得∠3＝90°，而∠2＝90°， ∴∠2＋∠3＝180°. 根据同旁内角互补，得两条铁轨平行. （2）∵量得∠1＝90°，而∠2＝90°，∴∠1＝∠2. 根据同位角相等，得两条铁轨平行. 第1题图 1.如图所示，∠1＝70°，要使a∥b，则∠2的度数为（　　） A.70° B.100° C.110° D.120° 2.如图，已知∠1＝∠3，AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由. 第1课时　平行线的判定 1.同位角相等，两直线平行； 2.内错角相等，两直线平行； 　　3.同旁内角互补，两直线平行. 本节课经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“同位角相等，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明. 　　判定直线平行的条件我们已经在七年级学过，上一节又已经明确了基本事实“同位角相等，两直线平行”，因此教学中，让学生先自主证明平行线的有关定理，感受证明的过程和学习规范的书写格式，使学生从几何证明的开始阶段就认识到，证明的依据只能是有关概念的定义、所规定的基本事实及已经证明的定理. 答案 课堂训练 1.C 2.解：AB∥CD. 理由：∵AC平分∠DAB（已知）， ∴∠1＝∠2（角平分线定义）. 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 学科网（北京）股份有限公司 $$