第08讲 平面直角坐标系（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第08讲 平面直角坐标系（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1平面直角坐标系及相关概念 2点的坐标表示 3点的坐标特征 4建立平面直角坐标系 题型巩固 一、写出直角坐标系中点的坐标 二、求点到坐标轴的距离 三、判断点所在的象限 四、已知点所在的象限求参数 五、已知两点坐标求两点距离 六、点坐标规律探索 七、由平移方式确定点的坐标 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1平面直角坐标系及相关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系)。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 2. 相关概念 (1) 坐标轴：水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴； (2) 原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。 3. 象限：如图3-2-1，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内 知识点2点的坐标表示 内容 图示y 轴上的点的横 坐标为零 点的坐标 对于平面内任意一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ， 分别叫做点 的横坐标、纵坐标，有序数对( ， )叫做点 的坐标 . x 轴上的点的纵坐标 为零 平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。因此，平面上的点与有序实数对一一对应 知识点3点的坐标特征 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(+，-)即x>0，y>0 点M在第二象限 M(-，+)即x<0，y>0 点M在第三象限 M(-，-) 即x<0，y<0 点M在第四象限 M(+，-)即x>0，y<0 坐标轴上的点 点M在x轴上 (原点除外) 在x轴正半轴上 M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上 M(-，0)即x<0，y=0 点M在y轴上 (原点除外) 在y轴正半轴上 M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上 M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处 M(0，0) 两点连线与坐标轴平行 MN//x 轴(MN ⊥ y 轴) M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 MN//y 轴(MN ⊥ x 轴) M()，N( ) 两点横坐标相等，即 象限角平分线上的点 (拓展) 点M 在第一、三象限角平分线上 M(x，y)且x=y，即横坐标与纵坐标相等 点M 在第二、四象限角平分线上 M(x，y)且x= -y，即横坐标与纵坐标互为相反数 图示 知识点4建立平面直角坐标系一般用点O 表示 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 记得标上对应的x，y 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 题型巩固 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（    ） A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3） 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是 3．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点C、D、E、F、G的坐标． 题型二、求点到坐标轴的距离 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）点 ，则点 到 轴的距离为 ． 6．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A的纵坐标比横坐标小2． (2)点A到两坐标轴的距离相等． 题型三、判断点所在的象限 7．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）在平面直角坐标系中，点所在的象限是 ． 9．已知当m， n都是实数，且满足2m = 8 + n时，称P(m ，n+2)为“开心点”．例如点A(6，6)为“开心点”． 因为当A(6，6)时，m = 6， n +2= 6， 得m = 6，n=4， 所以2m = 2 × 6 = 12， 8 + n = 8 + 4 = 12， 所以2m = 8+n． 所以A(6，6)是“开心点． （1）判断点B(4，5) (填“是”或“不是”）“开心点”； （2）若点M(a，a-1)是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 题型四、已知点所在的象限求参数 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（    ） A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线 平行于 x 轴，则且 D．若直线平行于 y 轴，且，则 11．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点在轴上，则 ． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 题型五、已知两点坐标求两点距离 13．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知A（﹣4，2），B（1，2），则A，B两点的距离是（    ） A．3个单位长度 B．4个单位长度 C．5个单位长度 D．6个单位长度 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有、，那么 ． 15．（23-24八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 题型六、点坐标规律探索 16．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 18．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 题型七、由平移方式确定点的坐标 19．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 分层强化 一、单选题 1．平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．在平面直角坐标系中，下列各点中位于第一象限的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．将点向上平移个单位得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 6．下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 7．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，以点B所在的位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．现把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．点在第 象限． 11．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 12．如图，用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是 ． 13．如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 14．在平面直角坐标系中，已知，则 ． 15．若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于3，则点的坐标为 ． 16．如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 三、解答题 18．请同学们自己动手画出平面直角坐标系，并在图中描出下列各点：A（-5，-3），B（4，0），C（4，2），D（0，-3），E（-6，2），F（1，-4）． 19．已知点P，根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点Q的坐标为（-3，3），直线PQx轴． 20．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出三角形ABC各顶点的坐标：A_____，B______，C______ (2)三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？ (3)求三角形ABC的面积． 21．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 22．（项目式学习·数学与生活融合）根据素材，完成活动任务． 探究方阵中各位置点的坐标表示 素材一：近日，振兴中学计划举办建校70周年庆活动，七年级的数学项目式小组成员通过商讨决定进行方阵变换表演，由60人参与，组成的长方形方阵。每人戴一顶红色的帽子，入场时全部戴上，然后，摆出建校时间“1945”方阵；对应37位同学戴红色帽子站立．其余同学摘掉帽子蹲下，保持方阵队形30秒后，变换到现在时间“2025”方阵；对应45位同学戴红色帽子站立，其余同学摘掉帽子蹲下． 素材二：1945方阵图 解决问题 任务一：若同学的位置用坐标表示为，同学的位置用坐标表示为，请建立合适的平面直角坐标系，并分别用坐标表示出同学、、的位置； 任务二：如果在“1945”方阵的基础上变换出“2025”方阵，要求起立和蹲下变换的同学尽可能少，请在任务一的基础上直接写出变化过程中需要站立和蹲下的同学对应的位置坐标． 23．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平面直角坐标系（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1平面直角坐标系及相关概念 2点的坐标表示 3点的坐标特征 4建立平面直角坐标系 题型巩固 一、写出直角坐标系中点的坐标 二、求点到坐标轴的距离 三、判断点所在的象限 四、已知点所在的象限求参数 五、已知两点坐标求两点距离 六、点坐标规律探索 七、由平移方式确定点的坐标 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1平面直角坐标系及相关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系)。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 2. 相关概念 (1) 坐标轴：水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴； (2) 原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。 3. 象限：如图3-2-1，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内 知识点2点的坐标表示 内容 图示y 轴上的点的横 坐标为零 点的坐标 对于平面内任意一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ， 分别叫做点 的横坐标、纵坐标，有序数对( ， )叫做点 的坐标 . x 轴上的点的纵坐标 为零 平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。因此，平面上的点与有序实数对一一对应 知识点3点的坐标特征 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(+，-)即x>0，y>0 点M在第二象限 M(-，+)即x<0，y>0 点M在第三象限 M(-，-) 即x<0，y<0 点M在第四象限 M(+，-)即x>0，y<0 坐标轴上的点 点M在x轴上 (原点除外) 在x轴正半轴上 M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上 M(-，0)即x<0，y=0 点M在y轴上 (原点除外) 在y轴正半轴上 M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上 M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处 M(0，0) 两点连线与坐标轴平行 MN//x 轴(MN ⊥ y 轴) M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 MN//y 轴(MN ⊥ x 轴) M()，N( ) 两点横坐标相等，即 象限角平分线上的点 (拓展) 点M 在第一、三象限角平分线上 M(x，y)且x=y，即横坐标与纵坐标相等 点M 在第二、四象限角平分线上 M(x，y)且x= -y，即横坐标与纵坐标互为相反数 图示 知识点4建立平面直角坐标系一般用点O 表示 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 记得标上对应的x，y 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 题型巩固 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（    ） A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3） 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离求解即可． 【详解】由点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0， 纵坐标小于0，点M到x轴、y轴的距离分别为4、3， 所以点M的坐标为； 故选B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握各象限的点坐标特点求点的坐标是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标的确定，掌握点到坐标轴的距离有关知识是解题的关键． 根据到轴的距离得到点的纵坐标的绝对值，到轴的距离得到点的横坐标的绝对值，进而根据所在象限判断出具体坐标即可． 【详解】解：点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点C、D、E、F、G的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)、、、、 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查直角坐标系的定义以及图形与坐标，掌握直角坐标系的定义是解题的关键． （1）利用点B和点A的坐标画出直角坐标系； （2）根据点的坐标的意义即可得到点C、D、E、F、G的坐标． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示 （2）、、、、 题型二、求点到坐标轴的距离 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离是， 故选：． 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）点 ，则点 到 轴的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是：点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值．点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴的距离， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A的纵坐标比横坐标小2． (2)点A到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)A的坐标为或 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据点A的纵坐标比横坐标小2，列出方程解方程即可求解； （2）根据点A到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数，列出方程解方程即可求解． 【详解】（1），解得， ，， ∴点A的坐标为． （2）依题意，得或， 解得或， 将代入A中，点A为， 将代入A中，点A为． 综上，点A的坐标为或 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键． 题型三、判断点所在的象限 7．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 8．（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）在平面直角坐标系中，点所在的象限是 ． 【答案】二/第二象限 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点在第二象限． 故答案为：二． 9．已知当m， n都是实数，且满足2m = 8 + n时，称P(m ，n+2)为“开心点”．例如点A(6，6)为“开心点”． 因为当A(6，6)时，m = 6， n +2= 6， 得m = 6，n=4， 所以2m = 2 × 6 = 12， 8 + n = 8 + 4 = 12， 所以2m = 8+n． 所以A(6，6)是“开心点． （1）判断点B(4，5) (填“是”或“不是”）“开心点”； （2）若点M(a，a-1)是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 【答案】（1）不是；（2）点M在第一象限，理由见解析． 【知识点】判断点所在的象限 【分析】（1）根据A、B点坐标，代入(m ，n+2)中，求出m和n的值，然后代入2m=8+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案． 【详解】解：（1）（4，5）不是“开心点”，理由如下， 当B(4，5)时，m=4，n+2＝5， 解得m=4，n=3， 则2m=2×4=8，8+n=8+3=11， 所以2m≠8+n， 所以点B（4，5）不是“开心点”； （2）点M在第一象限，理由如下： ∵点M（a，a-1）是“开心点”， ∴m=a，n+2＝a-1， ∴m=a，n=a-3， 代入2m=8+n有2a=8+a-3， ∴a=5，a-1=4， ∴M（5，4）， 故点M在第一象限． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键． 题型四、已知点所在的象限求参数 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（    ） A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线 平行于 x 轴，则且 D．若直线平行于 y 轴，且，则 【答案】C 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查的是坐标平面内点的坐标特征，根据各选项的条件，逐一应用坐标系中的相关性质进行判断即可． 【详解】解：A、点A在第一、三象限角平分线上，则其横纵坐标相等，即，解得，故选项A错误； B、点B在第二、四象限角平分线上，则其横纵坐标互为相反数，即，解得，故选项B错误； C、直线平行于x轴，则两点的纵坐标相等且横坐标不等，由得；由得，条件完全满足，故选项C正确； D、直线平行于y轴，则横坐标相等，即，解得，此时的长度为，令其等于3，解得或，选项D仅给出，未包含，故选项D错误； 故选：C． 11．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点在轴上，则 ． 【答案】2 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点在坐标轴上的特点，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：点在轴上， ∴， 解得，， 故答案为：2 ． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知y轴上及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上的坐标特征即可解决； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征即可解决． 【详解】（1）解：因为点在y轴上， 所以， 解得； （2）解：因为点坐标为且轴， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 题型五、已知两点坐标求两点距离 13．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知A（﹣4，2），B（1，2），则A，B两点的距离是（    ） A．3个单位长度 B．4个单位长度 C．5个单位长度 D．6个单位长度 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】直接利用两点间的距离公式即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴A、B两点之间的距离为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面内两点间距离的内容，熟悉掌握此公式是解题的关键． 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有、，那么 ． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点间的距离公式，解题的关键是掌握，，则，根据两点间的距离公式，即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， 故答案为：5． 15．（23-24八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴， ∴， 即为的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：， 故答案为：． 题型六、点坐标规律探索 16．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的变化规律，理解题意，并找出规律是解题的关键； 根据物体甲、乙的运动方向相反，得出甲乙每隔4秒相遇一次，再确定第2024次相遇时经过的时间，再由物体甲的运动规律，得出最终结果． 【详解】解：由题知，矩形的周长为， 由物体甲、乙的运动方向相反可知，甲乙每隔秒相遇一次， 当两个物体运动后的第2024次相遇时，经过的时间为秒， 物体甲运动一圈需秒， 又， 又物体甲从点A开始，按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动8秒后到达的位置为， 两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是， 故选：D． 17．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴，即； 故答案为： 18．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 【答案】（1）（2，0）；（4，0）；（6，0）；（2）（2n，0）；（3）向上 【知识点】点坐标规律探索 【分析】（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，求出OA4、OA8的长度，然后写出坐标即可； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2这一规律，写出点A4n的坐标即可； （3）根据2020÷4=505，可知从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致． 【详解】解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6， ∴A4（2，0），A8（4，0）；A12（6，0）； 故答案为：（2，0）；（4，0）；（6，0）； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2，这一规律写出， ∴点A4n的坐标（2n，0）； 故答案为：（2n，0）； （3）∵2020÷4=505，即：点A2020与点A4的位置保持一致， ∴从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致，为向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键． 题型七、由平移方式确定点的坐标 19．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化，掌握点的坐标变化规律是解题的关键．根据横坐标左减右加，纵坐标上加下减得到答案． 【详解】解：点先向右平移3个单位， 横坐标变为， 再向上平移2个单位， 纵坐标变为， 最后得到的点的坐标为， 故选：D． 20．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的平移，根据平移规则左减右加，上加下减，进行求解即可，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点， ∴，即， 故答案为：． 分层强化 一、单选题 1．平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：D 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边的长度． 2．在平面直角坐标系中，下列各点中位于第一象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征．根据四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，可得答案． 【详解】解：A．点在第二象限，故不符合题意； B．点在第一象限，符合题意； C．点在第三象限，故不符合题意； D．点在第二象限，故不符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到x轴的距离的计算，解题的关键是掌握“点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值”这一基本规律． 【详解】平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值．点 A 的坐标为，其纵坐标为，绝对值是，因此点A 到 x 轴的距离是 4． 故选：B． 4．将点向上平移个单位得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握平移规律：把一个点左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：将点向上平移个单位得到的点的坐标为，即． 故选：C． 5．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可． 【详解】解：∵的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点， ∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴的内部任意一点，则其对应点坐标一定是． 故选：C． 【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 6．下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上的点的坐标特点选择即可，熟记坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴这个点的横坐标为零，纵坐标为负的， ∴符合题意， 故选：B． 7．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：将点沿轴先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 故选：B． 8．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，以点B所在的位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系；根据所建立的坐标系可直接得出答案． 【详解】解：如图，由平面直角坐标系可知，点C的坐标为 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．现把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形的周长； 本题先求出四边形的周长为，再计算，得到余数为5，由此解题． 【详解】解：∵点，，，， ∴四边形的周长为， ∴， ∵，， ∴细线另一端所在位置的点在B点的下方3个单位的位置，即点； 故选：C 二、填空题 10．点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点所在的象限的判断，熟练掌握每个象限点的特征是解题的关键．根据每个象限点的坐标特征直接判断即可． 【详解】解：∵点， ∴点在第二象限． 故答案为：二 ． 11．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，分别对横坐标和纵坐标进行平移计算，从而得到点的坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握“右加左减，上加下减”（横坐标右移加、左移减；纵坐标上移加、下移减 ）是解题的关键． 【详解】解：点向右平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为，所以点的坐标为 ， 故答案为：． 12．如图，用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置，画出平面直角坐标系，再读取表示学校位置的点的坐标，即可作答． 【详解】解：∵用坐标表示邮局的位置，用坐标表示书店的位置， ∴画出平面直角坐标系，如图所示： ∴表示学校位置的点的坐标是， 故答案为： 13．如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点之间的距离公式．利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：， ， 即、两点的距离等于5， 故答案为：5． 14．在平面直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据点和点的坐标，得出、两点都在轴上，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，两点都在轴上， 又∵， ∴或， 即或． 故答案为： 或． 15．若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于3，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握“平行于x轴的直线上的点纵坐标相同"及"点到y轴的距离等于横坐标的绝对值"． 【详解】因M、N在平行于x轴的直线上，故纵坐标相等，即． 点N到y轴的距离为3，即，得或． ∴点N的坐标为或． 故答案为：或． 16．如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 18．请同学们自己动手画出平面直角坐标系，并在图中描出下列各点：A（-5，-3），B（4，0），C（4，2），D（0，-3），E（-6，2），F（1，-4）． 【答案】见解析 【分析】根据平面直角坐标系的定义以及点的坐标解答即可． 【详解】解：如图所示： ． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题时要注意准确描出点的坐标，由点的坐标确定图形的位置． 19．已知点P，根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点Q的坐标为（-3，3），直线PQx轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0求解即可； （2）根据直线PQx轴可知，点P、Q的纵坐标相等，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0，即 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线PQx轴， ∴点P、Q的纵坐标相等，即， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形，点的坐标的性质，掌握y轴上的点横坐标为0，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等是解题的关键． 20．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出三角形ABC各顶点的坐标：A_____，B______，C______ (2)三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？ (3)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)（1，3），（2，0），（3，1）； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位 (3)2 【分析】（1）直接写出个点的坐标，即可求解； （2）根据点A（1，3）的对应点为，即可求解； （3）用长方形的面积减去三角形ABC周围3个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A（1，3），B（2，0），C（3，1）； 故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）； （2）解：根据题意得：点A（1，3）的对应点为， ∴三角形是由三角形ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到的； （3）解：三角形ABC的面积= ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积． 21．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 【答案】(1)，，，； (2)， (3)向下． 【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标； （2）由，，，，归纳可得：点的坐标（n为正整数）为；由，，，，归纳可得：点的坐标为 ； （3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为：，，，； （2）∵，，，， 归纳可得：点的坐标（n为正整数）为； ∵，，，， 归纳可得：点的坐标为 ； （3）∵每四个点一个循环， 所以． ∴动点从点到点的移动方向是向下． 【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律． 22．（项目式学习·数学与生活融合）根据素材，完成活动任务． 探究方阵中各位置点的坐标表示 素材一：近日，振兴中学计划举办建校70周年庆活动，七年级的数学项目式小组成员通过商讨决定进行方阵变换表演，由60人参与，组成的长方形方阵。每人戴一顶红色的帽子，入场时全部戴上，然后，摆出建校时间“1945”方阵；对应37位同学戴红色帽子站立．其余同学摘掉帽子蹲下，保持方阵队形30秒后，变换到现在时间“2025”方阵；对应45位同学戴红色帽子站立，其余同学摘掉帽子蹲下． 素材二：1945方阵图 解决问题 任务一：若同学的位置用坐标表示为，同学的位置用坐标表示为，请建立合适的平面直角坐标系，并分别用坐标表示出同学、、的位置； 任务二：如果在“1945”方阵的基础上变换出“2025”方阵，要求起立和蹲下变换的同学尽可能少，请在任务一的基础上直接写出变化过程中需要站立和蹲下的同学对应的位置坐标． 【答案】任务一：平面直角坐标系见解析，，，； 任务二：需要站立的同学有12位，位置坐标分别为：，，，，，，，，，，，；需要蹲下的同学有4位，位置坐标分别为：，，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系—坐标与位置. 任务一：先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系表示出同学、、的位置即可； 任务二：“尽可能少”，即尽可能在原数上进行变化，据此判断即可. 【详解】任务一：建立平面直角坐标系如图所示： ∴，，； 任务二：需要站立的同学有12位，位置坐标分别为：，，，，，，，，，，，；需要蹲下的同学有4位，位置坐标分别为：，，，. 23．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$