1.5等腰三角形 （等边三角形） （巩固练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形（等边三角形） （巩固练习）（暑期自学课） 【典型例题】 【例1】等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【例2】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【例3】是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ． 【例4】如图，等边中，是上的点，于点， ． 【例5】已知，如图，等腰，，    (1)若______，则为等边三角形； (2)若______°，则为等边三角形； (3)若______°，则为等边三角形． 【例6】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【举一反三】 【变式1】根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【变式2】如图，将边长为2的等边沿边向右平移1个单位得到，则四边形的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 【变式4】如图，是正三角形，若，则　　． 【变式5】如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 【变式6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【巩固练习】 1.已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为，则它的周长是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 2.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 3.如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4.如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5. 已知：如图，在中，，，于点，且，则 是 三角形．    6.如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 7.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　　． 8.如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 9.如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 10.如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 11.如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 12.阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【例2】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【答案】D 【例3】是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ． 【答案】15 【例4】如图，等边中，是上的点，于点， ． 【答案】 【例5】已知，如图，等腰，，    (1)若______，则为等边三角形； (2)若______°，则为等边三角形； (3)若______°，则为等边三角形． 【答案】（1）解：∵三边相等的三角形是等边三角形， ∴当时，有， ∴为等边三角形； 故答案为：； （2）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴当，且时，为等边三角形； 故答案为：； （3）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴当，且时，为等边三角形； 故答案为：． 【例6】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【答案】C 【变式2】如图，将边长为2的等边沿边向右平移1个单位得到，则四边形的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【变式3】如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（　　） A．120° B．110° C．108° D．106° 【答案】A 【变式4】如图，是正三角形，若，则　　． 【答案】120° 【变式5】如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明：∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°， ∴∠BDC＝90°， ∵BD是中线， ∴AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【变式6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形； （2）证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB， ∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝EC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC， ∴点E在线段CD的垂直平分线上． 【巩固练习】 1.已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为，则它的周长是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 2.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【答案】C 3.如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） B． B． C． D． 【答案】B 5.已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 6.如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 【答案】 7.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝　　． 【答案】30° 8.如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【答案】 9.如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【答案】证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ， ∵， ， ，为等边三角形， ， ∴， ， ， ． 10.如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明：，垂足为D，，垂足为， 在和中， （）. ； （2）证明：由（1）可知， ， ，点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形． 11.如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 12.阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：由：，得： ， ， ， ， ， ，． 故答案为：； 1． （2）解：由得： ， ， ， ，； 已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知， 的周长为9． （3）解： 由， 配方可得， 即， ， ，     三角形为等边三角形. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$