专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类-2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 策略方法 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 题型训练 1．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． （二）不含参一元二次不等式的解法 策略方法 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 题型训练 4．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 题型训练 （1） 对二项式系数的讨论 7．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. （2） 对判别式的讨论 8．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 9．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． （3） 对两根大小的讨论 10．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 11．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 考点三 一元二次不等式的解集的应用 策略方法 1.三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 2.根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 题型训练 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 12．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 13．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 15．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 16．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 简单的分式不等式的解法 策略方法 1.简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 2.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 题型训练 18．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025高三·全国·专题练习）不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 21．（24-25高一下·陕西汉中·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 策略方法 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 题型训练 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 22．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 24．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 26．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 27．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·江西南昌·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． （3） 一元二次不等式的有解问题 30．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 31．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 考点六 一元二次方程的实根分布问题 策略方法 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 题型训练 32．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 33．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 34．（2025高三·全国·专题练习）关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 考点七 一元二次不等式的实际应用 策略方法 解不等式应用题的步骤 题型训练 36．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    38．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 39．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 策略方法 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 题型训练 1．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①为二次函数；②为一元一次不等式；③④为一元二次不等式. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． （二）不含参一元二次不等式的解法 策略方法 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 题型训练 4．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 6．（24-25高一下·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式结合一元二次不等式的解法计算求解. 【详解】， 化简得，， 故选：B． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 题型训练 （1） 对二项式系数的讨论 7．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2） 对判别式的讨论 8．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 9．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知方程的两根为，． 由韦达定理，可知，解得． （2）令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为： 或. 综上所述，①当时，不等式的解集为； ②当或时，不等式的解集为 或. （3） 对两根大小的讨论 10．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 11．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 考点三 一元二次不等式的解集的应用 策略方法 1.三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 2.根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 题型训练 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 12．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 13．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 14．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 15．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【详解】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 16．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 17．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解，结合两根大小关系，对分类讨论即可求解. 【详解】不等式可化为， ①时，不等式的解集为，不合题意； ②当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得； ③当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得． 综上可知，正数的取值范围为或． 故选：C 考点四 简单的分式不等式的解法 策略方法 1.简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 2.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 题型训练 18．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 19．（2025高三·全国·专题练习）不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由，得到，整理得到， 等价于且，解得， 故选：C. 20．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】化简式子可得，然后直接计算. 【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 故选：B 21．（24-25高一下·陕西汉中·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【详解】因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 策略方法 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 题型训练 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 22．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件可推出“”，根据充分条件、必要条件的定义可判断出答案. 【详解】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立； 必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立. 因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 23．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 24．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 25．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 26．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 27．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以成立. 令，得在恒成立， 所以，所以， ，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 28．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 29．（24-25高一上·江西南昌·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题“，”为真命题的充要条件，再判断. 【详解】若命题“，”为真命题，即，对恒成立，可得， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件为选项A. 故选：A. （3） 一元二次不等式的有解问题 30．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 31．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 考点六 一元二次方程的实根分布问题 策略方法 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 题型训练 32．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 33．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 34．（2025高三·全国·专题练习）关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【答案】 【分析】利用判别式大于零且两根之积小于零列不等式组求解即可. 【详解】因为关于x的方程，有一正根一负根， 所以，即，解得． 故所求实数的取值范围为． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 考点七 一元二次不等式的实际应用 策略方法 解不等式应用题的步骤 题型训练 36．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 37．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 38．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 39．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. $$