专题24 同角三角函数的基本关系7种常见考法归类讲义（55题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题24 同角三角函数的基本关系7种常见考法归类（55题） （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 考点二 利用平方关系求参数 考点三 利用同角三角函数的基本关系化简、求值 考点四 正、余弦齐次式的计算 考点五 由条件等式求正、余弦 考点六 sinθ±cosθ型求值问题 考点七 三角函数恒等式的证明 知识点1：同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 知识点2：关系式的常用等价变形 1、 2、 策略方法 1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 2、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 3、正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 4、sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 5、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 1．（2025高二·湖北·学业考试）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系得出，再根据商数关系即可求解． 【解析】因为，且是第四象限角，所以， 所以， 故选：A． 2．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【解析】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 3．（25-26高三·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【解析】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角． 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可． 【解析】（1）已知，并且是第三象限的角， ，， ． （2）已知，并且是第二象限的角， ，， ． 5．（2025高一·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知角在第二象限，所以，结合以及解出即可. 【解析】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①   ② 联立解得：， 故选：D. 6．（2025高一·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【解析】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 7．（2025·河南信阳模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可. 【解析】由题知，，解得， 则， 故选：A. 8．（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：将正切变换为正弦和余弦，结合平方和为1，解方程即可； 方法二：先求的平方，然后进行齐次化可变成关于的式子，代入求解，结合角的范围再开方即可. 【解析】方法一：由题意，知，，故，． 又，所以，．所以． 故选：C 方法二：因为，所以，故， 则， 所以． 故选：C 9．（2025高一·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，即可求解. 【解析】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A. 10．【多选】（2025高一·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解判断各选项即可. 【解析】由，，得，， 又，， 解得，，故A正确，B错误， 则，，故C正确，D错误. 故选：AC. 考点二 利用平方关系求参数 11．（2025高一·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【解析】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 12．（2025高一·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【解析】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 13．（2025高一·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【解析】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 14．（2025高一·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【解析】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 15．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 【答案】/ 【分析】利用韦达定理及同角公式列式计算并验证得解. 【解析】由方程有两根，得，解得， 依题意，，则，解得，符合题意， 所以实数等于. 故答案为： 考点三 利用同角三角函数的基本关系化简求值 16．（25-26高一·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【解析】原式 ． 故选：C. 17．（25-26高三·辽宁·阶段练习）已知是钝角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，结合是钝角可求得的值. 【解析】因为为钝角，则，， 所以 ， 故， 由题意可得，解得， 故选：D. 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是方程的两根，则 . 【答案】0 【分析】利用根与系数关系有，，根据同角三角函数关系得，最后应用同角关系化简目标式求值. 【解析】由题意，且，， 由，则，即， 所以. 故答案为：0 19．（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)． (2)1 (3)1 (4)1 (5)． 【分析】（1）将正切化为正弦和余弦，结合即可化简； （2）将正切化为正弦和余弦，结合即可求值； （3）利用化简即可； （4）将正切化为正弦和余弦，结合即可求值； （5）将变为，再配方及提公因式即可化简. 【解析】（1） ； （2）； （3）； （4）； （5） ． 20．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可； （2）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可. 【解析】（1）若，则，， 所以 . （2）若，则，， 所以 . 考点四 正、余弦齐次式的计算 21．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】对式子的分子分母同除以，再代入求解即可. 【解析】因为，所以， 则． 故选： 22．（25-26高二·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出及，再利用齐次式法求出目标值. 【解析】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 23．（25-26高三·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【分析】由正余弦的齐次式转化为正切即可得解. 【解析】因为， 所以. 故选：C 24．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 3 / 【分析】解法一：化弦为切将变为，将变为，然后把代入求解即可. 解法二：按照角的终边在第一、三象限分类讨论求出，代入和求解即可. 【解析】解法一：因为，所以； ． 解法二：因为，所以角的终边在第一、三象限， 在第一象限时，不妨设为锐角，则直角三角形的两直角边长分别为1，2， 则斜边长为，所以，有， ． 同理在第三象限时，，，有， ． 综上，． 故答案为：3； 25．（25-26高二·云南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】由已知求得，化为二次齐次式，再化为的代数式，求解即可. 【解析】因为，所以， 所以. 故选：D. 26．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用商数关系齐次化后可求. 【解析】由题可得，则，解得或． 故选：D. 27．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据同角三角函数关系，由平方关系求出余弦，再由商数关系求出正切. (2)把分子1转换为,在由弦化切,求出结果. 【解析】（1）已知是第二象限角，, ,. （2）, ,. 28．（2025高一·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【解析】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 29．（2025高一·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用条件化简得出，再利用齐次化的思想解决剩余两问. 【解析】（1）若，则不符合题意，故， 则由可得，得； （2）； （3） 30．（2025高一·全国·课堂例题）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解； （2）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解； （3）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解. 【解析】（1）. （2）. （3）. 考点五 由条件等式求正、余弦 31．（2025·广东汕头模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【解析】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 32．（2025·广东肇庆模拟预测）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由联立可得. 【解析】由得， 由得， 化简得，得 故选：B. 33．（2025高一·浙江金华·阶段练习）已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】由，得， 又，所以. 故选：A. 34．（2025高一·福建泉州·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可. 【解析】由题意，所以， 化简得，因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 35．（2025高三·安徽六安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解. 【解析】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以， 所以. 故选：D 36．（2025高一·河南新乡·期末）已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】C 【分析】先联立，解出，的值，再把，的值代入表达式求解即可. 【解析】联立， 解得或， 当，时， ； 当，时， . 故选：C. 37．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，则，代入即可求解. 【解析】，则， 解得或（舍去）， 故，. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题. 38．（2025高一·河南·阶段练习）已知,则（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用同角三角函数关系式求出，，从而可得结果. 【解析】∵，∴，，，，所以. 故选：B. 39．（2025·河南安阳模拟预测）若，则 A．-1 B．1 C． D．-1或 【答案】C 【解析】由已知得，，，，∴，故选C. 点睛：在用平方关系求值时，需确定的范围，以确定它们的正负，本题中由已知条件知可得，从而不必再讨论的范围，这是我们在解题时需要时常注意的，并不是什么时候都要分类讨论的. 40．（2025高一·云南保山·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【解析】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 考点六 sinθ±cosθ型求值问题 41．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式平方，利用同角三角函数基本关系求出，再通过的定义建立方程求解，结合角的范围确定正切值. 【解析】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选： 42．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【解析】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 43．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】方法1，由题可得是方程的两根，解方程后可得答案； 方法2，由题可得，后由齐次式求值方法可得答案. 【解析】解法1：由， 得，则是方程的两根， 该方程可化为，解得． 又时，，从而，． 所以． 解法2：由方法1，，则. 又，又， 得，从而，得， 所以 ． 故答案为： 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【解析】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确． 又，所以， 所以由，解得，故C错误， 所以，，故A错误，D错误， 故选：B． 45．（2025高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，结合条件可得，令，从而可得，即可求解. 【解析】设，则． 因为，所以，得到， 又，所以． 设，则， 因为，所以， 又，则，所以， 故答案为：. 46．【多选】（2025高一·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【解析】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 47．【多选】（2025高一·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可. 【解析】对A：因为，则， 所以， 又因为，则，，所以，故A正确； 对D：可得，且， 所以，故D错误； 对B：联立，可得，，故B正确； 对C：可得，故C正确. 故选：ABC. 48．【多选】（2025高一·内蒙古·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断 【解析】由已知可得，则，所以，故AB正确； 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 49．【多选】（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合正余弦值的符号逐项计算判断. 【解析】由，得，解得，B错误； 由，得，则，A正确； ，D错误； ，则，C正确. 故选：AC 50．【多选】（2025高一·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D. 【解析】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 故选：BD 考点七 三角函数恒等式的证明 51．（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】从左向右证，先对左边分母中的1进行常值代换，然后再化弦为切即可得证. 【解析】左边 右边. ∴原等式成立. 52．（25-26高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 53．（2025高一·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【解析】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 54．（2025高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【解析】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 55．（2025高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题24 同角三角函数的基本关系7种常见考法归类（55题） （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 考点二 利用平方关系求参数 考点三 利用同角三角函数的基本关系化简、求值 考点四 正、余弦齐次式的计算 考点五 由条件等式求正、余弦 考点六 sinθ±cosθ型求值问题 考点七 三角函数恒等式的证明 知识点1：同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 知识点2：关系式的常用等价变形 1、 2、 策略方法 1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 2、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 3、正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 4、sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 5、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值 1．（2025高二·湖北·学业考试）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角． 5．（2025高一·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南信阳模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 9．（2025高一·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 10．【多选】（2025高一·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 利用平方关系求参数 11．（2025高一·全国·课后作业）已知，，则 ． 12．（2025高一·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 13．（2025高一·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 14．（2025高一·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 15．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 考点三 利用同角三角函数的基本关系化简求值 16．（25-26高一·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三·辽宁·阶段练习）已知是钝角，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是方程的两根，则 . 19．（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 20．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 考点四 正、余弦齐次式的计算 21．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ）． A．3 B． C． D． 22．（25-26高二·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 23．（25-26高三·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 24．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 25．（25-26高二·云南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C．8 D． 26．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 27．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 28．（2025高一·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 29．（2025高一·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 30．（2025高一·全国·课堂例题）已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 考点五 由条件等式求正、余弦 31．（2025·广东汕头模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广东肇庆模拟预测）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·浙江金华·阶段练习）已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（2025高一·福建泉州·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 35．（2025高三·安徽六安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 36．（2025高一·河南新乡·期末）已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 37．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 38．（2025高一·河南·阶段练习）已知,则（ ）. A． B． C． D． 39．（2025·河南安阳模拟预测）若，则 A．-1 B．1 C． D．-1或 40．（2025高一·云南保山·期末）已知，，则 ． 考点六 sinθ±cosθ型求值问题 41．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 42．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 43．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 45．（2025高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，，则的取值范围是 ． 46．【多选】（2025高一·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 47．【多选】（2025高一·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．【多选】（2025高一·内蒙古·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 49．【多选】（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 50．【多选】（2025高一·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点七 三角函数恒等式的证明 51．（2025高三·全国·专题练习）求证：. 52．（25-26高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 53．（2025高一·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 54．（2025高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 55．（2025高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). $