第32讲 等差数列讲义-2026届高三数学一轮复习

第32讲　等差数列 【知识梳理】　 1.等差数列中的有关公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则 等差数列定义式 　　　　　　(d为常数)  等差中项 A=　　　　(A是a与b的等差中项)  通项公式 　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　 　　　　　  前n项和公式 Sn=　　　　　　=　　　　　　　　　  2.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an=　　　　　=　　　　.  (2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成　　　　数列.  3.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an=　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的　　　　,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的一群　　　　的点.  注:当d>0时,{an}是　　　　数列;当d<0时,{an}是　　　　数列;当d=0时,{an}是　　　　数列.  (2)前n项和公式可变形为Sn=　　　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的　　　　　,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一群　　　　的点.  注:若a1>0,d<0,则Sn存在最　　　　值;若a1<0,d>0,则Sn存在最　　　　值.  常用结论 等差数列的性质 1.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,Sn是{an}的前n项和,则有以下结论: (1){a2n}是等差数列,公差为2d1. (2){pan+qbn}(p,q都是常数)是等差数列,且公差为pd1+qd2. (3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md1的等差数列. (4)是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是d1. (5)数列{pan},{an+q}(p,q都是常数)都是等差数列,且公差分别为pd1,d1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质: (1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=. (2)若项数为2n-1(n≥2),则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. 3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则它们之间的关系为=. 4.数列{an}是等差数列,公差d=2A⇔{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数). 考点01　等差数列的基本量运算 例1 (1)已知公差大于0的等差数列{an}的前6项和为-24,a2a5=7,则a7= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  (3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S7=70,a2+a8=26,则{an}的公差d= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点02　等差数列的判定与证明 例2 数列{an}的前n项和记为Sn,已知2Sn=2nan+n(n-1),n∈N*. (1)求证:{an}是等差数列; (2)若a1-2,2a6,4a9成等差数列,求{an}的通项公式. 考点03　等差数列及其前n项和的性质 例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7= (　 ) A.-2 B. C.1 D. (2)在等差数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a4+a13=6+a5,则S23= (　 ) A.118 B.128 C.138 D.148 （3）已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 例4 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S6=24,S9=21S3,则S12= (　 ) A.144 B.120 C.108 D.96 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,且S3=S16,则Sn取最大值时,n= (　 ) A.9 B.10 C.9或10 D.10或11 限时训练 (时间:45分钟) 1.已知等差数列{an}满足a3+a7=32,a6-a4=6,则a1= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.2 B.4 C.6 D.8 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10-S3=35,a3+a10=7,则{an}的公差为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,=3,则= (　 ) A. B.7 C.14 D. 4.已知数列{an}满足an+2+an-2an+1=0,a7+a11=a8,则{an}的前19项和S19= (　 ) A.0 B.8 C.10 D.19 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3 =3,S6=10,则S9 = (　 ) A.13 B.17 C.21 D.23 6.已知等差数列{an}中,|a6|=|a15|,且公差d<0,则{an}的前n项和Sn取得最大值时的n的值为 (　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,若Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*),则a9= (　 ) A.9 B.1 C.8 D.45 8.已知数列{an},{bn}都是等差数列,记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,且=,则= (　 ) A. B. C. D. 9.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,an+1=an+1,S5=-35,则 (　 ) A.a7=-3 B.S8=S12 C.对任意的n∈N*,Sn≥S9恒成立 D.对任意的m∈N*,3Sm+S3m=3S2m恒成立 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,若是等差数列,且S10=0,S8=2S4+8,则a1=　　　　.  11.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则下列结论错误的是 (　 ) A.{an}是递增数列 B.a7>0 C.当Sn取得最大值时,n=7 D.|a7|>|a8| 12.已知数列{an},bn=an+an+1,若{bn}是等差数列,则称{an}是“邻和等差数列”.例如,数列1,2,4,5,7,8,10为“邻和等差数列”.已知数列{an}是“邻和等差数列”,Sn是其前n项和,且a1=0,a2=1,a3=4,则S200=　　　　.  13.已知数列{an}是等差数列,bn=记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,若S3=18,T2=10,则T20=　　　　 .  14.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*). (1)证明是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的项取得最大值时的n的值. 参考答案 1.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,∵2a5=a3+a7=32,∴a5=16,∵2d=a6-a4=6,∴d=3,∴a1=a5-4d=4.故选B. 2.C　[解析] 由S10-S3=35,得a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=35,则7a7=35,则a7=5.由a3+a10=7,得a6+a7=7,则a6=2,则{an}的公差d=a7-a6=3.故选C. 3.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由=3,得=3,解得a1=-d,则=====7.故选B. 4.A　[解析] 由an+2+an-2an+1=0,得2an+1=an+2+an,所以数列{an}为等差数列.因为a7+a11=a8+a10且a7+a11=a8,所以a10=0,所以S19===19a10=0.故选A. 5.C　[解析] 由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+S9-S6,所以S9=21.故选C. 6.C　[解析] 因为|a6|=|a15|,且d<0,所以a6>0>a15,得a6+a15=0,所以a10+a11=a6+a15=0,则a10>0,a11<0,故等差数列{an}的前10项均为正数,后面的项都为负数,故Sn取得最大值时的n的值为10.故选C. 7.B　[解析] 在Sn+Sm=Sn+m中,令m=1,可得Sn+S1=Sn+1,即Sn+1-Sn=S1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公差为1的等差数列,所以Sn=1+(n-1)×1=n,则a9=S9-S8=1.故选B. 8.C　[解析] 由=,可得==,因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以不妨令Sn=(5n2-2n)t(t>0),Tn=3n2t,所以a7=S7-S6=(5×72-2×7-5×62+2×6)t=63t,b5=T5-T4=(3×52-3×42)t=27t,所以==.故选C. 9.ACD　[解析] 由an+1=an+1,得an+1-an=1,则{an}是公差为1的等差数列.由S5=-35,得5a1+×1=-35,解得a1=-9,所以an=-9+(n-1)×1=n-10,Sn==.对于A,a7=-3,A正确;对于B,S8=-44≠S12=-42,B错误;对于C,显然数列{an}是递增数列,由an≥0,得n≥10,因此Sn≥S9=S10,C正确;对于D,由等差数列的性质得Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)成等差数列,则2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,得3Sm+S3m=3S2m,D正确.故选ACD. 10.-　[解析] 设的公差为d,由S8=2S4+8,得=+1,则4d=-=1,∴d=.又S10=0,∴=0,由=+9d=0,得S1=-9d=-,∴a1=S1=-. 11.AD　[解析] 由S13=13a7>0,得a7>0,故B中结论正确;由S14=7(a7+a8)<0,得a8<0,则{an}的公差d=a8-a7<0,所以数列{an}是递减数列,故A中结论错误;因为a7>0,a8<0,数列{an}是递减数列,所以当n=7时,Sn最大,故C中结论正确;因为a7>0,a7+a8<0,所以|a7|<|a8|,故D中结论错误.故选AD. 12.39 700　[解析] 由a1=0,a2=1,a3=4,得b1=1,b2=5,则{bn}的公差为b2-b1=4,所以bn=4n-3=an+an+1,故S200=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a199+a200)=b1+b3+…+b199=1+9+…+793==39 700. 13.370　[解析] 设等差数列{an}的公差为d.由S3=18,得3a1+3d=18①,由T2=10,得a1-8+2a2+1=a1-8+2(a1+d)+1=10,所以3a1+2d=17②,由①②解得a1=5,d=1,所以an=a1+(n-1)d=5+(n-1)×1=n+4.则bn=所以T20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49)=×10+×10=370. 14.解:(1)由an+1=,可得an+1-2=-2=,易知an≠2, 所以=+1,即-=1. 由a1=,可得=2, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列. 所以=2+(n-1)·1=n+1, 则an=+2=,即数列{an}的通项公式为an=. (2)由(1)知an=,可得bn==×=(n+1)×, 因为b1=<b2=,所以b1不是最大项, 设{bn}的第n(n≥2)项最大,则 可得解得8≤n≤9,又n∈N*,所以n=8或n=9,所以数列{bn}的项取得最大值时的n的值为8或9. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$