第2章 有理数及其运算（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册优选题练习卷（2024新教材）

2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材） 第2章 有理数及其运算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．12 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再根据相对面上的两个数互为相反数，求出a、b的值，然后代入代数式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意可得， ，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可． 【规范解答】解：绝对值不大于的整数有：、、、、、、， 则绝对值不大于的所有整数的积等于， 故选：B． 3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下面结论正确的是（   ） A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数 B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数 C．平方等于它本身的数只有1 D．绝对值等于其本身的有理数是非负数 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．根据有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值的性质逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，则此项结论错误，不符合题意； B、数轴上的每一个点均表示一个确定的数，但不一定是有理数，则此项结论错误，不符合题意； C、平方等于它本身的数有0和1，则此项结论错误，不符合题意； D、绝对值等于其本身的有理数是非负数，则此项结论正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘法、有理数的加减法、数轴和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据数轴的特点、绝对值的性质以及有理数的乘法法则、有理数的加减法法则进行解题即可． 【规范解答】解：根据数轴可知且， A、，选项正确，不符合题意； B、，选项错误，符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 【规范解答】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正数和整数的定义，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断①；根据当时，，此时不是负数，可判断②；根据不是正数的数还包括负分数可判断③；根据绝对值的几何意义可判断④；根据有理数的乘法计算法则可判断⑤，然后即可求解； 【规范解答】解：①只有符号相反的数互为相反数，原说法错误； ②不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误； ③不是正数的数还包括负分数，分数并不属于整数，原说法错误； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积不一定为正数，例如有乘数为0时，结果为0，不是正数，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 7．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【规范解答】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 8．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【规范解答】解：由已知得， 故选C． 9．（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决． 【规范解答】解：A．，计算正确，选项不符合题意； B．，计算正确，选项不符合题意； C．，计算正确，选项不符合题意； D．，计算错误，选项符合题意； 故选：D． 10．（22-23七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【规范解答】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【考点剖析】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查的是有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义列式计算即可． 【规范解答】解：， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移 米．（π取3.14） 【答案】7.85 【思路引导】本题考查圆的周长，根据圆的周长公式，根据第二跑道的周长-第一跑道的周长列式计算即可． 【规范解答】解： （米）． 故答案为：7.85． 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 【答案】32或5/5或32 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答． 【规范解答】解：第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；（不符合题意）． 第2步运算前的数：；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；． 故正整数的值是32或5． 故答案为：32或5． 14．（24-25七年级上·河南周口·期中）若，则a，的大小关系用“<”连接为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方运算的含义，根据，可得，，，从而可得答案. 【规范解答】解：∵， ∴，，， ∴； 故答案为：. 15．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中，等于十进制中的数5，请问二进制中的1011101等于十进制中的 ． 【答案】93 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，依照示例进行计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：93． 16．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【规范解答】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 17．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    【答案】 【思路引导】首先根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 【考点剖析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 18．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】 2或3 【思路引导】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可. 【规范解答】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且， ∴， ∴， ∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，符合题意；此时的乘积为； 故答案为：2或3； 【考点剖析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，包括减法法则、乘方运算以及乘法分配律的应用．熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）解题思路是先将分数化为小数或者将小数化为分数，使式子中的数形式统一，然后按照有理数的减法法则将减法转化为加法进行计算． （2）根据四则运算的优先级，先计算乘方，再利用乘法分配律计算，最后进行加法运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题6分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝 (3)该厂工人这一周的工资总额是14225元 【思路引导】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）比较出记录中的数的最大数即可判断； （2）用记录中的最大数减去最小数即可； （3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【规范解答】（1）∵ ∴该厂生产风筝最多的一天是星期四． 故答案为：四； （2）只 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （3）只， 元． 答：该厂工人这一周的工资总额是14225元． 21．（本题8分）（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： ；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22，1001101 (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，仿照二进制转十进制的方法列式计算是关键． （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【规范解答】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是 ， 故答案为：22； 将十进制数“77”转化为二进制数是 故答案为：1001101； （2）解：二进制的两个数相加：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为（天）． 22．（本题8分）（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【规范解答】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 23．（本题8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【规范解答】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 24．（本题8分）（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【思路引导】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 25．（本题10分）（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；1；②1275 【思路引导】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【规范解答】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【考点剖析】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 26．（本题10分）（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)；或； (3)①，；②或． 【思路引导】（）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解； （）①根据两点的距离，求得点 所对应的数，代入进行计算即可求解；②分点在点的左边和右边时，分别求得点所对应的数，代入进行计算即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴； 当时，， ∴； 当时，， 该种情况不存在； 当时，， ∴； 综上，或； 故答案为：；或； （3）解：①∵为原点，，， ∴所对应的数为，所对应的数为， 故答案为：，； ②∵是原点，且， ∴点所对应的数为或， 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 综上，的值为或． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材） 第2章 有理数及其运算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．12 D．2 2．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下面结论正确的是（   ） A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数 B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数 C．平方等于它本身的数只有1 D．绝对值等于其本身的有理数是非负数 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 9．（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移 米．（π取3.14） 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 14．（24-25七年级上·河南周口·期中）若，则a，的大小关系用“<”连接为 ． 15．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中，等于十进制中的数5，请问二进制中的1011101等于十进制中的 ． 16．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 17．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    18．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算 (1)； (2) 20．（本题6分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 21．（本题8分）（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： ；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 22．（本题8分）（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 23．（本题8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 24．（本题8分）（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 25．（本题10分）（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 26．（本题10分）（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$