专题2.8 有理数及其运算（章节复习）知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共79题2025-2026学年北师大版数学七年级上册

专题2.8 有理数及其运算（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共79题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：正数和负数 3 知识点梳理02：有理数 3 知识点梳理03：数轴 3 知识点梳理04：相反数 4 知识点梳理05：绝对值 4 知识点梳理06：加法法则 5 知识点梳理07：加法运算定律 5 知识点梳理08：减法法则 5 知识点梳理09：乘法法则 5 知识点梳理10：乘法运算定律 5 知识点梳理11：倒数 6 知识点梳理12：除法法则 6 知识点梳理13：乘方法则运算 6 知识点梳理14：混合运算 6 知识点梳理15：科学计数法 6 优选题型 考点讲练 7 考点1：正、负数的实际应用 7 考点2：用数轴上的点表示有理数 8 考点3：利用数轴表示有理数的大小 9 考点4：数轴上点的平移（动点问题） 9 考点5：数轴上的规律探究 10 考点6：化简多重复号 10 考点7：绝对值得几何意义 11 考点8：绝对值的非负性 12 考点9：有理数的大小比较 13 考点10：有理数的加减混合运算 13 考点11：有理数加减中的简便运算 15 考点12：有理数加减法混合运算的应用 16 考点13：根据点在数轴上的位置判断式子的正、负 17 考点14：多个有理数的乘法运算 17 考点15：有理数乘法的实际应用 18 考点16：有理数的除法运算 19 考点17：有理数的除法的实际应用 20 考点18：有理数乘除混合运算 21 考点19：有理数乘除中的简便运算 22 考点20：有理数四则混合运算 23 考点21：有理数四则混合运算的实际应用 24 考点22：根据点在数轴上的位置判断式子的符号 25 考点23：有理数的乘方运算 25 考点24：乘方的应用 26 考点25：用科学计数法表示绝对值大于1的数 26 考点26：将用科学计数法表示的数还原 26 考点27：算“24”点 27 考点28：含乘方的有理数混合运算 28 考点29：程序流程图与有理数计算 29 考点30：求一个数的近似数 30 考点31：求近似数的精确度 30 考点32：近似数推断取值范围 31 中考真题 实战演练 31 难度分层 拔尖冲刺 32 基础夯实 32 培优拔高 34 知识点梳理01：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点梳理02：有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点梳理03：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点梳理04：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点梳理05：绝对值 （1） 几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点梳理06：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点梳理07：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点梳理08：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点梳理09：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点梳理10：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点梳理11：倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点梳理12：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点梳理13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点梳理14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点梳理15：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 考点1：正、负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【变式训练】（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 考点2：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【变式训练】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小：，，，4 ______<______<______<______ 考点3：利用数轴表示有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·期中）在如图的数轴上表示下列各数：，，，，．并用“>”连接起来． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 考点4：数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 考点5：数轴上的规律探究 【典例精讲】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 考点6：化简多重复号 【典例精讲】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【变式训练】（24-25七年级上·新疆克孜勒苏·期中）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“”连接． 考点7：绝对值得几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 考点8：绝对值的非负性 【典例精讲】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】．（23-24七年级上·陕西西安·期中）点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 考点9：有理数的大小比较 【典例精讲】下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： .（填“”、“”或“”） 考点10：有理数的加减混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解题：求的值可用下面的两种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，，于是得． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值； (2)用合理的方法计算：； (3)用合理的方法计算：． 考点11：有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式训练】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 考点12：有理数加减法混合运算的应用 【典例精讲】（20-21七年级上·江西南昌·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 考点13：根据点在数轴上的位置判断式子的正、负 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 考点14：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． (1)①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 考点15：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km 0 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 考点16：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）运用运算律进行简便计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 考点17：有理数的除法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 考点18：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【变式训练】．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）计算 (1) (2) (2) (4) (5) (6) 考点19：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 考点20：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）下面各题怎么算简便就怎么算． (1) ； (2)； (3)． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 考点21：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 3 2 1 -0.5 -1.5 5 6 (1)该生周三使用电子产品用了多少个小时? (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时? (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时? 考点22：根据点在数轴上的位置判断式子的符号 【典例精讲】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）（1）计算：； （2）用点A，，分别表示有理数，，，且它们在数轴上的位置如图所示．比较，，的大小（用“”连接）并在横线上填“”、“”或“”：＿0，＿0． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 考点23：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）在7，0，，，，中，负数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）化简下列各数：①，②，③的倒数，④的相反数，将化简后的各数在数轴上表示出来，再用“”连接起来． 化简：① ② ③ ④ 将化简后的数在数轴上表示： 用“”连接起来 考点24：乘方的应用 【典例精讲】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【变式训练】（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 考点25：用科学计数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·四川巴中·期末）我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 考点26：将用科学计数法表示的数还原 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【变式训练】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 考点27：算“24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【变式训练】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 考点28：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 考点29：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 考点30：求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【变式训练】（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 考点31：求近似数的精确度 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【变式训练】（22-23七年级上·河南驻马店·期中）下列说法：①表示负数；②0. 050精确到百分位；③的系数是；④是四次三项式；⑤若，则；⑥和都是整式，错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点32：近似数推断取值范围 【典例精讲】（21-22六年级上·全国·课后作业）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 【变式训练】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 1．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 2．（2021·贵州黔东南·中考真题）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截至2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为 ． 3．（2021·湖南常德·中考真题）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 4．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 5．（2023·山东滨州·中考真题）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知算式的值为正数，则“”内应填入的运算符号为（   ） A．+ B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完．这本故事书共有 页． 4．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 5．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了汽车每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_____千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 培优拔高 6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）有理数，的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 9．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又对又快． 下面是三名同学给出的不同解法： 小强：原式； 小丽：原式； 小红：原式． 对比以上三种解法，请你选择其中你喜欢的方法计算． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 有理数及其运算（章节复习） （知识梳理+32个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共79题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：正数和负数 3 知识点梳理02：有理数 3 知识点梳理03：数轴 3 知识点梳理04：相反数 4 知识点梳理05：绝对值 4 知识点梳理06：加法法则 5 知识点梳理07：加法运算定律 5 知识点梳理08：减法法则 5 知识点梳理09：乘法法则 5 知识点梳理10：乘法运算定律 5 知识点梳理11：倒数 6 知识点梳理12：除法法则 6 知识点梳理13：乘方法则运算 6 知识点梳理14：混合运算 6 知识点梳理15：科学计数法 6 优选题型 考点讲练 7 考点1：正、负数的实际应用 7 考点2：用数轴上的点表示有理数 9 考点3：利用数轴表示有理数的大小 10 考点4：数轴上点的平移（动点问题） 11 考点5：数轴上的规律探究 13 考点6：化简多重复号 14 考点7：绝对值得几何意义 15 考点8：绝对值的非负性 18 考点9：有理数的大小比较 21 考点10：有理数的加减混合运算 22 考点11：有理数加减中的简便运算 24 考点12：有理数加减法混合运算的应用 26 考点13：根据点在数轴上的位置判断式子的正、负 28 考点14：多个有理数的乘法运算 29 考点15：有理数乘法的实际应用 31 考点16：有理数的除法运算 33 考点17：有理数的除法的实际应用 35 考点18：有理数乘除混合运算 37 考点19：有理数乘除中的简便运算 39 考点20：有理数四则混合运算 42 考点21：有理数四则混合运算的实际应用 45 考点22：根据点在数轴上的位置判断式子的符号 46 考点23：有理数的乘方运算 47 考点24：乘方的应用 48 考点25：用科学计数法表示绝对值大于1的数 49 考点26：将用科学计数法表示的数还原 50 考点27：算“24”点 51 考点28：含乘方的有理数混合运算 52 考点29：程序流程图与有理数计算 55 考点30：求一个数的近似数 57 考点31：求近似数的精确度 58 考点32：近似数推断取值范围 59 中考真题 实战演练 61 难度分层 拔尖冲刺 63 基础夯实 63 培优拔高 66 知识点梳理01：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点梳理02：有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点梳理03：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点梳理04：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点梳理05：绝对值 （1） 几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点梳理06：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点梳理07：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点梳理08：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点梳理09：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点梳理10：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点梳理11：倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点梳理12：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点梳理13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点梳理14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点梳理15：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 考点1：正、负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】(1)比个少做个引体向上 (2) (3)多在课余时间加强锻炼 【思路引导】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． 【规范解答】（1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 【变式训练】（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【规范解答】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 考点2：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【答案】(1)D， (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加法、减法、数轴；关键是能利用数轴准确表示有理数，并能列式计算 （1）根据点B表示的数和的值即可求出点D表示的数，进而求得原点的位置，然后根据A在点B左侧即可解答； （2）根据的长度即可求单位长度． 【规范解答】（1）解：点B表示的数为，， 点C表示的数为：，点D表示的数为：， ∴原点所在的位置是点处； 点A表示的数为：， 故答案为：，， （2）当点D表示的数是32，点B表示的数为． ， 相邻两点之间的距离， ． 【变式训练】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小：，，，4 ______<______<______<______ 【答案】，，，4，数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，先根据绝对值的性质求出，然后再把这些数在数轴上表示出来，最后根据有理数的大小比较方法用“<”连接起来即可． 【规范解答】解：， 把这些数在数轴上表示为： 按从小到大的顺序连接起来为： 故答案为：，，，4 考点3：利用数轴表示有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·期中）在如图的数轴上表示下列各数：，，，，．并用“>”连接起来． 【答案】见解析， 【思路引导】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边比左边的大，比较大小即可． 【规范解答】解：，在数轴上表示各数，如图： 由数轴可知：． 【考点剖析】本题考查用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，正确化简各数是解答本题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴结合移动方向，可得答案； （2）先表示表示的数，再表示各数，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意，得点C表示的数为0，点D表示的数为． 点C，D的位置如图①所示． （2）解：由题意可得：表示的数为， ∴点E的位置如图②所示． 用“<”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来为． 考点4：数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【思路引导】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 考点5：数轴上的规律探究 【典例精讲】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【规范解答】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【规范解答】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 考点6：化简多重复号 【典例精讲】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据数轴的意义，写出有理数即可： （2）根据数轴的意义，，再数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上，靠近右边的数大于其左边的数，解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：，数轴表示如下： （3）解：根据题意，得． 【变式训练】（24-25七年级上·新疆克孜勒苏·期中）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“”连接． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值、去括号、利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先化简绝对值、去括号，再将这些数在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小即可得． 【规范解答】解：，， 在数轴上把下列各数表示出来如下： 则． 考点7：绝对值得几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【思路引导】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【规范解答】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【思路引导】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 考点8：绝对值的非负性 【典例精讲】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【规范解答】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 【变式训练】．（23-24七年级上·陕西西安·期中）点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【答案】(1) (2)52.5 (3)78，． 【思路引导】本题综合考查了多项式、动点在数轴上的表示的数及线段长之间的关系等问题，综合性较强，难度较大． （1）利用非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值； （2）由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； （3）分四种情况化简式子，可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ∵多项式是五次四项式， 故答案为：； （2）点P，M相遇时间， 点所走路程：（单位长度）． 故点所走的路程为52.5单位长度． （3）将代入， 可得 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∴当时，的最小值为78． 考点9：有理数的大小比较 【典例精讲】下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握比较大小的方法是解题的关键． 先根据绝对值和相反数的意义化简A、B、C三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断项，从而可得答案． 【规范解答】解：A、 ，， ， 故本选项错误，不符合题意； B、， ， 故本选项错误，不符合题意； C、，， ， 故本选项错误，不符合题意； D、，， ， 故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式训练】（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： .（填“”、“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【规范解答】解：，， 故， 故答案为：． 考点10：有理数的加减混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减简便运算计算即可； （4）根据有理数的加减简便运算计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解题：求的值可用下面的两种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，，于是得． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值； (2)用合理的方法计算：； (3)用合理的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法运算等知识点，模仿题中的方法正确列式计算是解题的关键． （1）模仿题中的三种方法任选两种方法进行计算即可求解； （2）模仿题中的方法二求解即可； （3）将原式变形为，然后模仿题中的方法三求解即可． 【规范解答】（1）解：用方法二计算：原式， 用方法三计算：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 考点11：有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律 (2) 【思路引导】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算即可； （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【规范解答】（1）去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律； （2） 考点12：有理数加减法混合运算的应用 【典例精讲】（20-21七年级上·江西南昌·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【规范解答】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 【变式训练】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)千米 (2)这次养护共耗油升 【思路引导】本题考查了有理数加减法的应用，正负数的应用．根据题意列出算式是解题的关键． （1）先求出点、表示的数，再算两者的距离； （2）求各数据的绝对值的和，乘以每千米的耗油量计算即可． 【规范解答】（1）解：第一次到达巡视点：， 第二次到达巡视点：， 第三次到达巡视点：， 第四次到达巡视点：， 第五次到达巡视点：， 第六次到达巡视点：， 第七次到达巡视点：， 第八次到达巡视点：， 第九次到达巡视点：， 第十次到达巡视点：． 最北面点表示的数为，最南面点表示的数为， 千米． （2）千米， （升）， 答：这次养护共耗油升． 考点13：根据点在数轴上的位置判断式子的正、负 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可知：，结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置、有理数的加减运算及绝对值进行求解即可． 【规范解答】解：由数轴知，，， ①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④∵， ∴，故④错误； ∴正确的个数有2个， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，化简绝对值，有理数的减法运算，由数轴可知，，，则，，再由相反数的定义可得，据此可得答案． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∵a与c互为相反数， ∴ ∴a、b、c三个数中绝对值最大的数是， ，，， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 考点14：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【思路引导】此题考查有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右依次计算； （2）按照从左到右依次计算； （3）按照乘法运算法则计算； （4）根据0乘以任何数都等于0计算． 【规范解答】（1）解：； ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练】（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． (1)①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 【答案】(1)①点，所对应的数分别是，，  ② (2) 【思路引导】此题考查的是数轴上的点所表示的数、有理数加法和有理数乘法，掌握求数轴上的点所表示的数、加法法则和乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据题意，若以B为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m； ②若以C为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m； （2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值. 【规范解答】（1）解：①因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； ②因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； （2）解：由题意，得点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， 则． 考点15：有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km 0 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【答案】(1) (2)36.72元 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用每天标准的路程乘以天数再与表格中的数据求和，计算即可； （2）求出总耗电量，再乘以单价，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：（km）． 答：李明家的新能源汽车这7天一共行驶了． （2）（元）． 答：李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是36.72元． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地21千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油 【思路引导】（1）把题目中所给的数值相加，若结果为正数则地在A地的东方，若结果为负数，则地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需的油量，减去油箱容量即可求出途中还需要补充的油量． 本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，解题的关键是熟知正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值和． 【规范解答】（1）解： 答：B地位于A地的正东方向，距离A地21千米； （2）解：第1次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第2次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第3次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第4次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第5次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第6次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第7次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第8次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 千米， 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米； （3）解：冲锋舟当天航行的总路程为： （升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油． 考点16：有理数的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）运用运算律进行简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的四则混合运算； （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先除法变乘法，再利用乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； (1)你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学    B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确    D．三位同学解题过程都正确 (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 【答案】(1)C (2) 【思路引导】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键； （1）根据有理数的运算法则即可做出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【规范解答】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配率，运算过程错误； 所以甲乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故选：C； （2）解： ； ． 考点17：有理数的除法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【规范解答】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)元 【思路引导】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和 ； （2）解：（元） 考点18：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100 (2) (3)0 (4) 【思路引导】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右的顺序计算即可； （2）将带分数化为假分数，除法化为乘法，再计算乘法； （3）根据0乘以任何数都等于0解答； （4）按照从左到右的顺序计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练】．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)23 (2)1 (3)8 (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先计算除法，现再计算加减即可； （3）先去绝对值符号，将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （4）先算乘除，后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （5）根据乘法分配律计算； （6）逆用乘法分配律计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点19：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【思路引导】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 考点20：有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）下面各题怎么算简便就怎么算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算和通分的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先运用乘法分配律进行计算，在根据加减运算法则计算即可； （2）先算除法再算乘法，在根据加减运算法则计算即可； （3）先运用乘法分配律进行计算，在根据加减运算法则和通分的知识进行计算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【规范解答】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 考点21：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (2)估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． 【规范解答】（1）解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）（元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 3 2 1 -0.5 -1.5 5 6 (1)该生周三使用电子产品用了多少个小时? (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时? (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时? 【答案】(1)该生周三使用电子产品用了3小时； (2)该生使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多7.5小时； (3)该生这一周使用电子产品共用了29小时． 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后进行计算即可解答； （3）把表格中的这些正数和负数全部相加，然后进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得：（小时）， 该生周三使用电子产品共用了3小时； （2）解：由题意得：（小时）， 该生使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多7.5小时； （3）由题意得：（小时）， （小时）， 该生这一周使用电子产品共用了29小时． 考点22：根据点在数轴上的位置判断式子的符号 【典例精讲】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）（1）计算：； （2）用点A，，分别表示有理数，，，且它们在数轴上的位置如图所示．比较，，的大小（用“”连接）并在横线上填“”、“”或“”：＿0，＿0． 【答案】（1）；（2），，． 【思路引导】（1）根据有理数乘法法则和除法法则进行计算即可； （2）根据数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大，可得．再由A、B两点距离原点的距离可得，进而可判断的符号为正，由可得． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）由图知，且， 所以， ，． 故答案为：， 【考点剖析】本题考查了有理数的乘法法则和除法法则，利用数轴比较有理数的大小，以及利用有理数加法法则确定两数相加或两数相减的符号．熟练掌握有理数的加法，减法，乘法，除法的法则，以及掌握数轴的性质是解题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【规范解答】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 考点23：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）在7，0，，，，中，负数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【规范解答】解：，，， 负数有，，，一共3个， 故选：B． 【变式训练】．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）化简下列各数：①，②，③的倒数，④的相反数，将化简后的各数在数轴上表示出来，再用“”连接起来． 化简：① ② ③ ④ 将化简后的数在数轴上表示： 用“”连接起来 【答案】：①，②，③，④；，数轴见解析. 【思路引导】本题考查绝对值，乘方的运算，多重符号的化简以及数轴上的有理数的分布与有理数的大小比较，掌握基础概念是解题关键． 利用多重符号化简的法则，化简，利用绝对值与乘方法则分别计算，，然后在数轴上表示这些数，并利用数轴比较大小，可得到答案． 【规范解答】解：①，②，③的倒数，④的相反数. 将化简后的数在数轴上表示如下： 用“<”连接起来为：. 考点24：乘方的应用 【典例精讲】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【规范解答】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 【变式训练】（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【思路引导】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【规范解答】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 考点25：用科学计数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·四川巴中·期末）我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【规范解答】解：万． 故选：C． 考点26：将用科学计数法表示的数还原 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【答案】，，， 【思路引导】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的标准形式为（，n为整数），将a的小数点向右移动n位即可恢复原数． 【规范解答】解：； ； ； ． 【变式训练】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了把科学记数法表示的数变回原数，将用科学记数法表示的数还原成原数时，将a的小数点向右移动n位即可，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 考点27：算“24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】(1)抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24 (2)抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是 (3)见解析 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 【规范解答】（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 考点28：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分数的乘除混合运算、分数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （3）按照分数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）先算乘方，再按照分数的乘除混合运算法则计算即可； （6）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 【答案】(1)① ② (2)2 【思路引导】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式计算即可． （1）①根据题意列式计算即可；②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置，根据除法的意义即可得到答案； （2）根据除法的意义得到除数，根据题中规定的运算列式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①原式． ． ②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置， 所以它们的结果互为倒数． 由①中算式的值为，可得②中算式的值为． （2）因为被除数，商． 所以除数； 所以，所以， 所以． 考点29：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 故选：A． 考点30：求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了近似数的精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． （1）直接对十万分位上的数字7进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 【规范解答】（1）解：（精确到）。 （2）解：（精确到个位）。 （3）解：（精确到）。 （4）解：（精确到千分位）。 【变式训练】（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：精确到万亿为， ， 故选：A． 考点31：求近似数的精确度 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【答案】C 【思路引导】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键； 精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【规范解答】解：A．万精确到百位，所以选项错误； B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误； C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确； D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 故选：C 【变式训练】（22-23七年级上·河南驻马店·期中）下列说法：①表示负数；②0. 050精确到百分位；③的系数是；④是四次三项式；⑤若，则；⑥和都是整式，错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】对每个语句逐一进行分析即可． 【规范解答】解：① 可表示正数、负数或0，语句①错误；② 0. 050精确到千分位，语句②错误；③ 的系数是，语句③正确；④ 是二次三项式，语句④错误；⑤若，则，语句⑤错误；⑥ 和都是整式，语句⑥正确． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了实数和整式的相关概念的应用，关键是能准确理解运用以上知识． 考点32：近似数推断取值范围 【典例精讲】（21-22六年级上·全国·课后作业）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 【答案】（1）3；（2）5.5≤x＜6.5 【规范解答】【思路引导】（1）利用近似数的精确度和新定义求解； （2）利用近似数的精确度按5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5；6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5两种情况分析求解． （1）π＝3.1415..． ∵0.1415...＜0.5， ∴＜π＞＝3， 故答案为：3； （2）若＜x＞＝6， ①当5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5时，即x≥5.5， ②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5， ∴x的取值范围是5.5≤x＜6.5， 故答案为：5.5≤x＜6.5． 【变式训练】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【答案】 【思路引导】（1）根据科学记数法表示即可求解； （2）将百分位的9四舍五入即可求解； （3）根据近似数四舍五入法，判断范围即可求解． 【规范解答】（1）解：将用科学记数法表示为 故答案为：． （2）把精确到十分位的近似数是； 故答案为：． （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于，而小于的数， 故答案为：；． 【考点剖析】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键． 1．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【思路引导】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【规范解答】解： ， 故选C 【考点剖析】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 2．（2021·贵州黔东南·中考真题）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截至2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【规范解答】解：1300000000=1.3×109． 故答案为：1.3×109． 【考点剖析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2021·湖南常德·中考真题）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 【答案】C 【思路引导】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】∵或或 ∴7不是广义勾股数，即①正确； ∵ ∴13是广义勾股数，即②正确； ∵，，不是广义勾股数 ∴③错误； 设 则 当ad=bc或ac=bd时,两个广义勾股数的积不—定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误； 故①②正确 故选：C． 【考点剖析】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解． 4．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【思路引导】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【考点剖析】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键． 5．（2023·山东滨州·中考真题）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，根据题目信息，设，然后用减去，整理即可得解． 【规范解答】设，则， ∴， ∴． 故选：C． 基础夯实 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知算式的值为正数，则“”内应填入的运算符号为（   ） A．+ B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据的值为正数判断即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：，,, ∵的值为正数， ∴“”内应填入的运算符号为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如果支出元记作元，那么收入81元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路引导】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示． 【规范解答】解：如果支出元记作元，那么收入81元记作元， 故选：A． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完．这本故事书共有 页． 【答案】100 【思路引导】本题考查了有理数的乘法运算．根据题意列式计算求解即可． 【规范解答】解：根据题意得：（页） 答：这本故事书共有100页． 故答案为：100 4．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 5．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了汽车每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_____千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 【答案】(1)路程最多的一天比最少的一天多行驶49千米 (2)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米 (3)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是元 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解题关键是理解题意列出算式． （1）观察表格可知：路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，然后列出算式进行计算即可； （2）先求出这七天高于（或低于）50千米的标准所行驶的路程，再加上七天按照标准行驶的路程，进行计算即可； （3）列算式求出新能源汽车的行驶费用，进行解答即可． 【规范解答】（1）解：观察表格可知：路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，由题意得： （千米）， 答：路程最多的一天比最少的一天多行驶49千米； （2） （千米）， （千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米； （3）新能源汽车的行驶费用为： （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是元． 培优拔高 6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“▲”处表示的数． 【规范解答】由结果为0，可得， 解得． 故选C． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）有理数，的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据数轴上、的位置确定、的取值范围，再据此分析各选项．本题主要考查了数轴上数的大小关系以及有理数的运算性质，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可知，，． ∵，， ∴，故A错误． ∵，， ∴，故B错误． ∵， ∴， 又∵， ∴，故C错误． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故D正确． 故选：D． 8．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【规范解答】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又对又快． 下面是三名同学给出的不同解法： 小强：原式； 小丽：原式； 小红：原式． 对比以上三种解法，请你选择其中你喜欢的方法计算． 【答案】 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 仿照小红的方法将原式变形，计算即可求出值． 【规范解答】解： 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【思路引导】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【规范解答】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$