专题2.6 数轴上的动点问题40题（挑战压轴题知识讲练）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.6 数轴上的动点问题40题（挑战压轴题） 同学你好，该套练习针对有理数章节数轴上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题！逐步进阶，跨越式提升计算能力，动态几何分类讨论能力等，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！ 【知识点1】数轴上两点间的距离 两点之间的距离的表示方法（A，B两点之间的距离记为AB） 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【知识点2】数轴上的中点问题 中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫做这条线段的中点； 中点公式：若A：a，B：b，则AB的中点M： 【知识点3】数轴上距离之间的和差倍分 点P在A，B之间 点P在点B右侧 点P的位置不确定 ； . ; 【知识点4】 数轴上点的平移 点A表示的数为a，将点A向左平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为 点A表示的数为a，将点A向右平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为 【知识点5】数轴上点的运动 运动时间为t，运动速度为v，点A表示的数为a. 向左运动 向右运动 两动点之间的距离表示 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【知识点6】数轴上的行程问题 运动时间为t，运动速度为b 相遇→A，B重合→数相同 追及→A，B重合→数相同 【知识点7】数轴上的动点定植问题 动点距离为定值 , , 1．（22-23七年级上·重庆江津·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 2．（23-24七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 3．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 5．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 8．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．（23-24七年级上·陕西商洛·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，且. (1)填空：_________，_________； (2)若点A以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到所在的点处时，求两点间距离； (3)在（2）的条件下，若点A在处静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，经过多长时间两点相距3个单位长度？ 10．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 11．（23-24七年级上·福建·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 12．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 13．（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 14．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知点A、B在数轴上分别对应a、b两个数，且，点O是原点．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)线段的长度为 ． (2)动点P在数轴上对应的数为 ．(用含t的代数式表示) (3)当线段的长度是4时，求t的值． 17．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足．    (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C、D在线段上，为个单位长度，为8个单位长度，求线段的长； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 18．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 21．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 22．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，；    当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 23．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 25．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 26．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值；______ ______ ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； 29．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且． (1)直接写出：_____，_____，线段中点对应的数为______； (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为个单位长度每秒，的速度为个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值． 30．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 32．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 33．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 34．如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 35．（22-23七年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 36．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 37．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 38．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 40．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 数轴上的动点问题40题（挑战压轴题） 同学你好，该套练习针对有理数章节数轴上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题！逐步进阶，跨越式提升计算能力，动态几何分类讨论能力等，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！ 【知识点1】数轴上两点间的距离 两点之间的距离的表示方法（A，B两点之间的距离记为AB） 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【知识点2】数轴上的中点问题 中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫做这条线段的中点； 中点公式：若A：a，B：b，则AB的中点M： 【知识点3】数轴上距离之间的和差倍分 点P在A，B之间 点P在点B右侧 点P的位置不确定 ； . ; 【知识点4】 数轴上点的平移 点A表示的数为a，将点A向左平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为 点A表示的数为a，将点A向右平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为 【知识点5】数轴上点的运动 运动时间为t，运动速度为v，点A表示的数为a. 向左运动 向右运动 两动点之间的距离表示 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【知识点6】数轴上的行程问题 运动时间为t，运动速度为b 相遇→A，B重合→数相同 追及→A，B重合→数相同 【知识点7】数轴上的动点定植问题 动点距离为定值 , , 1．（22-23七年级上·重庆江津·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①1，②2秒或7秒 【思路引导】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值； （2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵a，b表示的数满足， ∴，， ∴，． 故答案为：，． （2）点A运动到6对应的点所需时间为(秒)， 此时点B运动到的位置为， ∵， ∴A，B两点间的距离为1． 当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度． 【考点剖析】本题主要考查动点问题，涉及偶次方的非负性、绝对值的非负性，两点之间的距离以及解一元一次方程的应用，解题的关键是能用代数式表示点的位置． 2．（23-24七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义， （1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b， ②由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可． 【规范解答】（1）①∵ ∴， ∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，． 当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小， 设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时， 原式 （米） 答：的最小值为400米． 3．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，数轴的性质，理解绝对值的几何意义是解答关键． （1）根据数轴上两点间的几何意义来求解． （2）根据题意得到，进而求得，，再利用绝对值的非负性求解． （3）分分三种情况：当时， 当， 当时来求解． （4）根据表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数来求解，再结合数轴上两点间距离的几何意义求解． （5）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时，有最小值，然后求出最小值即可． （6）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时 有最小值即可． 【规范解答】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离． 故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间， ， ，， ． 故答案为：7． （3）若， 分三种情况： ①当时， ， ； ②当，， 此时方程无解； ③当时，， ． 故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数， 或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7． 故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为7． 故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【思路引导】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【规范解答】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 5．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【答案】(1)，，数轴上标出、两点见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， 数轴上标出、两点如下： （2） 、两点对应的数分别为和，点对应的数为， ，， ， ， 解得：或． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【思路引导】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【考点剖析】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)运动时间为12秒或1秒 (3) 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题， （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，用点B表示的数减去点A表示的数，即可求解； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【规范解答】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 由（1）得：，， ∵， ∴， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 8．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；1；6 (2)8 (3)不变；3 【思路引导】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； （3）根据题意，用表示出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点A表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点P在B、C间运动， ∴， ∴； （3）解：不变，理由如下： 根据题意，当经过秒钟过后， 点A表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，， ∴， ∴的值不变，． 【考点剖析】本题主要考查了非负数的性质、化简绝对值、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及数轴上动点问题等知识，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 9．（23-24七年级上·陕西商洛·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，且. (1)填空：_________，_________； (2)若点A以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到所在的点处时，求两点间距离； (3)在（2）的条件下，若点A在处静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，经过多长时间两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)，3 (2)11 (3)经过的时间为8秒或14秒 【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，路程、速度与时间的关系等知识，涉及分类讨论，关键时能根据两点间的距离确定点表示的数． （1）根据两个非负数的和为零，则它们均为零，可求得a与b的值； （2）由点A的移动可求得其移动的时间，从而可得点B移动的距离，则可求得点B表示的数，从而求得A、B两点间距离； （3）分两种情况考虑：点B在点A的右边；点B在点A的左边．根据两点间相距3个单位长度，可确定点B所表示的数，从而确定点B移动的距离，进而求得运动的时间． 【规范解答】（1）解：∵，，且 ∴， ∴， 故答案为：，3； （2）由题意得，点A向左移动了2个单位长度，则移动的时间为（秒）， 故点B也移动了4秒，它移动的距离为， 此时点B表示的数为， 所以A、B两点间的距离为； （3）分两种情况考虑： 当点B在点A的右边时，则点B移动到的位置，点B移动的距离为，移动的时间为（秒）； 当点B在点A的左边时，则点B移动到的位置，点B移动的距离为，移动的时间为（秒）； 综上，经过的时间为8秒或14秒． 10．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【思路引导】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【规范解答】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 11．（23-24七年级上·福建·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2) (3)不变，值为2，理由见解析 【思路引导】本题考查了绝对值的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离： （1）根据绝对值的非负性进行作答即可； （2）根据，则，，即可作答； （3）先用的代数式表示点A，点B，然后得到，，然后得到，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）解：因为b是最小的正整数， 所以， 因为， 所以， 即，； （2）解：因为 所以，， 则； （3）解：不变．理由如下： 依题意，t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为． ∴，， ∴， 即的不随着时间的变化而改变． 12．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【思路引导】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【考点剖析】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 13．（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， (3)不变，2 【思路引导】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点，，在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算． 【规范解答】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； （3）不变，由题意，得 秒钟过后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 所以，， 所以． 所以的值是不随着时间的变化而改变的，其值为2． 解：（1）因为是最小的正整数，所以， 因为，所以，， 所以，，所以的值为，的值为1，的值为5， 故答案为：，，； 【考点剖析】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 14．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在定值，为 【思路引导】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，然后根据的中点所对应的数为10，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【规范解答】解：（1） ， ， ， 点N是的中点， 的中点N所对应的数为：， 故答案为：； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为． ， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为 ， ， 当时，，不是定值 当时，，是定值 当时，，不是定值 ∴当时，存在定值，为． 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【答案】(1)；1；7 (2)点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度 【思路引导】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键； （2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是，进而得到，然后分当点P在和上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键． 【规范解答】（1）解：因为b是最小的正整数，所以． 因为，所以，． 故答案为；1；7． （2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 所以点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； 所以点P运动的时间为， 所以点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， 所以点P的运动时间是， 所以点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度． 16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知点A、B在数轴上分别对应a、b两个数，且，点O是原点．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)线段的长度为 ． (2)动点P在数轴上对应的数为 ．(用含t的代数式表示) (3)当线段的长度是4时，求t的值． 【答案】(1)10 (2) (3)秒或2秒 【思路引导】本题主要考查非负数的性质，数轴，有理数的减法，列代数式，掌握非负数的性质，以及数轴上点表示方法是解题的关键； （1）依据题意，先由非负数的性质，求出a，b的值，再将点B表示的数减去点表示的数即为线段的长度； （2）依据题意，将点表示的数加上点P向点B移动的距离，即为动点P在数轴上对应的数； （3）依据题意，表示出表示的数，再用两点表示的数的差的绝对值求出，建立关于t的方程进而可以得解； 【规范解答】（1）解：由题意，， ， 解得． 线段的长度为． 故答案为：10； （2）由题意，∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴动点P在数轴上对应的数为：． 故答案为：． （3）由题意，运动t秒后，Q表示的数为：． ． 秒或2秒． 17．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足．    (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C、D在线段上，为个单位长度，为8个单位长度，求线段的长； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 【答案】(1) (2)4 (3)或秒 【思路引导】（1）由题意可得，进而可知数轴上A点表示数，B点表示数6，然后根据，计算求距离即可； （2）由题意知，在数轴上C点表示数，D点表示数，然后求两点之间的距离即可； （3）由题意知，在数轴上P点表示数，Q点表示数，，，则，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴数轴上A点表示数，B点表示数6， ∵， ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：∵点C、D在线段上，为个单位长度，为8个单位长度， ∴在数轴上C点表示数，D点表示数， ∵， ∴线段的长为4； （3）解：由题意知，在数轴上P点表示数，Q点表示数， ∴，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，经过或秒时，点P、点Q到点C的距离相等． 【考点剖析】本题考查了绝对值的非负性，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程．熟练掌握绝对值的非负性，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程是解题的关键． 18．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【规范解答】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 19．已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；22 (2)经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点 (3)存在，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或 【思路引导】（1）根据非负数的性质，求出结果即可； （2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可； （3）设运动的时间为秒，先求出点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，根据得出；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ，． 故答案是：；22． （2）解：如图1所示：    图1， 的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或， 情形①：， 则运动的时间； 情形②：， 则运动的时间． 因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点． （3）解：存在；    图2 理由：设运动的时间为秒， 点对应的数为， 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 则， ， 由得； ①当时，， 解得：， 此时点对应的数为； ②当时，， 解得且， 此时点对应的数为； ③当时，， 解得且，舍去； 综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或． 【考点剖析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)① ②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【思路引导】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【规范解答】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 21．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或． 【思路引导】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据数轴特点，图形结合即可求解； （2）将有理数在数轴上表示即可； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是； （2）如图所示，点表示和点表示． （3）设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点对应的数是或． 22．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，；    当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【答案】(1)，，； (2)，或； (3)，． 【思路引导】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解； （）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 当时，， ∴或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：∵，， ∴当，时，取最小值， ∴，， 故答案为：，． 23．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【思路引导】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【规范解答】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 24．（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，；当时， (3)不变， 【思路引导】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【规范解答】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵ ，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 25．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【思路引导】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 26．（24-25七年级上·山西·期中）综合与探究 数轴是一个非常重要是数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图1，在数轴上点表示，点表示数，点表示数，其中为绝对值最小的数，与满足． (1)______，______，______ (2)若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为________；若折叠纸面，使点与点重合，则与点重合的点表示的数为______． (3)如图2，在数轴上剪下到的部分（不考虑宽度），并把这部分沿点D所在的位置折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三部分．若这三部分的长度之比为，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)2，8 (3)3或5或7 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及绝对值的非负性，数轴的翻折问题，解题的关键是分类讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求出，再根据绝对值的性质求出的值． （2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决； （3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵为绝对值最小的数， ∴， 故答案为：． （2）解：根据（1）可得：点A表示的数是，点表示的数是0，点表示的数是10， 若沿点折叠纸面，使点B左侧部分和右侧部分重合，则与点A重合的点表示的数为； 若折叠纸面，使点A与点重合，则的中点为，即沿数4的点折叠纸面， 与点重合的点表示的数为； 故答案为：2，8． （3）解：∵线段，这三条线段的长度之比为， ∴， ∴这三条线段的长度分别为， 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度也为2时， 则点，之间的距离：； 若剪下的从左到右第一条线段长为2，第2条线段长度为6， 则点，之间的距离为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为6，第2条线段长度为2， 则点，之间的距离为：； ∴点，之间的距离为3或5或7． 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30； (2)当在之间时，点表示；当在点右侧时，点表示2； (3)点表示20，则第20次点表示的数与点重合；点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 【思路引导】本题考查实数与数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）根据，可以求得、的值，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点对应的数； （3）根据题意可以发现题目中点对应的数的变化规律，从而可以解答本题． 【规范解答】（1）解：∵， ，， 解得，，， ， 即、之间的距离为30， 故答案为：30； （2）解：∵，，数轴上一点距点24个单位长度， ， ， ， ， 当在之间时，点表示， 当在点右侧时，点表示2； （3）解：由题意可得， 第一次点表示， 第二次点表示2， 第三次点表示， 第次点表示， 点表示20，则第20次点表示的数与点重合， 点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值；______ ______ ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； 【答案】(1)；1；5 (2) 【思路引导】本题考查了绝对值的应用，数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性进行作答即可； （2）根据，则，，即可作答； 【规范解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， 即，， 故答案为：；1；5． （2）解：∵， ∴，， 则． 29．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且． (1)直接写出：_____，_____，线段中点对应的数为______； (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为个单位长度每秒，的速度为个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【思路引导】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、数轴上两点间的距离公式，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的值非负可求出，，再根据中点的性质即可求解； （2）先求出，，根据题意有：，，即有，分当点在点的左侧时，和当点在点的左侧时，两种情况讨论，即可作答． 【规范解答】（1）解： ， ，， ，， ，， 线段中点对应的数， 故答案为：，，； （2）点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且，， ，， 根据题意有：，， ， 分情况讨论： 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：； 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：， 综上：的值为或． 30．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)的长为或 (3)或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出，，再根据为线段的中点可求出； （2）由题意可得：，，得到点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，根据求出，即可求解； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为，得到，，最后根据，列方程即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 的长为或； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【思路引导】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【规范解答】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【考点剖析】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 32．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)4或2 (3)1 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性．用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个数均为0；数轴上两点的中点可表示为表示这两点的数的和的平均数；表示a和b之间的距离． （1）根据两个非负数的和为0，这两个数均为0解答即可； （2）分别表示出点P和点Q，进而可得它们的中点M，根据的长为1可得t的值； （3）整理的代数式，得到含t的绝对值，根据表示a和b之间的距离求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解：由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为：，点R表示的数为， 点M为的中点， 点M表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：， 又∵表示数轴上表示t的点到3和4的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为1． 33．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【思路引导】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【规范解答】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 34．如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 【答案】(1)30，，36 (2)6或 (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【思路引导】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【规范解答】（1）， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36． （2）点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或． 解法2 设点C表示的数为，点表示的数为30，点表示的数为， 当点在点的右侧时，则，， ， ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则，， ， ∴， 解得； 故点在数轴上表示的数为6或． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【考点剖析】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 35．（22-23七年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【思路引导】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 36．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． （1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点间距离公式，即可求解； （3）表示出的长度，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或； （3）解：假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的k值． 37．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 【答案】(1)；4；6 (2)①点P表示的数为2或10；②或或 【思路引导】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再求出c的值即可； （2）①设点P表示的数为x，根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍得出，分三种情况进行讨论即可； ②分两种情况：当动点M向右运动时，当动点M向左运动时，分别求出t的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵c比b大2， ∴； 故答案为：；4；6． （2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：，点P到点B的距离是：， 由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得： ， 当时，， 解得：，不符合题意舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上分析可知，点P表示的数为2或10． ②当动点M向右运动时，即， 动点M从点A出发以4个单位速度向右运动， 点M对应实数为， 动点N从点B出发以1个单位速度向右运动， 点N对应实数为， 对应实数为6， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当动点M向左运动时，即， 动点M从D出发以4个单位速度向左运动， 点M对应实数为， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， 解得：或； 综上分析可知，或或时，M、N两点到点C的距离相等． 故答案为：或或． 【考点剖析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，绝对值意义，解绝对值方程，数轴上点表示有理数，解题关键是“掌握数轴上两点之间的距离的运算，并通过等量关系列代数式”． 38．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 【答案】(1)4秒 (2)13秒或72秒 (3)秒，秒 【思路引导】本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【规范解答】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)8，12 (2)t为4或7.2 (3)当秒时，最小值为10 【思路引导】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，是解答本题的关键． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； （3）分别求出点P和点Q表示的数，则，所以随着t的变化而变化，利用绝对值的性质化简，可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． （3）解：的长度发生变化，理由如下： ∵点P为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． ∴． 则随着t的变化而变化． ∴当时． 当时，， ∴． 当时，． 故当秒时，有最小值，最小值为10． 40．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【思路引导】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$