专题2.5 有理数的混合运算（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.5 有理数的混合运算 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的混合运算 1 知识点梳理02：计算器—基础知识 2 知识点梳理03：计算器—有理数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：算"24”点 3 考点2：含乘方的有理数混合运算 3 考点3：程序流程图与有理数计算 5 考点4：计算器—有理数 6 考点5：求一个数的近似数 7 考点6：求近似数的精确度 8 考点7：近似数推断取值范围 9 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 12 知识点梳理01：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点梳理02：计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点梳理03：计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 考点1：算"24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【变式训练1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式训练2】（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 考点2：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算： (1)． (2)； 【变式训练1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 考点3：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【变式训练2】（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图所示是计算机程序的计算过程，当输入的数为时，则输出的结果 ． 考点4：计算器—有理数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练2】（22-23七年级下·安徽淮南·期中）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 ．    考点5：求一个数的近似数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①最小的整数是；②平方等于的数是；③精确到百分位是；④若是非负数，则；⑤在数轴上到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 考点6：求近似数的精确度 【典例精讲】（23-24七年级上·山东日照·期中）下列说法正确的有（    ） ①两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数； ②若，则； ③a为任何有理数，则必为负数； ④若则a为非正数； ⑤近似数精确到十分位； ⑥下列各式，，8，，，，，中，单项式有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（23-24七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的结论有（   ） ①绝对值等于它本身的数是0和1；②是单项式；③近似数1.2万精确到了十分位；④有理数包括正整数、负整数和分数；⑤一定是负数；⑥是三次多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 考点7：近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【变式训练1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【变式训练2】（22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 3．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 4．（2024·贵州安顺·中考真题）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 5．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 基础夯实 1．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列计算中，正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）为了增强身体素质，刘老师每天早上都会在操场进行体育锻炼，她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是（取）（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 6．（24-25七年级上·天津·开学考试）2024年全国夏粮再获丰收，农村居民收入持续增长，广袤乡村展现欣欣向荣的新气象．2024年我国夏粮总产量149779000t．横线上的数读作 ．改写成用“万”作单位的数是 万，省略“亿”后面的尾数约是 亿． 7．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）把3096000米改写成用“万”做单位的数是( )；省略“万”后面尾数，约是( )． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 9．（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 培优拔高 11．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 13．（24-25七年级上·河南安阳·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果n是（   ） A．1 B．5 C．-1 D．6 14．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 16．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ，将这n个等式相加得 ；阅读以上解题过程，计算：= ． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算下列各题 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)； (5) ； (6)． 19．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (4) ； (4)． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 有理数的混合运算 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的混合运算 1 知识点梳理02：计算器—基础知识 2 知识点梳理03：计算器—有理数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：算"24”点 3 考点2：含乘方的有理数混合运算 4 考点3：程序流程图与有理数计算 8 考点4：计算器—有理数 11 考点5：求一个数的近似数 13 考点6：求近似数的精确度 15 考点7：近似数推断取值范围 17 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 26 知识点梳理01：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点梳理02：计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点梳理03：计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 考点1：算"24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【答案】(1)抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是15 (2)抽取，两张卡片时，卡片上的数字相除，结果最小，最小结果是 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘除运算以及四则混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）要使两张卡片数字乘积最大，需考虑同号两数相乘，且绝对值越大乘积越大； （2）要使两张卡片数字相除最小，需考虑异号两数相除，且分子绝对值尽可能大，分母绝对值尽可能小； （3）要从四张卡片通过运算得到24，需结合四则运算规则进行组合尝试． 【规范解答】（1）解：∵ 要使乘积最大，应选择同号且绝对值较大的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是； （2）解：∵ 要使商最小，应选择异号且分子绝对值大、分母绝对值小的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴ 最小的商是 （3）解：抽取、、、， ∵ ， ∴ 运算式子可以是． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【规范解答】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式训练2】（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，注意数字的正负，先确定四个数分别为：、、2、4，由于答案不唯一，列出一个算式即可． 【规范解答】红桃3代表、方块6代表、黑桃2代表2、梅花4代表4， 运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 考点2：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算： (1)． (2)； 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查有理数的加法、减法和加减混合运算，熟练掌握有理数的加法、减法运算法则和加减混合运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值，然后利用有理数的减法运算法则计算即可； （2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算减法解答即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，并根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘方，并根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减即可． 【规范解答】（1） ； （2） 【变式训练2】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 【思路引导】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【规范解答】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 考点3：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【思路引导】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【规范解答】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 【变式训练2】（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图所示是计算机程序的计算过程，当输入的数为时，则输出的结果 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的加、减运算，相反数，解答本题的关键是掌握相应的运算法则． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【规范解答】解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 考点4：计算器—有理数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)371293 (3) (4) 【思路引导】（1）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （2）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （3）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （4）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，计算器的操作方法，熟知计算器的操作方法是解本题的关键． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ＝ ＝． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9.9626 (2) (3)157.04099856 (4)94.4124 【思路引导】（1）先判断符号，然后把绝对值相乘； （2）先判断符号，然后把绝对值相除； （3）先判断符号，然后把四个3.54相乘； （4）先算乘方和乘法，最后算加法． 本题考查有理数的运算，熟练使用计算器是关键． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式训练2】（22-23七年级下·安徽淮南·期中）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 ．    【答案】4 【思路引导】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【规范解答】解：输入一个数后， 第一步的结果为， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为， 由此可知，运算的结果六步为一个周期，， ， 第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为4． 【考点剖析】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 考点5：求一个数的近似数 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①最小的整数是；②平方等于的数是；③精确到百分位是；④若是非负数，则；⑤在数轴上到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查近似数，绝对值的含义，数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据整数的定义，绝对值，近似数，数轴点的距离，一一判断即可求解； 【规范解答】解：①最小的整数不是，该说法不正确； ②平方等于的数是或，该说法不正确； ③精确到百分位是，该说法正确； ④若是非负数，则，该说法正确； ⑤在数轴上到的距离为，该说法正确； 正确的有③④⑤，共个； 故选：B 【变式训练1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【答案】(1)收工时在A地东边处； (2)当天从出发到收工共耗油6升， (3) 【思路引导】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用． （1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用； （3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案． 【规范解答】（1）解： ， 答：收工时在A地东边处； （2）解： ， （升）． ∴（元）， 答：当天从出发到收工共耗油6升，该检修小组该天的油费是元； （3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度， ∴行驶耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为（元）， ∴比使用燃油汽车省（元）． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 【答案】 1543700 154 【思路引导】此题考查了数的写作和求近似数，要求学生掌握． 万以内数的写法，从最高位写起，先写万级再写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字． 【规范解答】解：一百五十四万三千七百写作：1543700， 万， 故答案为：1543700；154． 考点6：求近似数的精确度 【典例精讲】（23-24七年级上·山东日照·期中）下列说法正确的有（    ） ①两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数； ②若，则； ③a为任何有理数，则必为负数； ④若则a为非正数； ⑤近似数精确到十分位； ⑥下列各式，，8，，，，，中，单项式有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加法，绝对值的意义，近似数，单项式的定义等，属于基础知识，掌握相关知识点是解题的关键． 根据有理数的加法，绝对值的意义，近似数以及单项式的定义分别判断即可． 【规范解答】解：①两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数，故正确； ②若，，则，故错误； ③为任何有理数，则为负数或0，故错误； ④若，则为非正数，故正确； ⑤近似数精确到百分位，故错误； ⑥下列各式，，8，，，，，中，单项式有，，8，共3个，故正确； 正确的有①④⑥，共3个， 故选：C． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的结论有（   ） ①绝对值等于它本身的数是0和1；②是单项式；③近似数1.2万精确到了十分位；④有理数包括正整数、负整数和分数；⑤一定是负数；⑥是三次多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数，绝对值，多项式、单项式、精确度、有理数分类以及正负数，理解有理数的意义，掌握有理数的分类以及绝对值，多项式、单项式、精确度定义是正确判断的前提； ①根据绝对值的定义进行判断即可；②根据单项式的定义进行判断即可；③根据近似数的定义以及精确度的意义进行判断即可；④根据整数的分类，进行判断即可； ⑤根据正负数定义进行判断即可；⑥多项式的定义进行判断即可； 【规范解答】绝对值等于它本身的数是0和正数，故①错误； 是单项式，故②正确； 近似数1.2万精确到了千位，故③错误； 有理数包括正整数、0、负整数和分数，故④错误； 当时，非负数，故⑤错误； 是三次三项式，故⑥正确； 正确的结论有2个， 故选：B． 【变式训练2】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 【答案】C 【思路引导】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案． 【规范解答】解： ∵的0在百位上， ∴近似数是精确到百位， 故选C． 【考点剖析】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数． 考点7：近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【思路引导】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【规范解答】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【答案】 【思路引导】（1）根据科学记数法表示即可求解； （2）将百分位的9四舍五入即可求解； （3）根据近似数四舍五入法，判断范围即可求解． 【规范解答】（1）解：将用科学记数法表示为 故答案为：． （2）把精确到十分位的近似数是； 故答案为：． （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于，而小于的数， 故答案为：；． 【考点剖析】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据近似数的精确度的知识对选项逐一判断即可． 【规范解答】解：①近似数精确到，精确到，它们表示的意义不同，①说法正确； ②近似数，是精确到十位，②说法正确； ③近似数是精确到的近似数，③说法正确； ④精确到个位，④说法错误； ⑤近似数所表示的准确数的范围是，⑤说法错误． ∴正确的个数有个． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 1．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【规范解答】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【规范解答】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 3．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【思路引导】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【规范解答】根据定义，得， 故答案为：8． 4．（2024·贵州安顺·中考真题）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【答案】7 【思路引导】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【规范解答】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：7． 【考点剖析】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 5．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【思路引导】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【考点剖析】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数万精确到十分位 D．近似数精确到十分位 【答案】B 【思路引导】本题考查了近似数与精确数的接近程度，根据近似数的精确度对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A、近似数精确到，故本选项错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，故本选项正确，符合题意； C、近似数万精确到千位，故本选项错误，不符合题意； D、近似数精确到百位，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列计算中，正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数混合运算逐项计算检验即可． 【规范解答】解：①，计算错误； ②，计算错误； ③，计算错误； ④，计算错误； ⑤，计算正确， 故选：A 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值、化简多重符号、有理数的乘方、负数，熟练掌握运算法则是解题关键．根据绝对值的性质、化简多重符号、有理数的乘方计算结果，由此即可得． 【规范解答】解：A、，是正数，则此项不符合题意， B、，是正数，则此项不符合题意， C、，是正数，则此项不符合题意， D、，是负数，则此项符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）为了增强身体素质，刘老师每天早上都会在操场进行体育锻炼，她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是（取）（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数运算的应用，操场一圈的长度等于直径是米的圆的周长加上两条直跑道的长度，根据圆的周长公式，把数据代入公式解答．正确理解题意并列式计算是解题的关键． 【规范解答】解： （米） ∴她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是米． 故选：C． 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 【答案】13 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，正确理解二进制数转换成十进制的方法是解题关键．根据二进制数转换成十进制的方法列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【规范解答】解：由题意得：将二进制数转换成十进制数是 ． 故答案为：13． 6．（24-25七年级上·天津·开学考试）2024年全国夏粮再获丰收，农村居民收入持续增长，广袤乡村展现欣欣向荣的新气象．2024年我国夏粮总产量149779000t．横线上的数读作 ．改写成用“万”作单位的数是 万，省略“亿”后面的尾数约是 亿． 【答案】 一亿四千九百七十七万九千 万 【思路引导】此题考查数的读法，数的精确度，数的四舍五入的精确方法，正确掌握各知识点并熟练运用解决问题是解题的关键. 根据整数的读法、数的精确度解答即可． 【规范解答】解：2024年我国夏粮总产量149779000．横线上的数读作一亿四千九百七十七万九千，改写成用“万”作单位的数是万，省略“亿”后面的尾数约是亿， 故答案为：一亿四千九百七十七万九千，14977.9万，． 7．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）把3096000米改写成用“万”做单位的数是( )；省略“万”后面尾数，约是( )． 【答案】 万 万 【思路引导】本题考查了整数的改写与求近似数，根据改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”即可，再用四舍五入的办法求解近似数即可 【规范解答】解：把3096000米改写成用“万”作单位的数是万；省略“万”后面的尾数，约是万， 故答案为：万；万 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 【答案】 3 【思路引导】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． （1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到个位； （2）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十分位； （3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【规范解答】解：（1）（精确到个位）； （2）（精确到十分位）； （3）（精确到百分位）． 故答案为：3，，． 9．（24-25七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算括号内的加法，最后运算除法，即可作答． （2）先运算乘方和化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分数的乘除混合运算、分数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （3）按照分数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）先算乘方，再按照分数的乘除混合运算法则计算即可； （6）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 培优拔高 11．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（     ） A．-396 B．36 C．-36 D．396 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则运算，根据新定义题型的意义，列出算式即可； 【规范解答】解：∵， 而， ∴， 而， ∴结果输出． 故选项：A 13．（24-25七年级上·河南安阳·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果n是（   ） A．1 B．5 C．-1 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了程序框图，以及有理数乘法与减法的应用．将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果小于即可解题． 【规范解答】解：开始输入， ， ， 则最后输出的结果n是5， 故选：B． 14．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的乘方，理解题意掌握相关计算方法是解题的关键． 根据题意，设，表示，相减解题即可． 【规范解答】解：设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 【答案】43 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键． 根据二进制计数法计算出结果即可． 【规范解答】解：根据二进制转化成十进制法则得， ， 故答案为：43． 16．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ，将这n个等式相加得 ；阅读以上解题过程，计算：= ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键．仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【规范解答】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算下列各题 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 1 0 15 【思路引导】本题考查有理数的运算； （1）根据有理数的加法法则计算； （2）根据有理数的加法法则计算； （3）先算绝对值，再根据有理数的加法法则计算； （4）根据有理数的乘法则计算； （5）约分计算即可； （6）先算乘方，再算乘法． 【规范解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）1；（2）；（3）0；（4）15；（5）；（6）． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加减乘除混合运算，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． （1）根据有理数的加法、减法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （2）根据有理数的乘法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （3）根据有理数的乘法、除法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （4）根据有理数的乘法、除法运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （5）根据有理数的加法、减法运算法则，有理数的乘法、除法运算法则，有理数的乘方运算法则，分别进行计算，即可得到答案； （6）根据有理数的加法、减法运算法则，有理数的乘法，有理数的乘方运算法则，分别进行计算，即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 19．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）先化简，再根据加减法法则计算即可； （3）运用乘法分配律解答即可； （4）先算乘方和除法，再算加法即可得解． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【思路引导】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$