专题2.4 有理数的乘方（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.4 有理数的乘方 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的乘方 1 知识点梳理02：非负数的性质：偶次方 2 知识点梳理03：近似数和有效数字 2 知识点梳理04：科学记数法—表示较大的数 2 知识点梳理05：科学记数法—表示较小的数 3 知识点梳理06：科学记数法—原数 3 知识点梳理07：科学记数法与有效数字 3 优选题型 考点讲连 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 4 考点3：有理数乘方逆运算 5 考点4：乘方运算的符号规律 6 考点5：乘方的应用 6 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 8 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 8 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理02：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理03：近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点梳理04：科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点梳理05：科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点梳理06：科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点梳理07：科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）将在数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【变式训练2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．与 D．与 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：c______0，______0； (2)试化简：； (3)若，求（2）中的值． 【变式训练1】（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．    (1)若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ． (2)若，求的值． 【变式训练2】（22-23七年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，，三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的是数分别，，． (1)填空：______0，______0，______0；（选填“>”，“=”或“<”） (2)若，且点到点，的距离相等，当时，求的值． 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【变式训练1】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）化简，求值：求的值，其中 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知． (1)求； (2)若．求的值． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【变式训练2】（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（20-21七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是 ． 【变式训练1】（20-21七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【变式训练2】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示） 5．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下面为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（   ） （1）的绝对值为3      （2）数轴上到距离为5的点是1 （3）的底数是4 （4）的倒数是 （5）绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）一般地，数学上把记作 6．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为 ，分母为 ． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）将八进制数转换成十进制数的算式为：（注：，类似的，将二进制数转换成十进制的数为 ． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3) ． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 10．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 培优拔高 11．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）下列各式结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 12．（24-25六年级下·上海·假期作业）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（   ） A． B． C． D．0 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数中： ； ； ，负数为 ．（填序号） 17．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 18．（24-25七年级上·四川南充·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用依次连接起来． ，，0，，， 19．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的乘方 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的乘方 1 知识点梳理02：非负数的性质：偶次方 2 知识点梳理03：近似数和有效数字 2 知识点梳理04：科学记数法—表示较大的数 2 知识点梳理05：科学记数法—表示较小的数 3 知识点梳理06：科学记数法—原数 3 知识点梳理07：科学记数法与有效数字 3 优选题型 考点讲连 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 6 考点3：有理数乘方逆运算 7 考点4：乘方运算的符号规律 10 考点5：乘方的应用 11 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 26 知识点梳理01：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理02：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理03：近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点梳理04：科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点梳理05：科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点梳理06：科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点梳理07：科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【思路引导】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【规范解答】A. ，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算和相关概念，根据实数的有关概念和计算，对各种说法进行分析判断即可． 【规范解答】解：的底数是2，①的说法错误； 互为相反数的和为0，②的说法正确； 正整数、负整数和0统称为整数，③的说法错误； 不论为何值，都是非负数，一定是正数，④的说法正确； 不论为何值，都是非负数， 只有最小值，最小值为6，没有最大值，故⑤说法错误； 在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，但不一定越小，⑥的说法错误， 综上可知：说法正确的有：②④，共2个， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】③⑤ 【思路引导】此题考查了有理数的乘方，绝对值，倒数，以及有理数的加法，各式利用绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可． 【规范解答】解：若，即，则；故①错误； 若x为有理数，且，则或或，故②错误； 若，且，则，故③正确； 若，则，故④错误； ，故⑤正确． 故答案为：③⑤． 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）将在数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先化简各数，再把它们在数轴上表示出来，最后根据数轴比较大小即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：，，， ∴各数在数轴上表示如下： 由数轴可知，． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【思路引导】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【规范解答】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】此题考查相反数的定义，先分别化简绝对值，乘方，化简多重符号，再根据相反数定义判断 【规范解答】解：A.，故3与不是相反数； B.，故与是相反数； C.，故与不是相反数； D.，故与不是相反数； 故选：B 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：c______0，______0； (2)试化简：； (3)若，求（2）中的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减、乘方，熟练掌握数轴的性质和整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得； （3）先根据数轴的性质、绝对值的性质、乘方运算可得，再代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，， 则，， 故答案为：，． （2）解：由数轴可知，， ，，， ． （3）解：， ， 由数轴可知，， ， 代入得：． 【变式训练1】（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．    (1)若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ． (2)若，求的值． 【答案】(1)2； (2)或9 【思路引导】（1）根据点B，C表示的数的绝对值相等，可知线段的中点即为数轴原点，据此得出c和a的值； （2）根据，可得，然后分情况得出的值，然后代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵点B，C表示的数的绝对值相等， ∴B，C互为相反数， ∴线段的中点即为数轴原点， 根据数轴可得， 故答案为：2；； （2）∵， ∴或， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 综上，的值为或9． 【考点剖析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，有理数乘方运算等知识点，读懂题意，结合相关知识点分别得出各字母表示的有理数是解本题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，，三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的是数分别，，． (1)填空：______0，______0，______0；（选填“>”，“=”或“<”） (2)若，且点到点，的距离相等，当时，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）根据数轴判断出，，的符号，然后判断各式子的正负即可； （2）求出，的值，根据距离相等，列出关于的方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ 故答案为：，， （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∵点到点，的距离相等 ∴，解得． 【考点剖析】此题考查了根据数轴判断式子的符号，数轴上点的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的有关性质． 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 故答案为：82；45；88． 【变式训练1】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）化简，求值：求的值，其中 【答案】，2 【思路引导】本题考查了整式的加减-化简求值，绝对值和偶次方的非负性，先根据整式的加减运算法则进行化简，再利用绝对值和偶次方的非负性求得、的值，代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ． ， ，， 原式． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知． (1)求； (2)若．求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减—化简求值及偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将代入，再去括号，合并同类项即可； （2）由绝对值的非负性求得a和b的值，再代入（1）中化简所得的代数式计算即可． 【规范解答】（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)1，4 (2)的值为29或 (3)30 【思路引导】（1）根据“如果，，，则”进行解答即可； （2）根据新定义的运算，得出，再根据绝对值的定义求出答案即可； （3）根据新定义的运算求出，，进而得到，再根据新定义运算求出结果即可． 【规范解答】（1）解：， ， 又，而， ， 故答案为：1，4； （2）， ， 解得或， 答：的值为29或； （3）， ，， ，即， ， 当时，． 【考点剖析】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由见解析 【思路引导】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键． （1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可； （3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可． 【规范解答】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：． （2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下： 如图：∵， ∴， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为； 所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为， ∵， ∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法,运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【规范解答】（1）解：设， 则， ∴． ∴． ∴． （2）解：设， 则， ∴， 即，． ∴． 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 【规范解答】解：， ． 故选：A． 【变式训练1】（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【规范解答】解：3802亿， 故答案为：． 【变式训练2】（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【思路引导】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【规范解答】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（20-21七年级上·广西玉林·期末）一个数用科学记数法表示为，则这个数是 ． 【答案】5280 【思路引导】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【规范解答】=， 故答案为：5280． 【考点剖析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式训练1】（20-21七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【思路引导】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【规范解答】解：=5760000=576万． 故选：B． 【考点剖析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式训练2】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 1．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【规范解答】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【规范解答】解：将102200用科学记数法表示为． 故选：C． 3．（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【规范解答】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【思路引导】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【规范解答】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：将5146000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【规范解答】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下面为小亮某次测试的答卷，每小题20分，他的得分应是（   ） （1）的绝对值为3      （2）数轴上到距离为5的点是1 （3）的底数是4 （4）的倒数是 （5）绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的概念，倒数的定义，有理数的乘方，数轴的应用．熟练掌握绝对值的概念，倒数的定义，有理数的乘方，数轴的应用是解题的关键． 先根据绝对值的概念，倒数的定义，有理数的乘方，数轴的应用判断每小题的对错，然后用对的小题数目乘每小题的分值即可． 【规范解答】解：根据绝对值的定义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，因为是负数，它的相反数是3，所以的绝对值为3，所以（1）正确； 在数轴上，到一个点距离为某个值的点有两个，设该点表示的数为，则， 即，当时，，当时，，小亮只写出了1，所以（2）错误； 对于幂，根据幂的定义，中的是底数，这里表示的三次方的相反数，所以（3）正确； 倒数的定义是，若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，因为，所以的倒数是，所以（4）正确； 由绝对值的性质可知，正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，所以绝对值等于本身的有理数为非负有理数，所以（5）正确； 因为一共有5个小题，每小题分，答对了4个小题，所以得分是分， 故选B． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【规范解答】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【规范解答】解：， 故选： D． 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）一般地，数学上把记作 【答案】 【思路引导】本题考查乘方的相关概念，根据乘方的意义解答即可． 【规范解答】解： 一般地，数学上把记作， 故答案为： ． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）《庄子天下》中有这样一段话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为 ，分母为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．根据题意依次求出每一天剩余木棍的长度，得到第n天截取后木棍剩余的长度，即可解答． 【规范解答】解：第1天截取后剩：（尺）； 第2天截取后剩：（尺）； 第3天截取后剩：（尺）； 第4天截取后剩：（尺）； …… ∴第n天截取后剩余尺； ∴第7天截取后剩余（尺）； ∴前7天截取的长度总和为：（尺）， ∴前7天截取的长度总和占最初木棒长度的，分子为，分母为． 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）将八进制数转换成十进制数的算式为：（注：，类似的，将二进制数转换成十进制的数为 ． 【答案】11 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．按照例题的计算方法，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：将二进制数转换成十进制的数为： ， 故答案为：11． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数 (2)，底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数 (3)，底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【思路引导】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． 【规范解答】（1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【思路引导】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 培优拔高 11．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）下列各式结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查正负数的判断，有理数的乘方运算，分别计算各选项的值，判断其符号即可． 【规范解答】解：A、为正数，符合题意； B、为负数，不符合题意； C、为负数，不符合题意； D、为负数，不符合题意； 故选：A． 12．（24-25六年级下·上海·假期作业）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了数字的变化规律，乘方运算． 根据尾数的循环性得出结论即可. 【规范解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查了乘方运算，绝对值的非负性，数轴上的点，由乘方运算及小于零的数在数轴上所对应的点在原点左边，大于零的数在数轴上所对应的点在原点右边，在在原点，进行逐一判断，即可求解；能熟练进行乘法运算及绝对值的性质判断正负是解题的关键． 【规范解答】解：A.，对应的点在原点左边，故不符合题意； B.，对应的点一定在原点右边，故符合题意； C.，对应的点在原点左边，故不符合题意； D. 0对应的点是原点，故不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方，绝对值的意义等知识，根据有理数的大小比较方法逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，，， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴，故选项符合题意； D、，，，， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 【答案】64 【思路引导】本题考查新定义下的运算，根据运算规则可知，其实质就是求立方，解题的关键是：读懂题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 【规范解答】 由题意得： ∴ 故答案为：64 16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数中： ； ； ，负数为 ．（填序号） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了乘方、正数和负数的定义，掌握乘方、正数和负数的定义是解答本题的关键． 先根据乘方化简，再根据负数的定义即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， 负数为：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，根据新定义代入求值即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·四川南充·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用依次连接起来． ，，0，，， 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了绝对值、有理数的乘方、数轴等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先化简绝对值、化简多重符号、计算有理数的乘方，再根据数轴的性质即可得． 【规范解答】解：，，，， 将各数在数轴上表示出来如下： 用依次连接起来：． 19．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类直接得答案．解题的关键是掌握有理数的概念． 【规范解答】解：，， 正数集合：{，，，}； 负数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【答案】(1)，2 (2)② (3)推导过程见解析， (4) 【思路引导】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）分当与考虑，根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； （4）利用（3）的结论计算即可． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：；2； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 综上，说法正确的是②； 故答案为：②； （3）解：当时，； 当时，； （4）解： ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$