12.7 直角三角形 ——勾股定理的逆定理课件 2025—2026学年北京版数学八年级上册

12.7 直角三角形 —— 勾股定理的逆定理 1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形? a b c A B C 在Rt△ ABC中，∠C=90° 角： ∠A+∠B=90° 边： （1）∠C=90° （2）∠A+∠B=90° △ ABC是否是直角三角形呢？ 温故知新 （3） 相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法。 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。 问题2 ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.这三组数在数 量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵32+42=52，∴满足. 探索求知 a2+b2=c2 新课导入 提问 这个命题的条件和结论分别是什么？ 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c . 结论：a2+b2=c2． 如果将条件和结论反过来，也就是说“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”，这个逆命题还成立吗？ 答案就藏在课本中，我们一起来看一看！ 思考 推进新课 知识点 勾股定理的逆定理 　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 这种方法对吗？ 3 4 5 三边分别为3，4，5， 满足关系：32+42=52， 则该三角形是直角三角形． 新知探究 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证一证 A' B' C' 验证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′,证明△ABC △ A′B′C′ B' A' C' 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， 则在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理，得 归纳总结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 特别说明 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. A B C c b a 例题解析 例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ 解：(1)∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形， 且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152， 不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm). （1） 3，4，5； （2） 6，8，10； （3）5，12，13． 新知探究 用量角器量一量，它们是什么三角形？ 猜想 直角三角形 由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？ 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 验证 我们的猜想正确吗？如何证明呢？ A'　 B'　 C' 　 ？ 三角形全等 　　 ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c a A　 B　 C　 a b c A'　 B'　 C' 　 a 证明:画一个△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. ∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2， ∴ A'B' =c. ∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90°. BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'. 在△ABC和△A'B'C'中 小结 勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．　 判断下面以a、b、c为边的三角形是不是直角三角形？ 1、a=1, b= , c=3 2、a=5, b=13, c=12 3、a=0.5, b=0.4, c=0.3 例1 1、基本训练 应用训练，巩固新知 小结：如果一个三角形三边的长满足3 : 4 : 5， 那么这个三角形是直角三角形。 4、a：b：c=3 : 4 : 5 例2 已知 ,AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）。 试问 是直角三角形吗？若是，哪一条所对的角是直角？请说明理由。 小结： 能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，例如3、4、5， 6、8、10， 5、12、13，n2-1、2n、n2+1（n为大于1的正整数）等都是勾股数。 想一想： 为什么选择AB2+BC2? AB、BC、AC的大小关系是怎样的？ 例3 如图：在 中，已知AB=15cm, AC=20cm, BC=25cm, AD是BC边上的高线，求AD的长。 A B C D 15cm 20cm 25cm 2、由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等 于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用。 小结： 1、一般已知三角形的三边长，我们先 考虑用勾股定理的逆定理判定这个 三角形是否是直角三角形。 例4 如图：在四边形ABCD中，AB=4cm，BC=5cm,CD= cm AD=1cm，AD CD，求四边形ABCD的面积。 A B C D 1cm 4cm 5cm cm 3cm 小结： 通过添加辅助线将不规则的四边形分割成两个三角形，再判断其中一个三角形是直角三角形，从而求出四边形的面积 2、变式训练 1、如图：在四边形ABCD中，AB=2.4cm，BC=1.8cm, CD= cm， AD=1cm，AD CD。 求：四边形ABCD的面积。 A B C D 1cm cm 1.8cm 2.4cm 3cm 求：四边形ABCD的面积。 2、如图：在四边形ABCD中，AB=BC=2cm，CD= cm， AD=1cm， 。 A B C D 1cm cm 2cm 2cm 2、变式训练 2cm 2cm 课堂练习 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________. 等腰三角形或直角三角形 C D 基础练习 拓展延伸 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)： AB=3，AD=4，BC=12，CD=13. 且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？ 课堂小结 勾股定理的逆定理 逆命题和逆定理 勾股定理的逆定理 勾股数 $$