第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题 下列函数是 关于 的二次函数的是 A． B． C． D． 对于二次函数 的图象，下列说法正确的是 A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与 轴有两个交点 已知抛物线 的对称轴为 ，若点 ，， 在抛物线 上，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 和 ，且 ，下列结论正确的是 A． B． C． D． 用长为 ，宽为 的矩形纸板，四个角上各剪去一个边长为 的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为 的无盖的长方体盒子，则 与 之间的函数解析式为 A． B． C． D． 如图所示是二次函数 的图象，若 ，则 的取值范围是 A． B． C． 或 D． 或 点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图象上，则 的最大值等于 A． B． C． D． 二次函数 （）的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ 为任意实数，则 ；④ ；⑤若 ，且 ，则 ．其中正确的有 A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 二、填空题 经过 ，， 三点的抛物线解析式为 ． 如果抛物线 （ 为常数）开口向上，那么 的取值范围是 ． 飞机着陆后滑行的距离 (单位：米）与滑行的时间 (单位：秒）的函数关系式是 ，则飞机着陆后滑行 米才能停下来． 抛物线 和 轴有公共点，则 的取值范围是 ． 在二次函数 的图象上有两点 ，，则 （填“”“”或“”）． 如图，边长为 的正方形 的顶点 在 轴的正半轴上，将正方形 绕顶点 顺时针旋转 得正方形 ，使点 恰好落在函数 的图象上，则 的值为 ． 对于 范围内的每一个值，不等式 总成立，则 的取值范围是 ． 三、解答题 已知函数 是关于 的二次函数． (1) 求满足条件的 值； (2) 当 为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当 为何值时， 随 的增大而增大？ 如图，已知二次函数 过点 ，． (1) 求此二次函数的解析式； (2) 在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，请直接写出点 的坐标． 某商场一种商品的进价为每件 元，售价为每件 元，每天可以销售 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1) 若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，求两次下降的百分率； (2) 经调查，若该商品每降价 元，每天可多销售 件，那么每天要想获得 元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？ (3) 在（）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 如图，在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 ， 两点同时出发，分别到达 ， 两点后就停止移动． (1) 设运动开始后第 秒钟后，五边形 的面积为 ，写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围． (2) 为何值时， 最小？最小值是多少？ 如图，已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，若已知 点的坐标为 ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 连接 ，，求线段 所在直线的解析式； (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，求出符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由． 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 所示），拱高 ，跨度 ，相邻两支柱间的距离均为 ． (1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 所示），其表达式是 的形式．请根据所给的数据求出 ， 的值． (2) 求支柱 的长度． (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 、高 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】D 【解析】函数 不是二次函数；函数 化简后为 ，不是二次函数；函数 含有分式，不是二次函数；函数 化简后为 ，是二次函数． 故选D． 2. 【答案】C 3. 【答案】B 4. 【答案】C 5. 【答案】D 【解析】设小正方形边长为 ，由题意知： 则剪去小正方形后，底面长为 ，宽为 ， 故 ． 6. 【答案】A 7. 【答案】C 8. 【答案】C 二、填空题（共7题） 9. 【答案】 10. 【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 且 【解析】 抛物线 和 轴有公共点， 解得 且 ． 13. 【答案】 14. 【答案】 15. 【答案】 【解析】当 时，原不等式不成立，故 ； 二次函数的对称轴为直线 ， 当 时，图象开口向上，需满足 时，，即 ； 当 时，图象开口向下，需满足 时，，解得 ，矛盾，舍去． 综上所述， 的取值范围是 ． 三、解答题（共6题） 16. 【答案】 (1) 因为函数 是关于 的二次函数， 所以 解得 ，， 即 的值是 或 ． (2) 由（）知，， 故 或 ， 所以当 时，该抛物线有最低点， 当 时，，该函数图象的最低点的坐标为 ，当 时， 随 的增大而增大． 17. 【答案】 (1) 略． (2) 略． 18. 【答案】 (1) 设每次降价的百分率为 ．解得答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，两次下降的百分率为 ． (2) 设每天要想获得 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 元，由题意，得解得： 要有利于减少库存， ． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 元． (3) 设每件商品应降价 元，获得利润为 ，由题意得， 时， 有最大值 ，此时售价为 元， 答：每件商品的售价为 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 元． 19. 【答案】 (1) 第 秒钟时，，故 ，， 故 ， ． （）． (2) ， 当 秒时， 有最小值 ． 20. 【答案】 (1) 将 代入 ，得：， 解得：， 抛物线解析式为 ． (2) 将 代入 ，得：， ， 将 代入 ，得：， 解得：，， ，， 设直线 解析式为 ， 将 和 代入得 解得 直线 解析式为 ． (3) 存在．理由如下： 抛物线对称轴：， 由轴对称性质可知 与对称轴的交点即为点 ， 将 代入 ，得 ， ． 21. 【答案】 (1) 根据题目条件，，， 的坐标分别是 ，，． 将 ， 的坐标代入 ，得 解得 抛物线的表达式是 ． (2) 可设 ，于是 ． 从而支柱 的长度是 米． (3) 设 是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，则 点坐标是 即 ． 过 点作 垂直 交抛物线于点 ， 则 ． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 学科网（北京）股份有限公司 $$